円分体 – Wikipedia

円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の

m(>2){displaystyle m(>2)}

ζ(≠±1){displaystyle textstyle zeta (neq pm 1)}

を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、

ζn=e2πi/n{displaystyle zeta _{n}=e^{2pi i/n}}

とする。

Q(ζm){displaystyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

は、 Q(ζp1e1),…, Q(ζprer){displaystyle mathbb {Q} (zeta _{p_{1}^{e_{1}}}),ldots , mathbb {Q} (zeta _{p_{r}^{e_{r}}})}

の合成体であり、
Gal⁡(Q(ζm)/Q)≅(Z/mZ)×≅(Z/p1e1Z)××⋯×(Z/prerZ)×{displaystyle operatorname {Gal} (mathbb {Q} (zeta _{m})/mathbb {Q} )cong (mathbb {Z} /mmathbb {Z} )^{times }cong (mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}mathbb {Z} )^{times }times cdots times (mathbb {Z} /p_{r}^{e_{r}}mathbb {Z} )^{times }}

が成立する。また、円分体 Q(ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

で分岐する有理素数[注釈 1]は、 p1,…, pr{displaystyle textstyle p_{1},ldots , p_{r}}

に限る。

  • Q(ζm)∩R=Q(ζm+1/ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})cap mathbb {R} =mathbb {Q} (zeta _{m}+1/zeta _{m})}

    である。この Q(ζm+1/ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m}+1/zeta _{m})}

    を、最大実部分体または実円分体という。
  • 一意分解整域である円分体
    Q(ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

    (m≢2(mod4){displaystyle textstyle (mnot equiv 2{pmod {4}}}

    )[注釈 2]は、m = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 だけである。
  • 特に、23 以上の素数 p に対して、円分体
    Q(ζp){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p})}

    は一意分解整域ではない。
  • 類数が 2 である円分体
    Q(ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

    (m≢2(mod4){displaystyle textstyle (mnot equiv 2{pmod {4}}}

    ) は、m = 39, 56 だけである。
  • 円分体
    Q(ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

    に含まれる代数的整数の集合は、 Z[ζm]{displaystyle textstyle mathbb {Z} [zeta _{m}]}

    である。

円分体の判別式[編集]

m を 3 以上の整数とし、円分体

K=Q(ζm){displaystyle textstyle K=mathbb {Q} (zeta _{m})}

とする。

(1) m が素数のとき

K の判別式は、

(−1)(m−1)/2mm−2{displaystyle (-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}}

である。

(2)

m=ph{displaystyle m=p^{h}}

(p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、

εpph−1(h(p−1)−1){displaystyle textstyle varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}}

である。但し、

ε={−1(p=h=2, or p≡3(mod4)),+1(p=2,h≧3, or p≡1(mod4)).{displaystyle varepsilon ={begin{cases}-1&(p=h=2,{mbox{ or }}pequiv 3{pmod {4}}),\+1&(p=2,,hgeqq 3,{mbox{ or }}pequiv 1{pmod {4}}).end{cases}}}

(3)

m=p1e1⋯prer{displaystyle textstyle m=p_{1}^{e_{1}}cdots p_{r}^{e_{r}}}

(

r≧2, p1,…, pr{displaystyle textstyle rgeqq 2, p_{1},ldots , p_{r}}

は相異なる素数、

e1,…,er≧1){displaystyle textstyle e_{1},ldots ,e_{r}geqq 1)}

のとき

Di{displaystyle D_{i}}

を、円分体

Q(ζpiei){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p_{i}^{e_{i}}})}

の判別式としたとき、
K の判別式は、

∏i=1rDiφ(m)/φ(piei){displaystyle prod _{i=1}^{r}D_{i}^{varphi (m)/varphi (p_{i}^{e_{i}})}}

である。

アーベル拡大体の埋め込み[編集]

クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber’s theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数

m≧3{displaystyle textstyle mgeqq 3}

が存在して、

K⊂Q(ζm){displaystyle Ksubset mathbb {Q} (zeta _{m})}

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論[編集]

フェルマーの最終定理[編集]

素数 p に対して、

xp+yp=zp{displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}

の左辺を、

Q(ζp){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p})}

上で分解すると、

(x+y)(x+ζpy)⋯(x+ζpp−1y)=zp{displaystyle (x+y)(x+zeta _{p}y)cdots (x+zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}}

となる。
ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、

p=23{displaystyle p=23}

のとき、それが成立しないことを示した。
そのため、

p=23{displaystyle p=23}

(円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

  • 素数 p は、円分体
    Q(ζp){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p})}

    の類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体

Q(ζp){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p})}

の単数 ε を、

ε≡a (mod⁡ (1−ζp)p){displaystyle textstyle varepsilon equiv a (operatorname {mod} (1-zeta _{p})^{p})}

