[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2019\/01\/02\/factorizacion-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2019\/01\/02\/factorizacion-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/","headline":"Factorizaci\u00f3n – Wikipedia, la enciclopedia libre","name":"Factorizaci\u00f3n – Wikipedia, la enciclopedia libre","description":"El polinomio x2\u00a0+\u00a0cx\u00a0+\u00a0d, donde a\u00a0+\u00a0b\u00a0=\u00a0c y ab\u00a0=\u00a0d, puede ser factorizado en (x\u00a0+\u00a0a)(x\u00a0+\u00a0b). En matem\u00e1ticas la factorizaci\u00f3n es una t\u00e9cnica que","datePublished":"2019-01-02","dateModified":"2023-02-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/b\/b4\/Factorisatie.svg\/237px-Factorisatie.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/b\/b4\/Factorisatie.svg\/237px-Factorisatie.svg.png","height":"98","width":"237"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2019\/01\/02\/factorizacion-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/","wordCount":21361,"articleBody":"  El polinomio x2\u00a0+\u00a0cx\u00a0+\u00a0d, donde a\u00a0+\u00a0b\u00a0=\u00a0c y ab\u00a0=\u00a0d, puede ser factorizado en (x\u00a0+\u00a0a)(x\u00a0+\u00a0b).En matem\u00e1ticas la factorizaci\u00f3n es una t\u00e9cnica que consiste en la descomposici\u00f3n en factores de una expresi\u00f3n algebraica (que puede ser un n\u00famero, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos m\u00e9todos de factorizaci\u00f3n, dependiendo de los objetos matem\u00e1ticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresi\u00f3n o reescribirla en t\u00e9rminos de \u00abbloques fundamentales\u00bb, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un n\u00famero en n\u00fameros primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.Lo contrario de la factorizaci\u00f3n de polinomios es la expansi\u00f3n, la multiplicaci\u00f3n de los factores juntos polin\u00f3micas a un polinomio “ampliado”, escrito como una simple suma de t\u00e9rminos.El teorema fundamental de la aritm\u00e9tica cubre la factorizaci\u00f3n de n\u00fameros enteros, y para la factorizaci\u00f3n de polinomios, el teorema fundamental del \u00e1lgebra. La factorizaci\u00f3n de n\u00fameros enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos est\u00e1 a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptograf\u00eda asim\u00e9trica como el RSA.Por el teorema fundamental de la aritm\u00e9tica, cada entero positivo tiene una \u00fanica descomposici\u00f3n en n\u00fameros primos (factores primos), es decir, se puede representar de forma \u00fanica como producto de factores primos.Las t\u00e9cnicas modernas para la factorizaci\u00f3n de polinomios son r\u00e1pidas y eficientes, pero el uso de las ideas matem\u00e1ticas sofisticadas (v\u00e9ase Factorizaci\u00f3n de polinomios). El uso de ecuaciones cuadr\u00e1ticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizaci\u00f3n. La factorizaci\u00f3n es una t\u00e9cnica que consiste en la descomposici\u00f3n de una expresi\u00f3n matem\u00e1tica, en forma de producto.Mientras que la noci\u00f3n general de factorizaci\u00f3n solo significa escribir una expresi\u00f3n como un producto de las expresiones m\u00e1s simples, el t\u00e9rmino vago “simple” se definir\u00e1 con mayor precisi\u00f3n para las clases especiales de expresiones. Cuando existe factorizaci\u00f3n de polinomios, esto significa que los factores son para ser polinomios de grado m\u00e1s peque\u00f1o. As\u00ed, mientras x2\u2212y=(x+y)(x\u2212y){displaystyle x^{2}-y=(x+{sqrt {y}})(x-{sqrt {y}})} es una factorizaci\u00f3n de la expresi\u00f3n, no es una  factorizaci\u00f3n polin\u00f3mica  ya que los factores no son polinomios.