ワイエルシュトラスの因数分解定理 – Wikipedia

複素解析において、ワイエルシュトラスの因数分解定理（ワイエルシュトラスのいんすうぶんかいていり、英: Weierstrass factorization theorem）とは、整函数がその零点に関係する積で表すことができるという定理である。さらに、無限大へ向かう任意の数列に対し、ちょうどその数列の点を零点に持つ整函数が存在する。

この定理の名前はカール・ワイエルシュトラスに因んでいる。
混同の恐れのない限り、単にワイエルシュトラスの定理（ワイエルシュトラスのていり、英: Weierstrass theorem）とも呼ばれる。

定理は有理型函数へ拡張され、与えられた有理型函数を 3つの要素の積として考えることが可能になる。3つの要素とは、函数の極、函数の零点に依存するものと、これらに付帯する 0 でない正則函数である。

代数学の基本定理から 2つのことが分かる^[1]。

複素平面内の有限列 ${displaystyle {c_{n}}}$

複素平面内のすべての多項式函数 ${displaystyle p(z)}$

上記の方法を整函数へ拡張する方法を考える。一般の整函数の場合、数列

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ が有限でない場合が有り得る。つまり、零点が可算無限個存在する場合もあり得る(例えば、

{displaystyle sin z}

${displaystyle sin z}$ )。もし、無限数列

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ が有界であれば、必ず集積点を持つ(ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理)ので、一致の定理により

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ を零点とする函数

{displaystyle f(z)}

$f(z)$ は、複素平面全体で恒等的に 0 である。

従って、函数

{displaystyle f(z)}

$f(z)$ が、

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ を零点とし、かつ複素平面全体で恒等的に 0 ではないためには、

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ は有界であってはならないことになる。この場合、

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ が有限集合の場合と同様に、函数

{displaystyle f(z)=,textstyle prod _{n=1}^{infty }(z-c_{n})}

${displaystyle f(z)=,textstyle prod _{n=1}^{infty }(z-c_{n})}$ を考えても、

{displaystyle n}

$n$ が一定値を超えれば、因子

{displaystyle (z-c_{n})}

${displaystyle (z-c_{n})}$ の絶対値は全て 1 を超えるので、この無限積は収束しない。

発想を変えて、函数

{displaystyle f(z)=,textstyle prod _{n=1}^{infty }(1-{tfrac {z}{c_{n}}})}

${displaystyle f(z)=,textstyle prod _{n=1}^{infty }(1-{tfrac {z}{c_{n}}})}$ とすればどうであろうか(

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ は0を含まないものとする)。この無限積は、もし収束するのであれば、数列

{displaystyle {c_{n}}}

${c_n}$ を零点として持つ。また、因子

{displaystyle (1-{tfrac {z}{c_{n}}})}

${displaystyle (1-{tfrac {z}{c_{n}}})}$ は

{displaystyle nto infty }

$nto infty$ のとき 1 に漸近して行くので、収束する可能性はある。なお、無限積は z に関係なく恒等的に 0 に収束する場合は、収束とはみなされない点も考慮する必要がある。

実は、単純にこの形では無限積の収束は保証できないが、各因子

{displaystyle (1-{tfrac {z}{c_{n}}},)}

${displaystyle (1-{tfrac {z}{c_{n}}},)}$ にある係数(zの函数)を掛けてから無限積を取ると収束することを証明するのが、本定理「ワイエルシュトラスの因数分解定理」である。次に示す、ワイエルシュトラスの基本因子(elementary factors)

{displaystyle E_{p}(z)}

${displaystyle E_{p}(z)}$ を使えば、

{displaystyle (1-{tfrac {z}{c_{n}}})}

${displaystyle (1-{tfrac {z}{c_{n}}})}$ と係数を掛けた因子は

{displaystyle E_{p}({tfrac {z}{c_{n}}})}

${displaystyle E_{p}({tfrac {z}{c_{n}}})}$ と表される。

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基本因子[編集]

主要因子(primary factors)とも呼ばれる^[2]。

{displaystyle nin mathbb {N} }

$n in mathbb{N}$ に対し、基本因子を次のように定義する^[3]。

{displaystyle E_{n}(z)={begin{cases}(1-z)&{text{if }}n=0,\(1-z)exp left({frac {z^{1}}{1}}+{frac {z^{2}}{2}}+cdots +{frac {z^{n}}{n}}right)&{text{otherwise}}.end{cases}} .}

