この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。出典検索? : “上半平面” – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2017年2月
数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面 （じょうはんへいめん、英: upper half plane ）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは
H {displaystyle {mathfrak {H}}} H − や H − などと書かれ、対比的に上半平面を H + などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
H = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y > 0 } {displaystyle mathbb {H} ={(x,y)in mathbb {R} ^{2}mid y>0}}
H = H + = H + = { z ∈ C ∣ ℑ z > 0 } = { x + y i ∣ x , y ∈ R , y > 0 } , {displaystyle {mathfrak {H}}={mathfrak {H}}^{+}={mathfrak {H}}_{+}={zin mathbb {C} mid Im ,z>0}={x+yimid x,yin mathbb {R} ,,y>0},}
H ¯ = H ∪ ∂ H = H + ∪ R ∪ { ∞ } . {displaystyle {bar {mathfrak {H}}}={mathfrak {H}}cup partial {mathfrak {H}}={mathfrak {H}}^{+}cup mathbb {R} cup {infty }.}
H ¯ ∪ H − = H + ∪ H − ∪ R ∪ { ∞ } = Riemann sphere . {displaystyle {bar {mathfrak {H}}}cup {mathfrak {H}}_{-}={mathfrak {H}}_{+}cup {mathfrak {H}}_{-}cup mathbb {R} cup {infty }={mbox{ Riemann sphere}}.}
双曲モデル [ 編集] ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が
d ( z z ¯ ) | ℑ z | 2 {displaystyle {frac {d(z{bar {z}})}{|Im z|^{2}}}}
で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（測地線）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。上半平面を単位円板
D = { z ∈ C ∣ z z ¯ < 1 } {displaystyle D={zin mathbb {C} mid z{bar {z}}<1}}
に写す正則な全単射
H ∋ z ↦ z − i z + i ∈ D {displaystyle {mathfrak {H}}ni zmapsto {frac {z-i}{z+i}}in D}
D ∋ w ↦ 1 + w 1 − w i ∈ H {displaystyle Dni wmapsto {frac {1+w}{1-w}}iin {mathfrak {H}}}
が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量
d ( z z ¯ ) ( 1 − | z | ) 2 {displaystyle {frac {d(z{bar {z}})}{(1-|z|)^{2}}}}
をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。
SL(2) の表現論 [ 編集] 上半平面にリー群 GL(2, R ) が
( a b c d ) z := a z + b c z + d for z ∈ H {displaystyle {begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}z:={frac {az+b}{cz+d}}quad {text{ for }}zin {mathfrak {H}}}
によって（計量を保って）作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は
S O ( 2 , R ) = { ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) } {displaystyle SO(2,mathbb {R} )=left{{begin{pmatrix}cos ,theta &-sin ,theta \sin ,theta &cos ,theta end{pmatrix}}right}}
となるので、解析同相
H ≃ S L ( 2 , R ) / S O ( 2 , R ) {displaystyle {mathfrak {H}}simeq SL(2,mathbb {R} )/SO(2,mathbb {R} )}
が成り立つ。さらに SL(2, Z ) のような離散部分群（しばしば Γ で表される）の作用で H を割った空間（これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ）の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。
関連項目 [ 編集]
と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
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