[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/jp\/wiki6\/archives\/6305#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/jp\/wiki6\/archives\/6305","headline":"\u74b0 (\u6570\u5b66) – Wikipedia","name":"\u74b0 (\u6570\u5b66) – Wikipedia","description":"\u30a6\u30a3\u30ad\u30d6\u30c3\u30af\u30b9\u306b\u74b0\u8ad6\u95a2\u9023\u306e\u89e3\u8aac\u66f8\u30fb\u6559\u79d1\u66f8\u304c\u3042\u308a\u307e\u3059\u3002 \u6570\u5b66\u306b\u304a\u3051\u308b\u74b0\uff08\u304b\u3093\u3001\u82f1: 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Table of Contents 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 Table of Contents\u5b9a\u7fa9\u3068\u5c0e\u5165[\u7de8\u96c6]\u539f\u578b\u7684\u306a\u4f8b[\u7de8\u96c6]\u53b3\u5bc6\u306a\u5b9a\u7fa9[\u7de8\u96c6]\u81ea\u660e\u306a\u4f8b[\u7de8\u96c6]\u5b9a\u7fa9\u306b\u95a2\u3059\u308b\u6ce8\u610f[\u7de8\u96c6]\u5c11\u3057\u3060\u3051\u975e\u81ea\u660e\u306a\u4f8b[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306e\u521d\u7b49\u7684\u6027\u8cea[\u7de8\u96c6]\u57fa\u672c\u6982\u5ff5[\u7de8\u96c6]\u90e8\u5206\u74b0[\u7de8\u96c6]\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306e\u6e96\u540c\u578b[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306e\u69cb\u6210\u6cd5[\u7de8\u96c6]\u5270\u4f59\u74b0[\u7de8\u96c6]\u591a\u9805\u5f0f\u74b0[\u7de8\u96c6]\u884c\u5217\u74b0[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306e\u904d\u5728\u6027[\u7de8\u96c6]\u4f4d\u76f8\u7a7a\u9593\u306e\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u74b0[\u7de8\u96c6]\u7fa4\u306e\u30d0\u30fc\u30f3\u30b5\u30a4\u30c9\u74b0[\u7de8\u96c6]\u7fa4\u74b0\u306e\u8868\u73fe\u74b0[\u7de8\u96c6]\u65e2\u7d04\u4ee3\u6570\u591a\u69d8\u4f53\u306e\u51fd\u6570\u4f53[\u7de8\u96c6]\u5358\u4f53\u7684\u8907\u4f53\u306e\u9762\u74b0[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306e\u30af\u30e9\u30b9[\u7de8\u96c6]\u6709\u9650\u74b0[\u7de8\u96c6]\u7d50\u5408\u591a\u5143\u74b0[\u7de8\u96c6]\u30ea\u30fc\u74b0[\u7de8\u96c6]\u4f4d\u76f8\u74b0[\u7de8\u96c6]\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0[\u7de8\u96c6]\u4e00\u610f\u5206\u89e3\u6574\u57df[\u7de8\u96c6]\u6574\u57df\u3068\u4f53[\u7de8\u96c6]\u975e\u53ef\u63db\u74b0[\u7de8\u96c6]\u570f\u8ad6\u7684\u8a18\u8ff0[\u7de8\u96c6]\u95a2\u9023\u9805\u76ee[\u7de8\u96c6]\u95a2\u9023\u6587\u732e[\u7de8\u96c6]\u4e00\u822c\u8ad6\u306b\u3064\u3044\u3066\u306e\u3082\u306e[\u7de8\u96c6]\u7279\u5b9a\u306e\u8a71\u984c\u306b\u95a2\u3059\u308b\u3082\u306e[\u7de8\u96c6]\u6b74\u53f2\u306b\u95a2\u3059\u308b\u3082\u306e[\u7de8\u96c6]\u5b9a\u7fa9\u3068\u5c0e\u5165[\u7de8\u96c6]\u539f\u578b\u7684\u306a\u4f8b[\u7de8\u96c6]\u3082\u3063\u3068\u3082\u3088\u304f\u77e5\u3089\u308c\u305f\u74b0\u306e\u4f8b\u306f\u6574\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 Z \u306b\u3001\u901a\u5e38\u306e\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u3092\u8003\u3048\u305f\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u3002\u3059\u306a\u308f\u3061 Z \u306f\u6240\u8b02\u300c\u74b0\u306e\u516c\u7406\u7cfb\u300d\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u7a2e\u3005\u306e\u6027\u8cea\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u6574\u6570\u306e\u96c6\u5408\u306b\u304a\u3051\u308b\u57fa\u672c\u6027\u8cea\u52a0\u6cd5\u4e57\u6cd5\u6f14\u7b97\u306e\u9589\u6027a + b \u306f\u6574\u6570a \u00d7 b \u306f\u6574\u6570\u7d50\u5408\u6027a + (b + c) = (a + b) + ca \u00d7 (b \u00d7 c) = (a \u00d7 b) \u00d7 c\u53ef\u63db\u6027a + b = b + aa \u00d7 b = b \u00d7 a\u4e2d\u7acb\u5143\u306e\u5b58\u5728\u6027a + 0 = a \uff08\u96f6\u5143\uff09a \u00d7 1 = a \uff08\u5358\u4f4d\u5143\uff09\u53cd\u6570\u306e\u5b58\u5728\u6027a + (\u2212a) = 0\u5206\u914d\u6027a \u00d7 (b + c) = (a \u00d7 b) + (a \u00d7 c), \u304a\u3088\u3073 (a + b)\u00d7 c = a \u00d7 c + b \u00d7 c\u4e57\u6cd5\u304c\u53ef\u63db\u5f8b\u3092\u6e80\u305f\u3059\u304b\u3089\u3001\u6574\u6570\u306e\u5168\u4f53\u306f\u53ef\u63db\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3002\u53b3\u5bc6\u306a\u5b9a\u7fa9[\u7de8\u96c6]\u74b0\u3068\u306f\u3001\u96c6\u5408 R \u3068\u305d\u306e\u4e0a\u306e\u4e8c\u3064\u306e\u4e8c\u9805\u6f14\u7b97\u3001\u52a0\u6cd5 +: R \u00d7 R \u2192 R \u304a\u3088\u3073\u4e57\u6cd5 \u2217: R \u00d7 R \u2192 R \u306e\u7d44 (R,+,\u2217) \u3067\u3001\u300c\u74b0\u306e\u516c\u7406\u7cfb\u300d\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u4ee5\u4e0b\u306e\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3082\u306e\u3092\u8a00\u3046[3]\uff08\u74b0\u306e\u516c\u7406\u7cfb\u306b\u306f\u3044\u304f\u3064\u304b\u7570\u306a\u308b\u6d41\u5100\u304c\u3042\u308b\u304c\u3001\u305d\u308c\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u5f8c\u3067\u89e6\u308c\u308b\uff09\u3002  \u52a0\u6cd5\u7fa4(R, +) \u306f\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u52a0\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u9589\u3058\u3066\u3044\u308b\uff1a \u4efb\u610f\u306e a, b \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 a + b \u2208 R \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064[\u6ce8 2]\u3002\u52a0\u6cd5\u306e\u7d50\u5408\u6027\uff1a \u4efb\u610f\u306e a, b, c \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 (a + b) + c = a + (b + c) \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u52a0\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\uff08\u96f6\u5143\uff09\u306e\u5b58\u5728\uff1a\u5982\u4f55\u306a\u308b a \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3082\u5171\u901a\u3057\u3066 0 + a = a + 0 = a \u3092\u6e80\u305f\u3059 0 \u2208 R \u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002\u52a0\u6cd5\u9006\u5143\uff08\u53cd\u5143\u3001\u30de\u30a4\u30ca\u30b9\u5143\uff09\u306e\u5b58\u5728\uff1a \u5404 a \u2208 R \u3054\u3068\u306b a + b = b + a = 0 \u3092\u6e80\u305f\u3059 b \u2208 R \u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002\u52a0\u6cd5\u306e\u53ef\u63db\u6027\uff1a \u4efb\u610f\u306e a, b \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 a + b = b + a \u304c\u6210\u7acb\u3059\u308b\u3002\u4e57\u6cd5\u534a\u7fa4(R,\u2217) \u306f\u30e2\u30ce\u30a4\u30c9\uff08\u3042\u308b\u3044\u306f\u534a\u7fa4\uff09\u3067\u3042\u308b\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u9589\u3058\u3066\u3044\u308b\uff1a \u4efb\u610f\u306e a, b \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 a \u2217 b \u2208 R \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064[\u6ce8 2]\u3002\u4e57\u6cd5\u306e\u7d50\u5408\u6027\uff1a\u4efb\u610f\u306e a, b, c \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 (a \u2217 b)\u2217 c = a \u2217(b \u2217 c) \u304c\u6210\u7acb\u3059\u308b\u3002\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3059\u308b\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u6301\u3064[\u6ce8 1]\u3002\u5206\u914d\u5f8b\u4e57\u6cd5\u306f\u52a0\u6cd5\u306e\u4e0a\u306b\u5206\u914d\u7684\u3067\u3042\u308b\u5de6\u5206\u914d\u5f8b: \u4efb\u610f\u306e a, b, c \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 a \u2217(b + c) = (a \u2217 b) + (a \u2217 c) \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u53f3\u5206\u914d\u5f8b: \u4efb\u610f\u306e a, b, c \u2208 R \u306b\u5bfe\u3057\u3066 (a + b)\u2217 c = (a \u2217 c) + (b \u2217 c) \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3082\u306e\u3092\u3044\u3046\u3002\u4e57\u6cd5\u6f14\u7b97\u306e\u8a18\u53f7 \u2217 \u306f\u666e\u901a\u7701\u7565\u3055\u308c\u3066\u3001a \u2217 b \u306f\u3001ab \u3068\u66f8\u304b\u308c\u308b\u3002\u3088\u304f\u77e5\u3089\u308c\u305f\u6574\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 Z, \u6709\u7406\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 Q, \u5b9f\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 R \u3042\u308b\u3044\u306f\u8907\u7d20\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408\u306f\u901a\u5e38\u306e\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u305d\u308c\u305e\u308c\u74b0\u3092\u6210\u3059\u3002\u307e\u305f\u5225\u306a\u4f8b\u3068\u3057\u3066\u3001\u540c\u3058\u30b5\u30a4\u30ba\u306e\u6b63\u65b9\u884c\u5217\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408\u3082\u884c\u5217\u306e\u548c\u3068\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u74b0\u3092\u6210\u3059\uff08\u3053\u306e\u5834\u5408\u306e\u74b0\u3068\u3057\u3066\u306e\u96f6\u5143\u306f\u96f6\u884c\u5217\u3001\u5358\u4f4d\u5143\u306f\u5358\u4f4d\u884c\u5217\u3067\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u308b\uff09\u3002\u81ea\u660e\u306a\u4f8b[\u7de8\u96c6]\uff08\u4e2d\u8eab\u306f\u5b9f\u969b\u306b\u306f\u4f55\u3067\u3082\u3088\u3044\u304b\u3089\uff09\u4e00\u5143\u96c6\u5408 {0} \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001\u6f14\u7b97\u30920 + 0 = 00 \u00d7 0 = 0\u3067\u5b9a\u3081\u308b\u3068\u304d\u3001({0}, +, \u00d7) \u304c\u74b0\u306e\u516c\u7406\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3053\u3068\u306f\u3059\u3050\u306b\u5206\u304b\u308b\uff08\u3053\u308c\u3092\u81ea\u660e\u74b0\u3068\u3044\u3046\uff09\u3002\u5b9f\u969b\u3001\u4efb\u610f\u306e\u548c\u3082\u7a4d\u3082\u305f\u3060\u4e00\u3064 0 \u306b\u3057\u304b\u306a\u3089\u306a\u3044\u306e\u3067\u3001\u52a0\u6cd5\u3084\u4e57\u6cd5\u304c\u9589\u3058\u3066\u3044\u3066\u5206\u914d\u5f8b\u3092\u6e80\u305f\u3059\u306e\u306f\u660e\u3089\u304b\u3067\u3042\u308b\u3057\u3001\u96f6\u5143\u3082\u5358\u4f4d\u5143\u3082\u3068\u3082\u306b 0 \u3067\u3042\u3063\u3066\u30010 \u306e\u52a0\u6cd5\u9006\u5143\u306f 0 \u81ea\u8eab\u3067\u3042\u308b\u3002\u81ea\u660e\u74b0\u306f\u96f6\u74b0[\u6ce8 3] \u306e\u81ea\u660e\u306a\u4f8b\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002\u5b9a\u7fa9\u306b\u95a2\u3059\u308b\u6ce8\u610f[\u7de8\u96c6]\u516c\u7406\u7684\u306a\u53d6\u308a\u6271\u3044\u306b\u304a\u3044\u3066\u3001\u6587\u732e\u306b\u3088\u3063\u3066\u306f\u3057\u3070\u3057\u3070\u7570\u306a\u308b\u6761\u4ef6\u3092\u516c\u7406\u3068\u3057\u3066\u8ab2\u3059\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u306e\u3067\u3001\u305d\u306e\u3053\u3068\u306b\u7559\u610f\u3059\u3079\u304d\u3067\u3042\u308b\u3002\u74b0\u8ad6\u306e\u5834\u5408\u4f8b\u3048\u3070\u3001\u516c\u7406\u3068\u3057\u3066\u300c\u74b0\u306e\u4e57\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\u304c\u52a0\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\u3068\u7570\u306a\u308b\u300d\u3068\u3044\u3046\u6761\u4ef6 1 \u2260 0 \u3092\u8ab2\u3059\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u3002\u3053\u308c\u306f\u7279\u306b\u300c\u81ea\u660e\u306a\u74b0\u306f\u74b0\u306e\u4e00\u7a2e\u3068\u306f\u8003\u3048\u306a\u3044\u300d\u3068\u5ba3\u8a00\u3059\u308b\u3053\u3068\u3068\u540c\u3058\u3067\u3042\u308b\u3002\u3082\u3063\u3068\u91cd\u5927\u306a\u5dee\u7570\u3092\u751f\u3080\u6d41\u5100\u3068\u3057\u3066\u3001\u74b0\u306b\u306f\u300c\u4e57\u6cd5\u306e\u5358\u4f4d\u5143\u306e\u5b58\u5728\u3092\u8981\u6c42\u3057\u306a\u3044\u300d\u3068\u3044\u3046\u3082\u306e\u304c\u3042\u308b[4][5][6]\u3002\u3053\u308c\u3092\u8a8d\u3081\u308b\u3068\u3001\u4f8b\u3048\u3070\u5076\u6570\u3067\u3042\u308b\u3088\u3046\u306a\u6574\u6570\u306e\u5168\u4f53 2Z \u3082\u901a\u5e38\u306e\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3059\u308b\u74b0\u3068\u306a\u308b\u3068\u8003\u3048\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\uff08\u5b9f\u969b\u306b\u3053\u308c\u306f\u4e57\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\u306e\u5b58\u5728\u4ee5\u5916\u306e\u74b0\u306e\u516c\u7406\u3092\u5168\u3066\u6e80\u8db3\u3059\u308b\uff09\u3002\u4e57\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\u306e\u5b58\u5728\u4ee5\u5916\u306e\u74b0\u306e\u516c\u7406\u3092\u6e80\u8db3\u3059\u308b\u74b0\u306f\u3001\u3057\u3070\u3057\u3070\u64ec\u74b0 (pseudo-ring) \u3068\u3082\u547c\u3070\u308c\u3001\u3042\u308b\u3044\u306f\u591a\u5c11\u304a\u3069\u3051\u3066\uff08ring \u3060\u3051\u308c\u3069\u3082\u4e57\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143 i \u304c\u7121\u3044\u304b\u3089\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\uff09”rng” \u3068\u66f8\u304b\u308c\u308b\u3053\u3068\u3082\u3042\u308b\u3002\u3053\u308c\u3068\u5bfe\u7167\u7684\u306b\u3001\u4e57\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u3092\u5f37\u8abf\u3059\u308b\u5834\u5408\u306b\u306f\u3001\u5358\u4f4d\u7684\u74b0\u3084\u5358\u4f4d\u74b0 (unital ring, unitary ring) \u3042\u308b\u3044\u306f\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u6301\u3064\u74b0 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) \u306a\u3069\u3068\u547c\u3076[7]\u3002\u305f\u3060\u3057\u3001\u975e\u5358\u4f4d\u7684\u74b0\u3092\u5358\u4f4d\u7684\u74b0\u306b\u57cb\u3081\u8fbc\u3080\u3053\u3068\u306f\u5e38\u306b\u3067\u304d\u308b\uff08\u5358\u4f4d\u5143\u306e\u6dfb\u52a0\uff09\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306b\u6ce8\u610f\u3002\u4ed6\u306b\u3082\u5927\u304d\u306a\u9055\u3044\u3092\u751f\u3080\u74b0\u306e\u5b9a\u7fa9\u3092\u63a1\u7528\u3059\u308b\u5834\u5408\u304c\u3042\u308a\u3001\u4f8b\u3048\u3070\u3001\u74b0\u306e\u516c\u7406\u304b\u3089\u4e57\u6cd5\u306e\u7d50\u5408\u6027\u3092\u843d\u3068\u3057\u3066\u3001\u975e\u7d50\u5408\u74b0\u3042\u308b\u3044\u306f\u5206\u914d\u74b0\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u74b0\u3092\u8003\u3048\u308b\u5834\u5408\u304c\u3042\u308b\u3002\u672c\u9805\u3067\u306f\u7279\u306b\u6307\u5b9a\u306e\u7121\u3044\u9650\u308a\u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u74b0\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u6271\u308f\u306a\u3044\u3002\u5c11\u3057\u3060\u3051\u975e\u81ea\u660e\u306a\u4f8b[\u7de8\u96c6]\u96c6\u5408 Z4 \u3092\u6570 0, 1, 2, 3 \u304b\u3089\u306a\u308b\u96c6\u5408\u3068\u3057\u3001\u5f8c\u306b\u8ff0\u3079\u308b\u3088\u3046\u306a\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u3092\u5b9a\u3081\u308b\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b\uff08\u4efb\u610f\u306e\u6574\u6570 x \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001\u305d\u308c\u3092 4 \u3067\u5272\u3063\u305f\u4f59\u308a x mod 4 \u306e\u6210\u3059\u5270\u4f59\u985e\u74b0\uff09\u3002\u4efb\u610f\u306e x, y \u2208 Z4 \u306b\u5bfe\u3057\u3066 x + y \u306f\u3001\u305d\u308c\u3092\u6574\u6570\u3068\u307f\u3066\u306e\u548c\u306e mod 4\u3002\u5f93\u3063\u3066 Z4 \u306e\u52a0\u6cd5\u69cb\u9020\u306f\u3001\u4e0b\u306b\u63b2\u3052\u305f\u8868\u306e\u5de6\u5074\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002\u4efb\u610f\u306e x, y \u2208 Z4 \u306b\u5bfe\u3057\u3066 x \u22c5 y \u306f\u3001\u305d\u308c\u3092\u6574\u6570\u3068\u307f\u3066\u306e\u7a4d\u306e mod 4\u3002\u5f93\u3063\u3066 Z4 \u306e\u4e57\u6cd5\u69cb\u9020\u306f\u3001\u4e0b\u306b\u63b2\u3052\u305f\u8868\u306e\u53f3\u5074\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002\u00b7012300000101232020230321+012300123112302230133012\u3053\u306e Z4 \u304c\u3053\u308c\u3089\u306e\u6f14\u7b97\u306b\u95a2\u3057\u3066\u74b0\u3092\u6210\u3059\u3053\u3068\u306f\u7c21\u5358\u306b\u78ba\u8a8d\u3067\u304d\u308b\uff08\u7279\u306b\u8208\u5473\u3092\u5f15\u304f\u70b9\u306f\u306a\u3044\uff09\u3002\u307e\u305a\u306f\u3001Z4 \u304c\u52a0\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u9589\u3058\u3066\u3044\u308b\u3053\u3068\u306f\u8868\u3092\u898b\u308c\u3070\uff080, 1, 2, 3 \u4ee5\u5916\u306e\u5143\u306f\u51fa\u3066\u3053\u306a\u3044\u304b\u3089\uff09\u660e\u3089\u304b\u3067\u3042\u308b\u3002Z4 \u306b\u304a\u3051\u308b\u52a0\u6cd5\u306e\u7d50\u5408\u6027\u3068\u53ef\u63db\u6027\u306f\u6574\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u74b0 Z \u306e\u6027\u8cea\u304b\u3089\u5c0e\u304b\u308c\u308b\uff08\u53ef\u63db\u6027\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u3001\u8868\u306e\u4e3b\u5bfe\u89d2\u7dda\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u5bfe\u79f0\u6027\u304b\u3089\u3082\u4e00\u898b\u3057\u3066\u76f4\u3061\u306b\u308f\u304b\u308b\uff09\u30020 \u304c\u96f6\u5143\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u3082\u8868\u304b\u3089\u660e\u3089\u304b\u3067\u3042\u308b\u3002\u4efb\u610f\u306e\u5143 x \u306e\u30de\u30a4\u30ca\u30b9\u5143\u304c\u5e38\u306b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3053\u3068\u3082\u3001\u305d\u308c\u3092\u6574\u6570\u3068\u307f\u3066\u306e (4 – x) mod 4 \u304c\u6240\u8981\u306e\u30de\u30a4\u30ca\u30b9\u5143\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\u308f\u304b\u308b\uff08\u3082\u3061\u308d\u3093\u8868\u3092\u898b\u3066\u3082\u78ba\u304b\u3081\u3089\u308c\u308b\uff09\u3002\u6545\u306b Z4 \u306f\u52a0\u6cd5\u306e\u4e0b\u3067\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u306b\u306a\u308b\u3002\u540c\u69d8\u306b Z4 \u304c\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u9589\u3058\u3066\u3044\u308b\u3053\u3068\u3082\u53f3\u5074\u306e\u8868\u304b\u3089\u308f\u304b\u308a\u3001Z4 \u306b\u304a\u3051\u308b\u4e57\u6cd5\u306e\u7d50\u5408\u6027\u306f\uff08\u53ef\u63db\u6027\u3082\uff09Z \u306e\u305d\u308c\u304b\u3089\u5f93\u3044\u30011 \u304c\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u6210\u3059\u3053\u3068\u3082\u8868\u3092\u898b\u308c\u3070\u76f4\u3061\u306b\u78ba\u304b\u3081\u3089\u308c\u308b\u3002\u6545\u306b Z4 \u306f\u4e57\u6cd5\u306e\u4e0b\u30e2\u30ce\u30a4\u30c9\u3092\u6210\u3059\u3002Z4 \u306b\u304a\u3044\u3066\u4e57\u6cd5\u304c\u52a0\u6cd5\u306e\u4e0a\u306b\u5206\u914d\u7684\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306f\u3001Z \u306b\u304a\u3051\u308b\u305d\u308c\u304b\u3089\u5f93\u3046\u3002\u307e\u3068\u3081\u308c\u3070\u3001\u78ba\u304b\u306b Z4 \u304c\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u305f\u6f14\u7b97\u306b\u95a2\u3057\u3066\u74b0\u3092\u6210\u3059\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u3002Z4 \u306e\u74b0\u3068\u3057\u3066\u306e\u6027\u8cea\u6574\u6570\u306e\u4e57\u6cd5\u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\u3001\u4e8c\u6574\u6570 x, y \u306e\u7a4d\u304c xy = 0 \u3092\u6e80\u305f\u3059\u306a\u3089\u3070 x = 0 \u307e\u305f\u306f y = 0 \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u304c\u3001\u74b0 (Z4, +, \u22c5) \u3067\u306f\u5fc5\u305a\u3057\u3082\u305d\u308c\u306f\u6210\u7acb\u305b\u305a\u3001\u4f8b\u3048\u3070 2 \u22c5 2 = 0 \u304c\u5404\u56e0\u6570\u304c 0 \u3067\u306f\u306a\u3044\u306b\u3082\u304b\u304b\u308f\u3089\u305a\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u4e00\u822c\u306b\u3001\u74b0 (R, +, \u22c5) \u306e\u975e\u96f6\u5143 a \u304c (R, +, \u22c5) \u306b\u304a\u3051\u308b\u96f6\u56e0\u5b50\u3067\u3042\u308b\u3068\u306f\u3001R \u306e\u975e\u96f6\u5143 b \u3067 ab = 0 \u3092\u6e80\u305f\u3059\u3082\u306e\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3068\u304d\u306b\u8a00\u3046\u3002\u74b0  Z4 \u306b\u304a\u3044\u3066\u306f 2 \u304c\u552f\u4e00\u306e\u96f6\u56e0\u5b50\u3067\u3042\u308b\uff08\u306a\u304a\u30010 \u3092\u96f6\u56e0\u5b50\u3068\u6271\u3046\u3053\u3068\u3082\u3042\u308b\u3053\u3068\u306b\u6ce8\u610f\uff09\u3002\u96f6\u56e0\u5b50\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u53ef\u63db\u74b0\u306f\u6574\u57df\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\uff08\u5f8c\u8ff0\uff09\u3002\u6545\u306b\u6574\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u74b0 Z \u306f\u6574\u57df\u3067\u3042\u308a\u3001\u4e00\u65b9 Z4 \u306f\u6574\u57df\u3067\u306f\u306a\u3044\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3002\u74b0\u306e\u521d\u7b49\u7684\u6027\u8cea[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306e\u52a0\u6cd5\u3084\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3059\u308b\u5b9a\u7fa9\u304b\u3089\u306e\u76f4\u63a5\u7684\u306a\u5e30\u7d50\u3068\u3057\u3066\u3001\u74b0\u306e\u69d8\u3005\u306a\u6027\u8cea\u304c\u5c0e\u304b\u308c\u308b\u3002\u7279\u306b\u3001\u5b9a\u7fa9\u304b\u3089 (R, +) \u306f\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089\u3001\u52a0\u6cd5\u5358\u4f4d\u5143\u306e\u4e00\u610f\u6027\u3084\u5404\u5143\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u52a0\u6cd5\u9006\u5143\u306e\u4e00\u610f\u6027\u306a\u3069\u7fa4\u8ad6\u306e\u5b9a\u7406\u3092\u9069\u7528\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b\u6027\u8cea\u306f\u305f\u304f\u3055\u3093\u3042\u308b\u3002\u4e57\u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066\u3082\u540c\u69d8\u306b\u3057\u3066\u5358\u5143\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u9006\u5143\u306e\u4e00\u610f\u6027\u306a\u3069\u304c\u793a\u3055\u308c\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u74b0\u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\u4e57\u6cd5\u3068\u52a0\u6cd5\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u305f\u69d8\u3005\u306a\u7279\u5fb4\u7684\u6027\u8cea\u3082\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002\u4f8b\u3048\u3070\u3001\u4efb\u610f\u306e\u5143 a \u306b\u3064\u3044\u3066 a0 = 0a = 0 \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u5358\u4f4d\u7684\u74b0\u306b\u304a\u3044\u3066 1 = 0 \u306a\u3089\u3070\u3001\u305d\u306e\u74b0\u306b\u306f\u305f\u3063\u305f\u4e00\u3064\u306e\u5143\u3057\u304b\u542b\u307e\u308c\u306a\u3044\u3002\u4e57\u6cd5\u306e\u5358\u4f4d\u5143\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3068\u304d \u2212a = (\u22121)a \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002(\u2212a)(\u2212b) = ab \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u306a\u3069\u304c\u4efb\u610f\u306e\u74b0\u306b\u304a\u3044\u3066\u793a\u3055\u308c\u308b\u3002\u74b0\u8ad6\u306e\u6b74\u53f2\u7684\u306a\u52d5\u6a5f\u4ed8\u3051\u3068\u306a\u3063\u305f\u4f8b\u3068\u3057\u3066\u6574\u6570\u3084\u4ee3\u6570\u7684\u6574\u6570\u306e\u306a\u3059\u74b0\u304c\u3042\u3052\u3089\u308c\u308b\u3002\u6709\u7406\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 Q\u3001\u5b9f\u6570\u306e\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 R \u3042\u308b\u3044\u306f\u8907\u7d20\u6570\u306e\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 C \u306f\u305d\u308c\u305e\u308c\u74b0\u3092\u306a\u3059\u3002\u5b9f\u969b\u3001\u305d\u308c\u3089\u306f\u4f53\u3067\u3082\u3042\u308b\u3002n \u3092\u6b63\u306e\u6574\u6570\u3068\u3059\u308b\u3068\u304d\u3001 n \u3092\u6cd5\u3068\u3059\u308b\u6574\u6570\u306e\u96c6\u5408 Z \/ nZ \u306f\u74b0\u3067\u3042\u308b\uff08\u3053\u306e\u8a18\u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u3001\u4ee5\u4e0b\u306e\u5270\u4f59\u74b0\u3092\u53c2\u7167\uff09\u3002\u9589\u533a\u9593 [a, b] \u3067\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u308b\u3059\u3079\u3066\u306e\u5b9f\u6570\u5024\u9023\u7d9a\u95a2\u6570\u306e\u306a\u3059\u96c6\u5408 C[a, b] \u306f\u74b0\uff08\u3055\u3089\u306b\u5b9f\u6570\u4f53\u4e0a\u306e\u591a\u5143\u74b0 \uff09\u3092\u306a\u3059\u3002\u6f14\u7b97\u306f\u95a2\u6570\u306e\u5404\u70b9\u3067\u306e\u5024\u3054\u3068\u306b\u95a2\u3059\u308b\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u3067\u5165\u308c\u308b\u3002\u3059\u306a\u308f\u3061\u3001\u95a2\u6570 f(x) \u304a\u3088\u3073 