上の式で、指数関数の引数になっている

{displaystyle {tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots +{tfrac {z^{n}}{n}}}

${displaystyle {tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots +{tfrac {z^{n}}{n}}}$ という級数について、注目すべき点をいくつか述べておく。

{displaystyle |z|<1}

${displaystyle |z|<1}$ の場合、

{displaystyle {frac {1}{1-z}}=1+z^{1}+z^{2}+z^{3}+cdots }

とテイラー展開可能である。この両辺を積分すると次のようになる。

{displaystyle int {frac {1}{1-z}},dz=-ln(1-z)={tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots }

{displaystyle ,{tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots +{tfrac {z^{n}}{n}}}

${displaystyle ,{tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots +{tfrac {z^{n}}{n}}}$ は上のテイラー展開を有限項で打ち切った形になっている。さらに、

{displaystyle (1-z)=exp(ln(1-z))=exp left(-{tfrac {z^{1}}{1}}-{tfrac {z^{2}}{2}}-{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots right)}

{displaystyle {frac {1}{1-z}}=exp left({tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots right)}

である。

また、

{displaystyle ,{tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots +{tfrac {z^{n}}{n}}}

${displaystyle ,{tfrac {z^{1}}{1}}+{tfrac {z^{2}}{2}}+{tfrac {z^{3}}{3}}+cdots +{tfrac {z^{n}}{n}}}$ を微分すると、

{displaystyle 1+z^{1}+z^{2}+cdots +z^{n-1}={tfrac {1-z^{n}}{1-z}}}

${displaystyle 1+z^{1}+z^{2}+cdots +z^{n-1}={tfrac {1-z^{n}}{1-z}}}$ となる。

以上の性質を用いて、次の補題が証明できる^[3]。

補題（15.8, ルーディン(Rudin)）： |z| ≤ 1, n ∈ N_o に対し、

{displaystyle vert 1-E_{n}(z)vert leq vert zvert ^{n+1}.}

定理の 2つの形[編集]

特定の零点を持つ整函数の存在[編集]

単にワイエルシュトラスの定理 (Weierstrass theorem) と呼ばれることがある^[4]。

{displaystyle {a_{n}}}

${a_n}$ を 0 にはならない複素数の数列で、

{displaystyle |a_{n}|to infty }

$|a_n|toinfty$ とする。整数の数列

{displaystyle {p_{n}}}

${p_n}$ がすべての

{displaystyle r>0}

$r>0″/></span> に対して、 </p> <dl> <dd><span class=$

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }left(r/|a_{n}|right)^{1+p_{n}}

$sum_{n=1}^infty left( r/|a_n|right)^{1+p_n} < infty,$

であるとすると、函数

{displaystyle f(z)=prod _{n=1}^{infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}

は点

{displaystyle a_{n}}

$a_n$ にのみ零点を持つ整函数である。数

{displaystyle z_{0}}

$z_{0}$ が数列

{displaystyle {a_{n}}}

${a_n}$ の中にちょうど m 回あれば、函数 f は

{displaystyle z=z_{0}}

$z=z_{0}$ に多重度 m の零点を持つ。

ワイエルシュトラスの因数分解定理[編集]

ワイエルシュトラスの定理は、ワイエルシュトラスの積/因子定理と呼ばれることもある^[5]。

f を整函数とし、

{displaystyle {a_{n}}}

${a_n}$ を f の 0 以外の零点とする（多重度だけ繰り返すものとする）。f が z = 0 で位数 m ≥ 0 である零点を持つとする（ z = 0 で位数 m = 0 の零点とは、ƒ(0) ≠ 0 を意味する）と、整函数 g と整数の数列

{displaystyle {p_{n}}}

${p_n}$ が存在し、

{displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}prod _{n=1}^{infty }E_{p_{n}}!!left({frac {z}{a_{n}}}right)}

となる^[6]。

因数分解の例[編集]

${displaystyle sin pi z=pi zprod _{nneq 0}left(1-{frac {z}{n}}right)e^{z/n}=pi zprod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {z^{2}}{n^{2}}}right)}$
${displaystyle cos pi z=prod _{qin mathbb {Z} ,,q;{text{odd}}}left(1-{frac {2z}{q}}right)e^{2z/q}=prod _{n=0}^{infty }left(1-{frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}right)}$

