重根 (多項式) – Wikipedia
重根(じゅうこん、英称:multiple root)とは、1 変数多項式 f(x) の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。
1 変数多項式 f(x) が、定数 a≠0 ,α1,α2, … αn を用いて
- f(x)=a(x−α1)(x−α2)⋯(x−αn){displaystyle f(x)=a(x-alpha _{1})(x-alpha _{2})cdots (x-alpha _{n})}
の形に因数分解され、α1, α2, …, αn の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を f(x) の重根という。
方程式 f(x) = 0 の解は一般に
- {y=f(x)y=0{displaystyle left{{begin{matrix}y&=&f(x)\y&=&0end{matrix}}right.}
つまり xy-座標系において y = f(x) と x 軸との交点の x 座標である。 f(x)が1変数多項式のとき、 y = f(x) がx=αで x 軸に接するなら、αは f(x) の重根となる。したがってf(x)はx=αでの微分も0となり、x=αがf(x) の重根であることと
であることは同値である。
体 K 上の多項式 f(x) と K の元 α に対し、(x – α)2 | f(x) が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 k と多項式 g(x) で
- f(x)=(x−α)kg(x){displaystyle f(x)=(x-alpha )^{k}g(x)}
を満たすものが存在するとき、α を f(x) の重根という。特に g(x) が α を根に持たないならば、k を根 α の重複度(ちょうふくど、multiplicity)という。
多項式 f(x) の根を α1, α2, …, αn とし、その全体から作られる最簡交代式(差積)の平方
- Df:=∏1≤i<j≤n(αi−αj)2{displaystyle D_{f}:=prod _{1leq i
を多項式 f(x) あるいは方程式 f(x) = 0 の判別式(はんべつしき、discriminant)という。
これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。これは、
- 差積の平方が根に関する対称式となること、
- 対称式が基本対称式で表すことができること、
- 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること(根と係数の関係)
によって保証される。
たとえば、二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の根を α, β とすると根と係数の関係により
- α+β=−ba,{displaystyle alpha +beta =-{frac {b}{a}},}
- αβ=ca{displaystyle alpha beta ={frac {c}{a}}}
が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は
- (α−β)2=(α+β)2−4αβ=(−ba)2−4×ca=b2−4aca2{displaystyle (alpha -beta )^{2}=(alpha +beta )^{2}-4alpha beta =left(-{frac {b}{a}}right)^{2}-4times {frac {c}{a}}={frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}
となる。a2 > 0 であるので、実用上は分母を掃った b2 – 4ac を判別式として用いることが多い。
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