g(x) \u306e\u548c\u3068\u7a4d\u306f\u3001\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306a\u5024\u3092\u3068\u308b\u95a2\u6570\u3068\u3057\u3066\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u308b\u3002(f+g)(x)=f(x)+g(x){displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}(fg)(x)=f(x)g(x){displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)}\u4fc2\u6570\u3092\u3042\u308b\u74b0 R \u306b\u6301\u3064\u591a\u5909\u6570\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u5168\u4f53\u306e\u96c6\u5408 R[x1, x2, …, xn] \u306f\u74b0\u3092\u306a\u3059\u3002A \u3092\u74b0\u3001 n \u3092\u81ea\u7136\u6570\u3068\u3059\u308b\u3068\u304d\u3001 A \u306b\u4fc2\u6570\u3092\u6301\u3064 n \u6b21\u306e\u6b63\u65b9\u884c\u5217\u5168\u4f53\u306e\u96c6\u5408 MnA\u306f\uff08\u4e00\u822c\u306b\u306f\u975e\u53ef\u63db\u306a\uff09\u74b0\u3092\u306a\u3059\u3002G \u304c\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\u3001 G \u306e\u81ea\u5df1\u6e96\u540c\u578b\u5168\u4f53\u306e\u306a\u3059\u96c6\u5408 End(G) \u306f\u3001\u52a0\u6cd5\u3092\u5024\u3054\u3068\u306e\u548c\u3067\u3001\u4e57\u6cd5\u3092\u5199\u50cf\u306e\u5408\u6210\u306b\u3088\u3063\u3066\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b\u3053\u3068\u3067\uff08\u4e00\u822c\u306b\u306f\u975e\u53ef\u63db\u306a\uff09\u74b0\u3092\u306a\u3059[\u6ce8 4]\u3002S \u3092\u96c6\u5408\u3068\u3059\u308b\u3068\u304d\u3001 S \u306e\u51aa\u96c6\u5408 P(S) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u3057\u3066\u74b0\u306b\u306a\u308b (A, B \u2282 S)\uff1aA+B=(A\u222aB)\u2212(A\u2229B){displaystyle A+B=(Acup B)-(Acap B)}A\u2217B=A\u2229B{displaystyle A*B=Acap B}\u3053\u308c\u306f\u30d6\u30fc\u30eb\u4ee3\u6570\u306e\u4f8b\u3067\u3042\u308b\u3002\u57fa\u672c\u6982\u5ff5[\u7de8\u96c6]\u4ee5\u4e0b\u3001R \u306f\u4e57\u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066\u53ef\u63db\u3068\u306f\u9650\u3089\u305a\u3001\u5fc5\u305a\u3057\u3082\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b\u3002\u90e8\u5206\u74b0[\u7de8\u96c6]R \u306e\u90e8\u5206\u96c6\u5408 S \u304c R \u306b\u304a\u3051\u308b\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066\u74b0\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3068\u304d\u3001S \u306f\u90e8\u5206\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3068\u3044\u3046\u3002\u305f\u3060\u3057\u3001R \u304c\u5358\u4f4d\u7684\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\u306f\u3001S \u304c\uff08\u5358\u4f4d\u7684\u74b0\u3068\u3057\u3066\u306e\uff09\u90e8\u5206\u74b0\u3067\u3042\u308b\u305f\u3081\u306b\u306f S \u304c R \u306b\u304a\u3051\u308b\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u542b\u3080\u3053\u3068\u3092\u8ab2\u3059\u3002R \u306e\u5143\u306e\u3046\u3061\u3067\u307b\u304b\u306e\u3069\u3093\u306a\u5143\u3068\u306e\u7a4d\u3082\u53ef\u63db\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3088\u3046\u306a\u3082\u306e\u3092\u96c6\u3081\u305f\u96c6\u5408 Z(R) \u306fR\u306e\u4e2d\u5fc3\u3068\u3088\u3070\u308c\u308b\u3002Z(R) \u306f R \u306e\u53ef\u63db\u306a\u90e8\u5206\u74b0\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb[\u7de8\u96c6]R \u306e\u90e8\u5206\u96c6\u5408 I \u304c\u52a0\u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066\u9589\u3058\u3066\u3044\u3066\u3001x \u2208 R, y \u2208 I\u306a\u3089\u3070 xy \u3084yx\u304c\u304b\u306a\u3089\u305a I \u306b\u5165\u3063\u3066\u3044\u308b\u3068\u304d\u3001I \u3092\u4e21\u5074\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u3068\u3044\u3046\u3002\uff08\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u4e21\u5074\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u306f\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u6301\u3064\u3068\u306f\u9650\u3089\u306a\u3044\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3002\uff09\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb I \u304c\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b\u3068\u304d\u3001x \u2212 y \u2208 I \u3067 R \u306b\u540c\u5024\u95a2\u4fc2\u3092\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u540c\u5024\u985e\u306e\u9593\u306b\u81ea\u7136\u306a\u6f14\u7b97\u3092\u5b9a\u7fa9\u3067\u304d\u3066\u3001\u74b0\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002\u3053\u306e\u74b0\u3092 R \u306e I \u306b\u3088\u308b\u5270\u4f59\u74b0\u3068\u3044\u3044\u3001R\/I \u3068\u66f8\u304f\u3002\u74b0\u306e\u6e96\u540c\u578b[\u7de8\u96c6]\u74b0\u6e96\u540c\u578b\u3068\u306f\u74b0\u306b\u304a\u3051\u308b\u4e57\u6cd5\u3068\u52a0\u6cd5\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u53ef\u63db\u3067\u3042\u308b\u3088\u3046\u306a\u5199\u50cf\u3067\u3042\u308b\u3002\u5358\u4f4d\u7684\u74b0 