となる有理整数 a が存在するようにとると、

Q(ζp){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p})}

の単数

ε0{displaystyle textstyle varepsilon _{0}}

が存在して、

ε=ε0p{displaystyle textstyle varepsilon =varepsilon _{0}^{p}}

と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則[編集]

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した[注釈 3]。さらに、

Q(ζ3), Q(ζ4){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{3}), textstyle mathbb {Q} (zeta _{4})}

上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。
高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数[編集]

円分体の類数の性質[編集]

以下において、p を奇素数とする。

円分体

Q(ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

の類数を

h(m){displaystyle h(m)}

、最大実部分体

Q(ζm+1/ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m}+1/zeta _{m})}

の類数を

h2(m){displaystyle h_{2}(m)}

とすると、

h(m)=h1(m)h2(m){displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)}

(

h1(m){displaystyle h_{1}(m)}

は有理整数)と表すことができる。
このとき、

h1(m){displaystyle h_{1}(m)}

第1因子または相対類数

h2(m){displaystyle h_{2}(m)}

第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

  • 素数 p に対して、p
    h(p){displaystyle h(p)}

    を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。
つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。
この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、

limp→∞h1(p)/γ(p)=1{displaystyle textstyle lim _{pto infty }h_{1}(p)/gamma (p)=1}

と予想した。
但し、

γ(p)=p(p+3)/4/(2(p−3)/2π(p−1)/2){displaystyle textstyle gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}pi ^{(p-1)/2})}

[注釈 4]

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

limp→∞log⁡(h1(p)/γ(p))log⁡p=0{displaystyle lim _{pto infty }{frac {log(h_{1}(p)/gamma (p))}{log p}}=0}

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

  • q を素数とし、
    n>1{displaystyle n>1}

    p=(2qm)2+1{displaystyle p=(2qm)^{2}+1}

    が素数であるならば、 h2(p)>2{displaystyle h_{2}(p)>2}

    h2(p){displaystyle h_{2}(p)}

    を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。

    円分体の類数公式[編集]

    円分体の類数を求めるには、

    h(m)=h1(m)h2(m){displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)}

    より、第1因子と第2因子を求めればよい。[注釈 5]


    • h1(m)=δ(2m)12φ(m)−1∏χ∈S∑n=1m−1χ(n)n{displaystyle h_{1}(m)={frac {delta }{(2m)^{{frac {1}{2}}varphi (m)-1}}}prod _{chi in S}sum _{n=1}^{m-1}chi (n)n}

    ここで、
    δ={1(m≢0(mod4)),12(m≡0(mod4)),{displaystyle delta ={begin{cases}1&(mnot equiv 0{pmod {4}}),\{frac {1}{2}}&(mequiv 0{pmod {4}}),end{cases}}}

    S は、 χ(−1)=−1{displaystyle chi (-1)=-1}

    を満たす、法 m に関する指標の集合とする。
    特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

    • h1(p)=1(2p)(p−3)/2|∏χ∈S∑k=1p−1χ(k)k|{displaystyle h_{1}(p)={frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}left|prod _{chi in S}sum _{k=1}^{p-1}chi (k)kright|}

    m が素数のとき、以下の様な式がある。

    • h1(p)=1(2p)(p−3)/2|G(η)G(η2)⋯G(ηp−2)|{displaystyle h_{1}(p)={frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}|G(eta )G(eta ^{2})cdots G(eta ^{p-2})|}

    ここで、η は、1 の原始 p−1{displaystyle p-1}

    乗根とし、 G(X)=∑j=0p−2gjXj{displaystyle textstyle G(X)=sum _{j=0}^{p-2}g_{j}X^{j}}

    但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 j=0,1,…,p−2{displaystyle textstyle j=0,1,ldots ,p-2}

    に対して、 1≦gj≦p−1{displaystyle textstyle 1leqq g_{j}leqq p-1}

    は、 gj≡gj (mod⁡ p){displaystyle textstyle g^{j}equiv g_{j} (operatorname {mod} p)}

    を満たす正整数とする。
    • p の倍数ではない整数 r に対して、
      1≦R(r)≦p−1{displaystyle textstyle 1leqq R(r)leqq p-1}

      を、 r≡R(r) (mod⁡ p){displaystyle textstyle requiv R(r) (operatorname {mod} p)}

      を満たすようにとる。
    また、 1≦r′≦p−1{displaystyle textstyle 1leqq r’leqq p-1}

    を、 rr′≡1 (mod⁡ p){displaystyle textstyle rr’equiv 1 (operatorname {mod} p)}

    を満たすようにとる。
    Mp=(R(rs′))r,s=1,2,…,(p−1)/2{displaystyle M_{p}=(R(rs’))_{r,s=1,2,ldots ,(p-1)/2}}

    [注釈 6]とおくと、
    h1(p)=1p(p−3)/2|detMp|{displaystyle h_{1}(p)={frac {1}{p^{(p-3)/2}}}|det M_{p}|}

