Tangente (trigonometría) – Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemática, la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo

π{displaystyle pi }

con indeterminaciones en

π2+nπ,n∈Z{displaystyle {frac {pi }{2}}+npi ,;nin mathbb {Z} }

, y además una función trascendente de variable real. Su nombre se abrevia de las dos siguientes formas: tan y tg.^[1]​

tgx=−tg⁡(−x){displaystyle operatorname {tg} ;x=-operatorname {tg} (-x)}

tgx=tg⁡(π+x){displaystyle operatorname {tg} ;x=operatorname {tg} (pi +x)}

En trigonometría, la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

tg⁡α=ab=BCOC{displaystyle operatorname {tg} alpha ={frac {a}{b}}={frac {BC}{OC}}}

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo

α.{displaystyle alpha .}

Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos.

Dada la circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro, describe un triángulo rectángulo con ángulo

α{displaystyle alpha }

como en la imagen, y tenemos las siguientes relaciones por semejanzas:

tg⁡α=CBAC=DEAD=DE1=DE{displaystyle operatorname {tg} alpha ={frac {CB}{AC}}={frac {DE}{AD}}={frac {DE}{1}}=DE}

El segmento

DE{displaystyle DE}

representa el valor de la tangente de

α.{displaystyle alpha .}

Representación gráfica[editar]

Identidades[editar]

Tangente de la suma de dos ángulos[editar]

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

• Dados los ángulos
  ϕ,θ {displaystyle phi ,theta }
  :

tg⁡(ϕ+θ)=sen⁡(ϕ+θ)cos⁡(ϕ+θ){displaystyle operatorname {tg} left(phi +theta right)={cfrac {operatorname {sen}(phi +theta )}{cos(phi +theta )}}}

• Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

tg⁡(ϕ+θ)=sen⁡ϕcos⁡θ+cos⁡ϕsen⁡θcos⁡ϕcos⁡θ−sen⁡ϕsen⁡θ{displaystyle operatorname {tg} left(phi +theta right)={cfrac {operatorname {sen} phi cos theta +cos phi operatorname {sen} theta }{cos phi cos theta -operatorname {sen} phi operatorname {sen} theta }}}

• Dividiendo al numerador y al denominador por
  cos⁡ϕcos⁡θ{displaystyle cos phi cos theta ,}
  :

tg⁡(ϕ+θ)=sen⁡ϕcos⁡θ+cos⁡ϕsen⁡θcos⁡ϕcos⁡θcos⁡ϕcos⁡θ−sen⁡ϕsen⁡θcos⁡ϕcos⁡θ{displaystyle operatorname {tg} left(phi +theta right)={cfrac {cfrac {operatorname {sen} phi cos theta +cos phi operatorname {sen} theta }{cos phi cos theta }}{cfrac {cos phi cos theta -operatorname {sen} phi operatorname {sen} theta }{cos phi cos theta }}}}

• Separando la suma y la resta:

Tangente de la diferencia de dos ángulos[editar]

• tg⁡(ϕ+(−θ))=tg⁡ϕ+tg⁡(−θ)1−tg⁡ϕtg⁡(−θ){displaystyle operatorname {tg} left(phi +(-theta )right)={frac {operatorname {tg} phi +operatorname {tg} (-theta )}{1-operatorname {tg} phi operatorname {tg} (-theta )}}}

  

tg⁡(ϕ−θ)=tg⁡ϕ−tg⁡θ1+tg⁡ϕtg⁡θ{displaystyle operatorname {tg} left(phi -theta right)={frac {operatorname {tg} phi -operatorname {tg} theta }{1+operatorname {tg} phi operatorname {tg} theta }}}

Fórmula resumida[editar]

tg⁡(ϕ±θ)=tg⁡ϕ±tg⁡θ1∓tg⁡ϕtg⁡θ{displaystyle operatorname {tg} left(phi pm theta right)={frac {operatorname {tg} phi pm operatorname {tg} theta }{1mp operatorname {tg} phi operatorname {tg} theta }}}

Tangente del ángulo doble[editar]

Partiendo de

tg⁡(ϕ+θ)=tg⁡ϕ+tg⁡θ1−tg⁡ϕtg⁡θ{displaystyle operatorname {tg} left(phi +theta right)={frac {operatorname {tg} phi +operatorname {tg} theta }{1-operatorname {tg} phi operatorname {tg} theta }}}

y haciendo

ϕ=θ{displaystyle phi =theta ,}

entonces:

tg⁡(2ϕ)=2tg⁡ϕ1−tg2⁡ϕ{displaystyle operatorname {tg} left(2phi right)={frac {2operatorname {tg} phi }{1-operatorname {tg} ^{2}phi }}}

Tangente del ángulo triple[editar]

Conociendo la tangente del ángulo ψ, hallar la tangente de 3ψ

tg⁡(3ψ)=3tg⁡ψ−tg3⁡ψ1−3tg2⁡ψ{displaystyle operatorname {tg} left(3psi right)={frac {3operatorname {tg} psi -operatorname {tg} ^{3}psi }{1-3operatorname {tg} ^{2}psi }}}

Tangente del ángulo mitad[editar]

Se trata de hallar la tangente de la mitad de θ, conociendo los de θ:

tg⁡θ2=sen⁡θ1+cos⁡θ{displaystyle operatorname {tg} {frac {theta }{2}}={frac {operatorname {sen} theta }{1+cos theta }}}

^[2]​

Derivada de la tangente[editar]

[tg⁡(x)]′=sec2⁡(x){displaystyle [operatorname {tg} (x)]’=sec ^{2}(x),}

Véase también[editar]

Referencias y notas[editar]

Enlaces externos[editar]