重根 (多項式) – Wikipedia

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重根（じゅうこん、英称：multiple root）とは、1 変数多項式 f(x) の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。

1 変数多項式 f(x) が、定数 a≠0 ,α1,α2, … αn を用いて

f(x)=a(x−α1)(x−α2)⋯(x−αn){displaystyle f(x)=a(x-alpha _{1})(x-alpha _{2})cdots (x-alpha _{n})}

の形に因数分解され、α1, α2, …, αn の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を f(x) の重根という。

方程式 f(x) = 0 の解は一般に

{y=f(x)y=0{displaystyle left{{begin{matrix}y&=&f(x)\y&=&0end{matrix}}right.}

つまり xy-座標系において y = f(x) と x 軸との交点の x 座標である。 f(x)が1変数多項式のとき、 y = f(x) がx=αで x 軸に接するなら、αは f(x) の重根となる。したがってf(x)はx=αでの微分も0となり、x=αがf(x) の重根であることと

{f(α)=0f′(α)=0{displaystyle left{{begin{matrix}f(alpha )&=&0\f'(alpha )&=&0end{matrix}}right.}

であることは同値である。

体 K 上の多項式 f(x) と K の元 α に対し、(x – α)2 | f(x) が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 k と多項式 g(x) で

f(x)=(x−α)kg(x){displaystyle f(x)=(x-alpha )^{k}g(x)}

を満たすものが存在するとき、α を f(x) の重根という。特に g(x) が α を根に持たないならば、k を根 α の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。

多項式 f(x) の根を α1, α2, …, αn とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

Df:=∏1≤i<j≤n(αi−αj)2{displaystyle D_{f}:=prod _{1leq i

を多項式 f(x) あるいは方程式 f(x) = 0 の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。これは、

  1. 差積の平方が根に関する対称式となること、
  2. 対称式が基本対称式で表すことができること、
  3. 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること（根と係数の関係）

によって保証される。

たとえば、二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の根を α, β とすると根と係数の関係により

α+β=−ba,{displaystyle alpha +beta =-{frac {b}{a}},}

αβ=ca{displaystyle alpha beta ={frac {c}{a}}}

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

(α−β)2=(α+β)2−4αβ=(−ba)2−4×ca=b2−4aca2{displaystyle (alpha -beta )^{2}=(alpha +beta )^{2}-4alpha beta =left(-{frac {b}{a}}right)^{2}-4times {frac {c}{a}}={frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}

となる。a2 > 0 であるので、実用上は分母を掃った b2 – 4ac を判別式として用いることが多い。

関連項目[編集]