[1]\u200b Adem\u00e1s, la factorizaci\u00f3n de un t\u00e9rmino constante, como en 3x2\u22126x+12=3(x2\u22122x+4){displaystyle 3x^{2}-6x+12=3(x^{2}-2x+4)} no se considerar\u00eda una factorizaci\u00f3n polin\u00f3mica dado que uno de los factores no tiene un grado menor que la expresi\u00f3n original.[2]\u200b Otra cuesti\u00f3n se refiere a los coeficientes de los factores. En tratamientos b\u00e1sicos es deseable tener los coeficientes de los factores del mismo tipo que los coeficientes del polinomio original, es decir factorizaci\u00f3n de polinomios con coeficientes enteros en factores con coeficientes enteros, o factorizaci\u00f3n de polinomios con coeficientes reales en polinomios con coeficientes reales . No siempre es posible hacer esto, y un polinomio que no puede ser factorizado de esta forma se dice que es irreducible sobre este tipo de coeficiente. Por lo tanto, x\u00b2 -2 es irreducible sobre los n\u00fameros enteros y x\u00b2 + 4 es irreducible sobre los n\u00fameros reales. En el primer ejemplo, los n\u00fameros enteros 1 y -2 pueden tambi\u00e9n ser considerados como n\u00fameros reales, y si es as\u00ed, entonces x2\u22122=(x+2)(x\u22122){displaystyle x^{2}-2=(x+{sqrt {2}})(x-{sqrt {2}})} muestra que este polinomio factores sobre los reales (a veces se dice que las divisiones de polinomios sobre los reales). Del mismo modo, ya que los n\u00fameros enteros 1 y 4 pueden ser pensados como n\u00fameros complejos y, por ende, x\u00b2 + 4 tiene divisiones sobre los n\u00fameros complejos, es decir, x2+4=(x+2i)(x\u22122i){displaystyle x^{2}+4=(x+2i)(x-2i)}.El teorema fundamental del \u00e1lgebra se puede establecer como: Todo polinomio de grado n con coeficientes de n\u00famero complejo se divide por completo en factores lineales n. Los t\u00e9rminos en estos factores, que son las ra\u00edces del polinomio, pueden ser reales o complejos. Desde ra\u00edces complejas de polinomios con coeficientes reales vienen en pares complejos conjugados, este resultado implica que cada polinomio con coeficientes reales se divide en lineales y \/ o factores cuadr\u00e1ticos irreducibles con coeficientes reales (porque cuando dos factores lineales con t\u00e9rminos conjugados complejos se multiplican entre s\u00ed, el resultado es una cuadr\u00e1tica con coeficientes reales). A pesar de que la estructura de la factorizaci\u00f3n es conocida en estos casos, la b\u00fasqueda de los factores reales puede ser computacionalmente dif\u00edcil, y por el teorema de Ruffini de los coeficientes y los t\u00e9rminos aditivos en los factores pueden no ser expresable en t\u00e9rminos de radicales.Un polinomio de grado n se puede factorizar en un producto de polinomios de grado ni\u2264n{displaystyle textstyle n_{i}leq n} con 1\u2264i\u2264n{displaystyle textstyle 1leq ileq n} y \u2211i\u2208Ini=n{displaystyle textstyle sum _{iin I}n_{i}=n}. Concretamente se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un cuerpo dado o en los n\u00fameros enteros en polinomios irreducibles con coeficientes en el mismo dominio.Por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:P(x)=x5\u2212x3+69x2\u221220x+16={displaystyle P(x)=x^{5}-x^{3}+69x^{2}-20x+16=} (x3+4x2\u2212x+1)(x2\u22124x+16){displaystyle (x^{3}+4x^{2}-x+1)(x^{2}-4x+16)}Usos[editar]La factorizaci\u00f3n de polinomios se emplea en:Historia de la