    である。

    • h2(m)=212φ(m)−1R∏χ∈T∑n=1[m−12]χ(n)log⁡|1−ζmn|{displaystyle h_{2}(m)={frac {2^{{frac {1}{2}}varphi (m)-1}}{R}}prod _{chi in T}sum _{n=1}^{[{frac {m-1}{2}}]}chi (n)log |1-zeta _{m}^{n}|}

    ここで、R は、 Q(ζm){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{m})}

    の単数基準、T は、 χ(−1)=1{displaystyle chi (-1)=1}

    を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。
    特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

    • h2(p)=2(p−3)/2R∏k=1(p−3)/2|∑j=0(p−3)/2η2kjlog⁡|1−ζpgj||{displaystyle h_{2}(p)={frac {2^{(p-3)/2}}{R}}prod _{k=1}^{(p-3)/2}left|sum _{j=0}^{(p-3)/2}eta ^{2k^{j}}log |1-zeta _{p}^{g^{j}}|right|}

    ここで、η は、1 の原始 p−1{displaystyle p-1}

    乗根、g は、法 p に対する原始根とする。
    m が素数のとき、以下の様な式がある。

    • k=2,3,…,(p−1)/2{displaystyle textstyle k=2,3,ldots ,(p-1)/2}

      に対して、 δk=(1−ζpk)(1−ζp−k)(1−ζ)(1−ζ−1){displaystyle delta _{k}={sqrt {textstyle {frac {(1-zeta _{p}^{k})(1-zeta _{p}^{-k})}{(1-zeta )(1-zeta ^{-1})}}}}}

      [注釈 7] とおく。
    g を法 p に関する原始根とし、 δ=δg{displaystyle delta =delta _{g}}

    とおく。
    また、σ を、 σ(ζp)=ζpg{displaystyle textstyle sigma (zeta _{p})=zeta _{p}^{g}}

    を満たす、 Gal⁡(Q(ζp)/Q){displaystyle textstyle operatorname {Gal} (mathbb {Q} (zeta _{p})/mathbb {Q} )}

    の生成元とする。
    M=(log⁡σi+j(δ))i,j=0,1,…,(p−5)/2{displaystyle M=(log sigma ^{i+j}(delta ))_{i,j=0,1,ldots ,(p-5)/2}}

    とおくと、
    h2(p)=2(p−3)/2R|detM|{displaystyle h_{2}(p)={frac {2^{(p-3)/2}}{R}}|det M|}

    但し、R は、 Q(ζp){displaystyle textstyle mathbb {Q} (zeta _{p})}

    の単数基準とする。

    注釈[編集]

    出典[編集]

    参考文献[編集]

    • 足立恒雄『フェルマーの大定理 整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 ア24‐1 Math & Science〉、2006年9月。ISBN 978-4-480-09012-6。
    • ガウス, J. C. F.『ガウス数論論文集』高瀬正仁訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫 カ33-1 Math & Science〉、2012年7月。ISBN 978-4-480-09474-2。
    • ガウス, J. C. F.『ガウスの《数学日記》』高瀬正仁訳、日本評論社、2013年8月。ISBN 978-4-535-78584-7。
    • 河田敬義『数論 古典数論から類体論へ』岩波書店、東京、1992年4月。ISBN 978-4-00-005516-1。
    • 倉田令二朗『平方剰余の相互法則 ガウスの全証明』日本評論社、東京、1992年10月。ISBN 978-4-535-78192-4。
    • 高木貞治『代数的整数論』岩波書店、東京、1971年4月、第2版。ISBN 978-4-00-005630-4。
    • 高瀬正仁『ガウスの数論 わたしのガウス』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 タ31-2〉、2011年3月。ISBN 978-4-480-09366-0。
    • ノイキルヒ, J.『代数的整数論』足立恒雄(監修)、梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年12月。ISBN 978-4-431-70901-5。
      • ノイキルヒ, J.『代数的整数論』足立恒雄(監修)、梅垣敦紀訳、丸善出版、東京、2012年9月。ISBN 978-4-621-06287-6。
    • ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R.『整数論』(下)、佐々木義雄訳、吉岡書店〈数学叢書〉、京都、1972年。
      • ボレビッチ, Z. I.、シャハレビッチ, I. R.『整数論』(下)、佐々木義雄訳、吉岡書店〈数学叢書 19〉、京都、2000年8月、POD版。ISBN 978-4-8427-0287-2。
    • リーベンボイム, P.『フェルマーの最終定理 13講』吾郷博顕訳、共立出版、東京、1989年2月、第2版。ISBN 978-4-320-01415-2。
    • Masley, J. M. (1975), “Solution of the class number two problem for cyclotomic fields”, Invent. Math. 28: 243-244, MR369319 Zbl 0296.12003 doi:10.1007/BF01425560 

    関連項目[編集]

    外部リンク[編集]