[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2021\/03\/05\/conjunto-potencia-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2021\/03\/05\/conjunto-potencia-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/","headline":"Conjunto potencia – Wikipedia, la enciclopedia libre","name":"Conjunto potencia – Wikipedia, la enciclopedia libre","description":"En matem\u00e1ticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado.","datePublished":"2021-03-05","dateModified":"2023-02-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/75709a44930c3f020087d434e9bb260a0c46a0c8","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/75709a44930c3f020087d434e9bb260a0c46a0c8","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2021\/03\/05\/conjunto-potencia-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/","wordCount":4376,"articleBody":"En matem\u00e1ticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo,  dado el conjunto:A={1,2,3}{displaystyle A={1,2,3}}  el conjunto potencia es:P(A)={\u2205,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}{displaystyle {mathcal {P}}(A)={varnothing ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}}El conjunto potencia de A{displaystyle A} tambi\u00e9n se denomina conjunto de las partes de   A{displaystyle A}, o conjunto de partes de A{displaystyle A} y se denota por P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)}, donde 2|A|{displaystyle 2^{|A|}} es el cardinal de las partes de   A{displaystyle A}, es decir, |P(A)|=2|A|{displaystyle |{mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}}.Table of ContentsDefinici\u00f3n[editar]Propiedades[editar]Cardinal[editar]\u00c1lgebra de Boole[editar]Axioma del conjunto potencia[editar]Referencias[editar]Definici\u00f3n[editar]El conjunto potencia de A es la clase o colecci\u00f3n de los subconjuntos de A:El conjunto potencia de A{displaystyle A} (o conjunto de partes o conjunto de las partes) es el conjunto P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)} formado por todos los subconjuntos de A:{displaystyle A:}b\u2208P(A)\u00a0cuando\u00a0b\u2286A{displaystyle bin {mathcal {P}}(A){text{ cuando }}bsubseteq A}EjemplosEl conjunto potencia de A = {a, 2, c} es:P(A)={\u2205,{a},{2},{c},{a,2},{a,c},{2,c},{a,2,c}}{displaystyle {mathcal {P}}(A)={varnothing ,{a},{2},{c},{a,2},{a,c},{2,c},{a,2,c}}}El conjunto potencia de B = { x } es:P(B)={\u2205,{x}}{displaystyle {mathcal {P}}(B)={varnothing ,{x}}}Propiedades[editar]El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto. Adem\u00e1s, no es equipotente con la base.[1]\u200b[2]\u200b\u2205\u2208P(A)\u00a0, para cualquier\u00a0A{displaystyle varnothing in {mathcal {P}}(A){text{ , para cualquier }}A}Un conjunto cualquiera siempre es un elemento de su conjunto potencia:A\u2208P(A)\u00a0, para cualquier\u00a0A{displaystyle Ain {mathcal {P}}(A){text{ , para cualquier }}A}Cardinal[editar]Siempre que el conjunto vac\u00edo no sea elemento de un conjunto, se cumple lo siguiente:El n\u00famero de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del n\u00famero de elementos en el conjunto original:El cardinal del conjunto potencia de un conjunto finito A es 2 elevado al cardinal de A:|P(A)|=2|A|{displaystyle |{mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}}Esta relaci\u00f3n es el origen de la notaci\u00f3n 2A para el conjunto potencia. Una manera de deducirla es mediante los coeficientes binomiales. Si el conjunto A tiene n elementos, el n\u00famero de subconjuntos con k elementos es igual al n\u00famero combinatorio C(n, k). Un subconjunto de A puede tener 0 elementos como m\u00ednimo, y n como m\u00e1ximo, y por lo tanto:|P(A)|=(n0)+(n1)+\u2026+(nk)+\u2026+(nn)=2n=2|A|{displaystyle |{mathcal {P}}(A)|={n choose 0}+{n choose 1}+ldots +{n choose k}+ldots +{n choose n}=2^{n}=2^{|A|}}Esta relaci\u00f3n puede demostrarse tambi\u00e9n observando que el conjunto potencia de A es equivalente al conjunto de funciones con dominio A y codominio {0, 1}, f\u00a0: A \u2192 {0, 1}. Cada funci\u00f3n corresponde entonces con un subconjunto, si se interpreta la imagen de un elemento como un indicador de si dicho elemento pertenece al subconjunto: 0 indica \u00abno pertenece\u00bb, 1 indica \u00abpertenece\u00bb. El n\u00famero de estas funciones caracter\u00edsticas de A es precisamente 2n, si |A| = n.En el caso de un conjunto infinito la identificaci\u00f3n entre subconjuntos y funciones es igualmente v\u00e1lida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a 2|A|, en t\u00e9rminos de cardinales infinitos y su aritm\u00e9tica. El conjunto potencia siempre tiene un cardinal superior al del conjunto original, como establece el teorema de Cantor, por lo que nunca existe una aplicaci\u00f3n biyectiva entre un conjunto y su conjunto potencia.El m\u00ednimo de los cardinales de conjuntos potencia es 1, exactamente el del conjunto potencia del conjunto vac\u00edo[3]\u200b\u00c1lgebra de Boole[editar]El conjunto potencia de un conjunto dado tiene estructura de \u00e1lgebra de Boole, considerando las operaciones de uni\u00f3n, intersecci\u00f3n y complemento, y se usa habitualmente como ejemplo de dicha estructura. De hecho, un \u00e1lgebra de Boole finita es siempre isomorfa al \u00e1lgebra de Boole del conjunto potencia de alg\u00fan conjunto finito. En el caso general \u2014incluyendo \u00e1lgebras infinitas\u2014, un \u00e1lgebra de Boole es siempre isomorfa a una sub\u00e1lgebra de un conjunto potencia.Axioma del conjunto potencia[editar]En teor\u00eda axiom\u00e1tica de conjuntos, la existencia del conjunto potencia en general no puede demostrarse a partir de propiedades m\u00e1s b\u00e1sicas, por lo que se postula a trav\u00e9s de un axioma. Sin este axioma no es posible demostrar la existencia de conjuntos no numerables.Referencias[editar]\u2191 Miguel de Guzm\u00e1n:Aventuras matem\u00e1ticas 84-335-5113-2\u2191 Faltan  propiedades ligadas a operaciones conjuntistas\u2191 Aseveraci\u00f3n  verificable aplicando la definici\u00f3n y propiedad del conjunto nuloJech, Thomas (2003). \u00ab7. Filters, Ultrafilters and Boolean Algebras\u00bb. Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (en ingl\u00e9s) (3\u00aa edici\u00f3n). Berl\u00edn, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN\u00a0978-3-540-44085-7.\u00a0Lipschutz, Seymour (1998). \u00ab1.9. Clasess of sets, power sets\u00bb. Set Theory and Related Topics (en ingl\u00e9s). McGraw-Hill. ISBN\u00a00-07-038159-3.\u00a0"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2021\/03\/05\/conjunto-potencia-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/#breadcrumbitem","name":"Conjunto potencia – Wikipedia, la enciclopedia libre"}}]}]