factorizaci\u00f3n[editar]Los estudiantes que se introducen en la factorizaci\u00f3n como principal m\u00e9todo de resoluci\u00f3n de ecuaciones cuadr\u00e1ticas que se sorprenda al saber que es uno de los m\u00e1s nuevos m\u00e9todos para resolverlos. Vera Sanford se\u00f1ala en su A Short History of Mathematics (1930)[5]\u200b que “en vista de la actual \u00e9nfasis dado a la soluci\u00f3n de ecuaciones cuadr\u00e1ticas por factorizaci\u00f3n, es interesante observar que este m\u00e9todo no se utiliz\u00f3 hasta el trabajo de Harriot en 1631. Incluso en este caso, sin embargo, el autor hace caso omiso de los factores que dan lugar a las ra\u00edces negativas. “Harriot muri\u00f3 en 1621, y al igual que todos sus libros, este, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, fue publicado despu\u00e9s de su muerte. Un art\u00edculo sobre Harriot en el sitio web de la historia matem\u00e1tica de la Universidad de San Andrews dice que en su escritura personal en la resoluci\u00f3n de ecuaciones Harriot hizo uso de soluciones tanto positivos como negativos, pero su editor, Walter Warner, no present\u00f3 en su libro. m\u00e9todo de factorizaci\u00f3n de Harriot puede ser distinta de lo que los estudiantes esperan modernas. En la primera secci\u00f3n (Secci\u00f3n Prima) Harriot dibuja tablas para ilustrar la suma, resta, multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n de monomios, binomios, y trinomio. Luego, en la segunda secci\u00f3n que muestra una multiplicaci\u00f3n m\u00e1s directa que proporciona la base para su m\u00e9todo de factorizaci\u00f3n. \u00c9l establece la ecuaci\u00f3n de aa \u2212 ba + ca  = + bc, y muestra que esta coincida con la forma de multiplicaci\u00f3n que ha proporcionado previamente como,a \u2212 b\u00a0aa \u2212 ba\u00a0\u00a0\u00a0 (===) \u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0             (Harriot usa el signo igual de largo introducido por Robert Recorde)a + c\u00a0ca \u2212 bc\u00a0As\u00ed factorizando los cuatro t\u00e9rminos de la expresi\u00f3n ajustada aa \u2212 ba + ca \u2212 bc.Este ejemplo puede ser visto en la p\u00e1gina 16 de the Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas.Harriot escribe un formulario para cada una de las posibilidades de (a \u00b1 b)(a \u00b1 c) con a siendo lo desconocido (donde podr\u00edamos utilizar x hoy) y luego, cuando se deben incorporar recoge en una de las formas que responden. Al separar el coeficiente lineal en dos partes que es capaz de romper el problema en una de las formas.M\u00e9todos generales[editar]Hay s\u00f3lo unos pocos m\u00e9todos generales que pueden ser aplicados a cualquier polinomio ya sea en una variable (la univariate case) o varias variables (el caso de multivariables).Factor com\u00fan[editar]Encontrando, por inspecci\u00f3n, el monomio que es el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de todos los t\u00e9rminos del polinomio y factoriz\u00e1ndolo como un factor com\u00fan que es una aplicaci\u00f3n de la ley distributiva. Este es com\u00fanmente el m\u00e1s usado en la t\u00e9cnica de factorizaci\u00f3n. Por ejemplo:[6]\u200b6x3y2+8x4y3\u221210x5y3={displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=}(2x3y2)(3)+(2x3y2)(4xy)+(2x3y2)(\u22125x2y)={displaystyle (2x^{3}y^{2})(3)+(2x^{3}y^{2})(4xy)+(2x^{3}y^{2})(-5x^{2}y)=} (2x3y2)(3+4xy\u22125x2y).{displaystyle (2x^{3}y^{2})(3+4xy-5x^{2}y).}Factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos[editar]Un m\u00e9todo que a veces es \u00fatil, pero no garantiza que funcione, es la factorizaci\u00f3n mediante la agrupaci\u00f3n.La factorizaci\u00f3n por agrupaci\u00f3n se realiza mediante la colocaci\u00f3n de los t\u00e9rminos en el polinomio en dos o m\u00e1s grupos, donde cada grupo se puede factorizar mediante un m\u00e9todo conocido. Los resultados de estas factorizaciones parciales se pueden combinar a veces para dar una factorizaci\u00f3n de la expresi\u00f3n original.Por ejemplo, para factorizar el polinomio4x2+20x+3xy+15y{displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y,}:Agrupar los t\u00e9rminos similares, (4x2+20x)+(3xy+15y),{displaystyle (4x^{2}+20x)+(3xy+15y),,}Factorizar por el m\u00e1ximo com\u00fan divisor en cada agrupaci\u00f3n, 4x(x+5)+3y(x+5),{displaystyle 4x(x+5)+3y(x+5),,}Nuevamente factorizar el factor com\u00fan del binomio, (x+5)(4x+3y).{displaystyle (x+5)(4x+3y).,}Mientras que la agrupaci\u00f3n no puede conducir a una factorizaci\u00f3n en general, si la expresi\u00f3n polin\u00f3mica no ha influido, consta de cuatro t\u00e9rminos y es el resultado de multiplicar dos binomios( por la ley distributiva), entonces la t\u00e9cnica de agrupaci\u00f3n puede conducir a una factorizaci\u00f3n, como en el ejemplo anterior.Teorema del factor[editar]Para un polinomio de una variable, p(x), el teorema del factor establece que a es una ra\u00edz del polinomio (que es, p(a) = 0, tambi\u00e9n llamado un cero del polinomio) si y solo si (x – a) es un factor de p(x). El otro factor en una factorizaci\u00f3n de p(x) puede ser obtenido por la divisi\u00f3n polin\u00f3mica o divisi\u00f3n sint\u00e9tica.Por ejemplo, consideremos el polinomio x3\u22123x+2.{displaystyle x^{3}-3x+2.} Por inspecci\u00f3n vemos que 1 es la ra\u00edz de este polinomio (observemos que los coeficientes se suman a 0), entonces (x – 1)es un factor del polinomio. Por divisi\u00f3n de larga tenemos x3\u22123x+2=(x\u22121)(x2+x\u22122).{displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}Caso de una variable, usando propiedades de las ra\u00edces[editar]Cuando el polinomio de una variable es completamente factorizada en factores lineales (factores de un grado), todas las ra\u00edces del polinomio son visibles y multiplicando los factores juntos de nuevo, se puede observar la relaci\u00f3n entre las ra\u00edces y los coeficientes. Formalmente, estas relaciones se conocen comof\u00f3rmulas de Vi\u00e8te. Estas f\u00f3rmulas no ayudan a factorizar el polinomio excepto como una gu\u00eda para hacer buenas conjeturas que sean en las posibles ra\u00edces. Sin embargo, si se conoce alguna informaci\u00f3n adicional acerca de las ra\u00edces, esto se puede combinar con las f\u00f3rmulas para obtener las ra\u00edces y por lo tanto la factorizaci\u00f3n.Por ejemplo,[7]\u200b podemos factorizar x3\u22125x2\u221216x+80{displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80} si sabemos que la suma de dos de sus ra\u00edces es cero. Deja que r1,r2{displaystyle r_{1},r_{2}} y r3{displaystyle r_{3}} sean las tres r\u00e1ices de este polinomio. A continuaci\u00f3n, las f\u00f3rmulas de Vi\u00e8te son:r1+r2+r3=5r1r2+r2r3+r3r1=\u221216r1r2r3=\u221280.{displaystyle {begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=5\\r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1}&=-16\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-80.end{aligned}}}Asumiendo que r2+r3=0{displaystyle r_{2}+r_{3}=0} inmediatamente da r1=5{displaystyle r_{1}=5} y reduce las otras dos ecuaciones a r22=16.{displaystyle r_{2}^{2}=16.