ゲルフォント＝シュナイダーの定理 – Wikipedia

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gel’fond-Schneider’s theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンドル・ゲルフォント（英語版）とテオドール・シュナイダー（英語版）によって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張[編集]

α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、

${displaystyle alpha ^{beta }}$

は、超越数である。

系1

${displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}$

を 0, 1 以外の代数的数とする。

${displaystyle log alpha _{1}/log alpha _{2}}$

は、有理数であるか超越数である。

系2

${displaystyle alpha _{1},alpha _{2},beta _{1},beta _{2}}$

を 0 以外の代数的数とする。もし、

${displaystyle log alpha _{1},log alpha _{2}}$

が有理数体上線形独立であるならば、

${displaystyle beta _{1}log alpha _{1}+beta _{2}log alpha _{2}neq 0}$

である。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

ダフィット・ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、アレクサンドル・ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、

${displaystyle alpha ^{beta }}$

が超越数であることを証明し、例えば、

${displaystyle e^{pi }}$

が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲルは、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、ロディオン・クズミン（英語版）は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。
この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。
ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。

1. ^ 整数
   ${displaystyle k, l}$

   に対して、

   ${displaystyle alpha ^{k}beta ^{l}=1}$

   ならば、

   ${displaystyle k=l=0}$

   が成り立つとき、

   ${displaystyle alpha , beta }$

   は、乗法的独立であるという。

関連項目[編集]

参考文献[編集]