アダマールの因数分解定理[編集]

f が有限の位数^[7]の整函数は、因数分解

{displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}displaystyle prod _{n=1}^{infty }E_{p}(z/a_{n})}

を持つ。ここに g(z) は次数 q の多項式であり、q ≤ ρ で p=[ρ] である^[6]。

参照項目[編集]

^ Knopp, K. (1996), “Weierstrass’s Factor-Theorem”, Theory of Functions, Part II, New York: Dover, pp. 1–7 .
^ Boas, R. P. (1954), Entire Functions, New York: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.
^ ^a ^b ^c Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (3rd ed.), Boston: McGraw Hill, pp. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .
^ Weisstein, Eric W. “Weierstrass’s Theorem“. MathWorld (英語).
^ Weisstein, Eric W. “Weierstrass Product Theorem“. MathWorld (英語).
^ ^a ^b Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3
^ z = 0 で m 位の零点 (m ≧ 0) を持ち、その他の零点が α₁,α₂, …, α_n, α_n+1,… (0 < |α₁| ≦ |α₂| ≦ |α₃| …→ ∞) である超越整函数 f(z)を、ワイエルシュトラスの標準乗積で、

${displaystyle f(z)=e^{g(z)}z^{m}prod _{k=1}^{infty }{biggl (}1-{frac {z}{alpha _{k}}}{biggr )}e^{g_{k}(z/alpha _{k})}}$

と表すことができる。ここに、g(z) は整函数で、

${displaystyle g_{k}(z)=z+(1/2)z^{2}+(1/2)z^{3}+cdots +(1/p_{k})z^{p_{k}}}$

である。ここでは、p₁, p₂,… は、
${displaystyle sum _{k=1}^{infty }{biggl |}{frac {z}{alpha _{k}}}{biggr |}^{p_{k}+1}}$
$sum^infty_{k=1}biggl|frac{z}{alpha_k}biggr|^{p_k+1}$ がすべての z に対して収束するような自然数である。このとき超越整函数の位数は、

${displaystyle rho =limsup _{rrightarrow infty }log log {M(r)}/log {r}}$

で定義される。M(r) は |z| = r における |f(z)| の最大値である。

外部リンク[編集]

[knopp-1] Knopp, K. (1996), “Weierstrass’s Factor-Theorem”, Theory of Functions, Part II, New York: Dover, pp. 1–7 .

[boas-2] Boas, R. P. (1954), Entire Functions, New York: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.

[rudin-3] Rudin, W. (1987), Real and Complex Analysis (3rd ed.), Boston: McGraw Hill, pp. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .

[mw-wst-4] Weisstein, Eric W. “Weierstrass’s Theorem“. MathWorld (英語).

[mw-wpt-5] Weisstein, Eric W. “Weierstrass Product Theorem“. MathWorld (英語).

[conway-6] Conway, J. B. (1995), Functions of One Complex Variable I, 2nd ed., springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3

[7] z = 0 で m 位の零点 (m ≧ 0) を持ち、その他の零点が α₁,α₂, …, α_n, α_n+1,… (0 < |α₁| ≦ |α₂| ≦ |α₃| …→ ∞) である超越整函数 f(z)を、ワイエルシュトラスの標準乗積で、

${displaystyle f(z)=e^{g(z)}z^{m}prod _{k=1}^{infty }{biggl (}1-{frac {z}{alpha _{k}}}{biggr )}e^{g_{k}(z/alpha _{k})}}$

と表すことができる。ここに、g(z) は整函数で、

${displaystyle g_{k}(z)=z+(1/2)z^{2}+(1/2)z^{3}+cdots +(1/p_{k})z^{p_{k}}}$

である。ここでは、p₁, p₂,… は、
${displaystyle sum _{k=1}^{infty }{biggl |}{frac {z}{alpha _{k}}}{biggr |}^{p_{k}+1}}$
$sum^infty_{k=1}biggl|frac{z}{alpha_k}biggr|^{p_k+1}$ がすべての z に対して収束するような自然数である。このとき超越整函数の位数は、

${displaystyle rho =limsup _{rrightarrow infty }log log {M(r)}/log {r}}$

で定義される。M(r) は |z| = r における |f(z)| の最大値である。

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基本因子[編集]

定理の 2つの形[編集]

特定の零点を持つ整函数の存在[編集]

ワイエルシュトラスの因数分解定理[編集]

因数分解の例[編集]

アダマールの因数分解定理[編集]

参照項目[編集]

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