} De este modo las ra\u00edces son 5, 4 y -4 y tenemos  x3\u22125x2\u221216x+80=(x\u22125)(x\u22124)(x+4).{displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}Hallando ra\u00edces racionales[editar]Si un (una variable) polinomio, f(x), tiene una ra\u00edz racional, p\/q (p y q son enteros y q \u2260 0), entonces por el teorema del factor f(x) tiene el factor,(x\u2212pq)=1q(qx\u2212p).{displaystyle left(x-{frac {p}{q}}right)={frac {1}{q}}(qx-p).}Si, adem\u00e1s, el polinomio f(x) tiene coeficientes enteros, entonces q debe dividir uniformemente la parte entera del m\u00e1ximo com\u00fan divisor de los t\u00e9rminos del polinomio., y, en la factorizaci\u00f3n de f(x), s\u00f3lo el factor (qx – p) ser\u00e1 visible.Si un (una variable) polinomio con coeficientes enteros, dice,a0xn+a1xn\u22121+\u2026+an\u22121x+an{displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+ldots +a_{n-1}x+a_{n}}tiene una ra\u00edz racional p\/q, donde p y q son enteros que son n\u00fameros primos entre s\u00ed, entonces por el teorema de la ra\u00edz racional p es un divisor entero de an y q es un divisor entero de a0.[8]\u200bSi quer\u00edamos factorizar el polinomio 2x3\u22127x2+10x\u22126{displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6} podr\u00edamos buscar ra\u00edces racionales p\/q donde p divide -6, q divide 2 y p u q no tienen factor com\u00fan m\u00e1s grande que 1. Por inspecci\u00f3n vemos que este polinomio no tiene ra\u00edces negativas. Asumir que q = 2 (de lo contrario estar\u00edamos buscando las ra\u00edces de n\u00fameros enteros), sustituir x = p\/2 y colocar la igualdad del polinomio a 0.Multiplicando por 4, obtenemos  p3\u22127p2+20p\u221224=0{displaystyle p^{3}-7p^{2}+20p-24=0} que tendr\u00e1 una soluci\u00f3n entera de 1 o 3 si el polinomio original ten\u00eda una ra\u00edz racional del tipo que buscamos. Desde que 3 es una soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n (y no es 1), el polinomio original ten\u00eda la ra\u00edz racional 3\/2 y el factor correspondiente (2x – 3). Por la divisi\u00f3n larga polin\u00f3mica tenemos la factorizaci\u00f3n 2x3\u22127x2+10x\u22126=(2x\u22123)(x2\u22122x+2).{displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).}Para un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros, teniendo ra\u00edces racionales, las consideraciones anteriores llevan a una t\u00e9cnica de factorizaci\u00f3n conocido como el  m\u00e9todo ac  de factorizaci\u00f3n.[9]\u200b Suponiendo que el polinomio de segundo grado con coeficientes enteros es:ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}y tiene ra\u00edces racionales, p\/q y u\/v. (Si el discriminante, b2\u22124ac{displaystyle b^{2}-4ac}, es un n\u00famero cuadrado \u00e9stos existen, de lo contrario tenemos soluciones irracionales o complejos, y no habr\u00e1 ningunas ra\u00edces racionales.) Ambos q y v deben ser divisores dea por lo que podemos escribir estas fracciones con un denominador com\u00fan de a, que es, que se pueden escribir como –r\/a y –s\/a (el uso de los negativos es cosm\u00e9tico y conduce a un resultado final m\u00e1s bonito.) Entonces,ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)=a(1a(ax+r)1a(ax+s))=(ax+r)(ax+s)a.{displaystyle ax^{2}+bx+c=aleft(x^{2}+{frac {b}{a}}x+{frac {c}{a}}right)=aleft({frac {1}{a}}(ax+r){frac {1}{a}}(ax+s)right)={frac {(ax+r)(ax+s)}{a}}.