R1 \u304b\u3089\u5358\u4f4d\u7684\u74b0 R2 \u3078\u306e\uff08\u5358\u4f4d\u7684\u74b0\uff09\u6e96\u540c\u578b f \u3068\u306f\u3001f(a+b)=f(a)+f(b){displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}f(ab)=f(a)f(b){displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}f(1)=1\u2032{displaystyle f(1)=1′}\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3088\u3046\u306a R1 \u304b\u3089 R2 \u3078\u306e\u5199\u50cf\u306e\u3053\u3068\u3092\u3044\u3046\u3002\u3053\u3053\u3067\u30011 \u306f R1 \u306e\u5358\u4f4d\u5143\u3001 1′ \u306fR2 \u306e\u5358\u4f4d\u5143\u3092\u305d\u308c\u305e\u308c\u8868\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u6e96\u540c\u578b f \u304c\u5168\u5358\u5c04\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\u3001\u540c\u578b\uff08\u5199\u50cf\uff09\u3068\u547c\u3073\u3001R1 \u3068 R2 \u306f\u540c\u578b\u3067\u3042\u308b\u3068\u3044\u3046\u3002\u6e96\u540c\u578b\u306e\u6838\u306f\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u306b\u306a\u308a\u3001\u6b21\u306e\u6e96\u540c\u578b\u5b9a\u7406\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\uff1bR1\/Ker\u2009f \u3068 Im\u2009f \u3068\u306f\u4e92\u3044\u306b\u540c\u578b\u3067\u3042\u308b\u3002A \u304c\u5358\u4f4d\u7684\u53ef\u63db\u74b0\u3067 f(X) \u304c A \u306b\u4fc2\u6570\u3092\u6301\u3064\u4e00\u5909\u6570\u591a\u9805\u5f0f\u3067\u3042\u308b\u3068\u3059\u308b\u3002A \u3092\u4fc2\u6570\u3068\u3059\u308b\u4e00\u5909\u6570\u591a\u9805\u5f0f\u74b0 A[X] \u306e\u3001f(X) \u306b\u3088\u3063\u3066\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u5358\u9805\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb (f) \u306b\u3088\u308b\u5546\u3092 R \u3068\u3059\u308b\u3068\u3001R \u304b\u3089 A \u3078\u306e\u74b0\u6e96\u540c\u578b\u3092\u8003\u3048\u308b\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306f A \u306b\u304a\u3051\u308b f \u306e\u6839\u3092\u8003\u3048\u308b\u3053\u3068\u3068\u540c\u5024\u306b\u306a\u308b\u3002  \u74b0\u306e\u7814\u7a76\u306e\u6e90\u6d41\u306f\u591a\u9805\u5f0f\u3084\u4ee3\u6570\u7684\u6574\u6570\u306e\u7406\u8ad6\u306b\u3042\u308a\u3001\u307e\u305f\u3055\u3089\u306b19\u4e16\u7d00\u4e2d\u9803\u306b\u8d85\u8907\u7d20\u6570\u7cfb\u304c\u51fa\u73fe\u3057\u305f\u3053\u3068\u3067\u89e3\u6790\u5b66\u306b\u304a\u3051\u308b\u4f53\u306e\u5091\u51fa\u3057\u305f\u4fa1\u5024\u306f\u5931\u308f\u308c\u308b\u3053\u3068\u3068\u306a\u3063\u305f\u30021880\u5e74\u4ee3\u306b\u30c7\u30c7\u30ad\u30f3\u30c8\u304c\u74b0\u306e\u6982\u5ff5\u3092\u5c0e\u5165\u3057[2]\u30011892\u5e74\u306b\u30d2\u30eb\u30d9\u30eb\u30c8\u304c\u300c\u6570\u74b0\u300d(Zahlring) \u3068\u3044\u3046\u7528\u8a9e\u3092\u9020\u3063\u3066\u300c\u4ee3\u6570\u7684\u6570\u4f53\u306e\u7406\u8ad6\u300d(Die Theorie der algebraischen Zahlk\u00f6rper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897.) \u3092\u767a\u8868\u3057\u305f\u3002\u30cf\u30fc\u30f4\u30a7\u30a4\u30fb\u30b3\u30fc\u30a8\u30f3\u306b\u3088\u308c\u3070\u3001\u30d2\u30eb\u30d9\u30eb\u30c8\u306f “circling directly back” \u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u6027\u8cea\u3092\u6e80\u305f\u3059\u7279\u5b9a\u306e\u74b0\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3053\u306e\u7528\u8a9e\u3092\u7528\u3044\u3066\u3044\u308b[9]\u3002\u74b0\u306e\u516c\u7406\u8ad6\u7684\u5b9a\u7fa9\u3092\u59cb\u3081\u3066\u4e0e\u3048\u305f\u306e\u306f\u3001\u30d5\u30ec\u30f3\u30b1\u30eb\u3067\u3001Journal f\u00fcr die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914. \u306b\u304a\u3051\u308b\u30a8\u30c3\u30bb\u30a4\u306e\u4e2d\u3067\u8ff0\u3079\u3066\u3044\u308b[2][10]\u30021921\u5e74\u306b\u306f\u30cd\u30fc\u30bf\u30fc\u304c\u3001\u5f7c\u5973\u306e\u8a18\u5ff5\u7891\u7684\u8ad6\u6587\u300c\u74b0\u306e\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u8ad6\u300d\u306b\u304a\u3044\u3066\u3001\u53ef\u63db\u74b0\u8ad6\u306e\u516c\u7406\u7684\u57fa\u790e\u4ed8\u3051\u3092\u521d\u3081\u3066\u4e0e\u3048\u3066\u3044\u308b[2]\u3002\u74b0\u306e\u69cb\u6210\u6cd5[\u7de8\u96c6]\u74b0\u304c\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u305f\u3068\u304d\u3001\u305d\u308c\u3092\u7528\u3044\u3066\u65b0\u3057\u3044\u74b0\u3092\u4f5c\u308a\u51fa\u3059\u4e00\u822c\u7684\u306a\u65b9\u6cd5\u304c\u3044\u304f\u3064\u304b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002\u5270\u4f59\u74b0[\u7de8\u96c6]\u611f\u899a\u7684\u306b\u306f\u74b0\u306e\u5270\u4f59\u74b0\u306f\u7fa4\u306e\u5270\u4f59\u7fa4\u306e\u6982\u5ff5\u306e\u4e00\u822c\u5316\u3067\u3042\u308b\u3002\u3088\u308a\u6b63\u78ba\u306b\u3001\u74b0 (R, +, \u00b7 ) \u3068\u305d\u306e\u4e21\u5074\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb I \u304c\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u305f\u3068\u304d\u3001\u5270\u4f59\u74b0\u3042\u308b\u3044\u306f\u5546\u74b0 R\/I \u3068\u306f\u3001I \u306b\u3088\u308b\uff08\u53f0\u3068\u306a\u308b\u52a0\u6cd5\u7fa4 (R, +) \u306b\u95a2\u3059\u308b\uff09\u5270\u4f59\u985e\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408\u306b(a + I)  + (b + I) = (a + b) + I,(a + I)(b + I) = (ab) + I.