ポアソン多様体 – Wikipedia


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多様体 Mポアソン多様体(ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold)であるとは、M 上の C 級関数全体のなすベクトル空間を C(M) と表すとき、次の性質を満たす写像

{,}:C(M)×C(M)C(M){displaystyle {cdot ,cdot }colon C^{infty }(M)times C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}

が存在することをいう。

このとき、写像

{,}:C(M)×C(M)C(M){displaystyle {cdot ,cdot }colon C^{infty }(M)times C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}

M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

(M,ω){displaystyle ,(M,omega ),}

をシンプレクティック多様体とする。このとき、

M{displaystyle M}

上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

ここで、

Xf,Xg{displaystyle ,X_{f},X_{g},}

はそれぞれ

f,g{displaystyle ,f,g,}

から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

(q1,,qn,p1,,pn){displaystyle (q_{1},cdots ,q_{n},p_{1},cdots ,p_{n})}

をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

と書ける。

関連項目[編集]