}As\u00ed, tenemos:a2x2+abx+ac=(ax+r)(ax+s),{displaystyle a^{2}x^{2}+abx+ac=(ax+r)(ax+s),}Donde rs = ac y r + s = b. El m\u00e9todo ac para factorizar el polinomio de segundo grado es encontrar r y s, los dos factores del n\u00famero ac cuya suma es b y luego utilizarlos en la f\u00f3rmula de la factorizaci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica de origen encima.Como ejemplo, consideremos el polinomio de segundo grado:6x2+13x+6.{displaystyle 6x^{2}+13x+6.}La inspecci\u00f3n de los factores de ac = 36 conduce a 4 + 9 = 13 = b.6x2+13x+6=(6x+4)(6x+9)6=2(3x+2)(3)(2x+3)6=(3x+2)(2x+3){displaystyle {begin{aligned}6x^{2}+13x+6&={frac {(6x+4)(6x+9)}{6}}\\&={frac {2(3x+2)(3)(2x+3)}{6}}\\&=(3x+2)(2x+3)end{aligned}}}Patrones reconocibles[editar]Mientras se est\u00e1 tomando el producto de dos (o m\u00e1s) las expresiones pueden hacerse siguiendo un algoritmo de multiplicaci\u00f3n, el proceso inverso de la factorizaci\u00f3n se basa con frecuencia en el reconocimiento de un patr\u00f3n en la expresi\u00f3n de tenerse en cuenta y recordando c\u00f3mo surge un patr\u00f3n. Los siguientes son algunos patrones bien conocidos.[10]\u200bDiferencia de dos cuadrados[editar]Un tipo com\u00fan de factorizaci\u00f3n algebraica es para la diferencia de dos cuadrados.  Es la aplicaci\u00f3n de la f\u00f3rmulaa2\u2212b2=(a+b)(a\u2212b),{displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),,!}a cualquiera de los dos t\u00e9rminos, si son o no son cuadrados perfectos.Esta forma b\u00e1sica se utiliza a menudo con expresiones m\u00e1s complicadas que pueden no parecer a primera vista como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo,a2+2ab+b2\u2212x2+2xy\u2212y2=(a2+2ab+b2)\u2212(x2\u22122xy+y2)=(a+b)2\u2212(x\u2212y)2=(a+b+x\u2212y)(a+b\u2212x+y).{displaystyle {begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).end{aligned}}}Suma o diferencia de cubos[editar]  Una representaci\u00f3n visual de la factorizaci\u00f3n de los cubos usando vol\u00famenes. Por una suma de cubos, simplemente sustituyendo z=-y.Otra f\u00f3rmula para la factorizaci\u00f3n es la suma o diferencia de dos cubos. La suma se puede factorizar pora3+b3=(a+b)(a2\u2212ab+b2),{displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),,!}y la diferencia pora3\u2212b3=(a\u2212b)(a2+ab+b2).{displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).,!}Suma o diferencia de dos potencias n-\u00e9simas[editar]Las factorizaciones n-\u00e9sima de diferencias y sumas de potencias se pueden ampliar a cualquier potencia entera positiva n.Para cualquier n, una factorizaci\u00f3n general es:an\u2212bn=(a\u2212b)(an\u22121+ban\u22122+b2an\u22123+\u2026+bn\u22122a+bn\u22121)=(a\u2212b)\u00a0\u2211i=0n\u22121an\u22121\u2212ibi.{displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}+ldots +b^{n-2}a+b^{n-1})=(a-b) sum _{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^{i}.!}La f\u00f3rmula correspondiente para la suma de dos potencias n-\u00e9simas depende de si n es par o impar.Si n es impar, b puede se reemplazado por \u2212b en la f\u00f3rmula anterior, para daran+bn=(a+b)(an\u22121\u2212ban\u22122+b2an\u22123\u2212\u2026\u2212bn\u22122a+bn\u22121).{displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^{2}a^{n-3}-ldots -b^{n-2}a+b^{n-1}).!}Si n es par, consideramos dos casos:Si n es una potencia de 2 entonces an+bn{displaystyle a^{n}+b^{n}!} no se puede factorizar (m\u00e1s precisamente, irreducible sobre los n\u00fameros racionales).De otra manera, "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2019\/01\/02\/factorizacion-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/#breadcrumbitem","name":"Factorizaci\u00f3n – Wikipedia, la enciclopedia libre"}}]}]