\u3068\u3044\u3046\u6f14\u7b97\u3092\u5165\u308c\u305f\u3082\u306e\u3092\u3044\u3046\u3002\u305f\u3060\u3057\u3001a, b \u306f R \u306e\u4efb\u610f\u306e\u5143\u3067\u3042\u308b\u3002\u591a\u9805\u5f0f\u74b0[\u7de8\u96c6](R, +R, \u00b7R) \u3092\u74b0\u3068\u3057\u3001R \u4e0a\u306e\u5b9f\u8cea\u6709\u9650\u5217\uff08\u6709\u9650\u500b\u306e\u4f8b\u5916\u3092\u9664\u304f\u5168\u3066\u306e\u9805\u304c 0 \u3068\u306a\u308b\u3088\u3046\u306a\u7121\u9650\u5217\uff09\u306e\u5168\u4f53\u3092S={(fi)i\u2208N:fi\u2208R\u00a0and\u00a0fi=0\u00a0for all but finitely many\u00a0i\u2208N}{displaystyle S={{(f_{i})}_{iin mathbb {N} }:f_{i}in R{text{ and }}f_{i}=0{text{ for all but finitely many }}iin mathbb {N} }}\u3068\u304a\u304f\u3002\u305f\u3060\u3057\u3001\u3053\u3053\u3067\u306f\u975e\u8ca0\u6574\u6570\uff08\u7279\u306b 0 \u3092\u542b\u3080\uff09\u306e\u610f\u5473\u3067 N \u3092\u7528\u3044\u3066\u3044\u308b\u3082\u306e\u3068\u7d04\u675f\u3059\u308b\u3002S \u306e\u6f14\u7b97 +S\u00a0: S \u00d7 S \u2192 S \u304a\u3088\u3073 \u00b7S\u00a0: S \u00d7 S \u2192 S \u3092\u3001a = (ai)i\u2208N \u304a\u3088\u3073 b = (bi)i\u2208N \u3092 S \u306e\u4efb\u610f\u306e\u5143\u3068\u3057\u3066\u3001a+Sb=(ai+Rbi)i\u2208Na\u22c5Sb=(\u2211j=0iaj\u22c5Rbi\u2212j)i\u2208N{displaystyle {begin{aligned}a+_{S}b&=(a_{i}+_{R}b_{i})_{iin mathbb {N} }acdot _{S}b&={Bigl (}sum _{j=0}^{i}a_{j}cdot _{R}b_{i-j}{Bigr )}_{iin mathbb {N} }end{aligned}}}\u3068\u5b9a\u3081\u308b\u3068\u3001(S, +S, \u00b7S) \u306f\u74b0\u3068\u306a\u308b\u3002\u3053\u308c\u3092\u74b0 R \u4e0a\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u3068\u547c\u3076\u3002S \u306e\u5143 (0, 1, 0, 0, \u2026) \u3092 X \u3068\u3059\u308c\u3070\u3001\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u3068\u3057\u3066\u306e S \u306f R[X] \u3068\u66f8\u304f\u306e\u304c\u901a\u4f8b\u3067\u3042\u308b\u3002\u3053\u308c\u306b\u3088\u308a\u3001S \u306e\u5143 f = (fi) \u306ff=\u2211c\u2208Cfc\u22c5SXc,C={i\u2208N:fi\u22600}{displaystyle f=sum _{cin C}f_{c}cdot _{S}X^{c},quad C={iin mathbb {N} :f_{i}neq 0}}\u3068 R \u306b\u4fc2\u6570\u3092\u6301\u3064\u591a\u9805\u5f0f\u306e\u5f62\u306b\u66f8\u3051\u308b\u3002\u5f93\u3063\u3066 S \u306f R \u4e0a\u306e X \u3092\u4e0d\u5b9a\u5143\u3068\u3059\u308b\u591a\u9805\u5f0f\u5168\u4f53\u306b\u3001\u6a19\u6e96\u7684\u306a\u3084\u308a\u65b9\u3067\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u3092\u5b9a\u7fa9\u3057\u305f\u3082\u306e\u3068\u898b\u306a\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u901a\u5e38\u306f\u3053\u308c\u3092\u540c\u4e00\u8996\u3057\u3066\u3001\u3053\u3053\u3067\u3044\u3046 S \u3092 R[X] \u3068\u66f8\u3044\u3066\u3001R \u306b\u304a\u3051\u308b\u6f14\u7b97\u3082 S \u306b\u304a\u3051\u308b\u6f14\u7b97\u3082\u7279\u306b\u8b58\u5225\u306e\u305f\u3081\u306e\u7b26\u7252\u3092\u7701\u7565\u3059\u308b\u3002\u884c\u5217\u74b0[\u7de8\u96c6]r \u3092\u56fa\u5b9a\u3055\u308c\u305f\u81ea\u7136\u6570\u3068\u3057\u3001(R, +R, \u00b7R) \u3092\u74b0\u3068\u3057\u3066\u3001Mr(R)={(fij)i,j:fij\u2208R\u00a0for every\u00a0i,j\u2208{1,2,3,\u2026,r}}{displaystyle M_{r}(R)={{(f_{ij})}_{i,j}:f_{ij}in R{text{ for every }}i,jin {1,2,3,dots ,r}}}\u3068\u304a\u304f\u3002\u6f14\u7b97 +M\u00a0: Mr(R) \u00d7 Mr(R) \u2192 Mr(R) \u304a\u3088\u3073 \u00b7M\u00a0: Mr(R) \u00d7 Mr(R) \u2192 Mr(R) \u3092\u3001\u4efb\u610f\u306e\u5143 a = (aij)i,j, b = (bij)i,j \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001a+Mb=(aij+Rbij)i,ja\u22c5Mb=(\u2211k=1raik\u22c5Rbkj)i,j{displaystyle {begin{aligned}a+_{M}b&=(a_{ij}+_{R}b_{ij})_{i,j}acdot _{M}b&={Bigl (}sum _{k=1}^{r}a_{ik}cdot _{R}b_{kj}{Bigr )}_{i,j}end{aligned}}}\u3067\u5b9a\u3081\u308b\u3068 (Mr(R), +M, \u00b7M) \u306f\u74b0\u3068\u306a\u308b\u3002\u3053\u308c\u3092 R \u4e0a\u306e r\u00d7r \u884c\u5217\u74b0\u3042\u308b\u3044\u306f r-\u6b21\u6b63\u65b9\u884c\u5217\u74b0\u3068\u3044\u3046\u3002\u74b0\u306e\u904d\u5728\u6027[\u7de8\u96c6]\u6975\u3081\u3066\u69d8\u3005\u306a\u7a2e\u985e\u306e\u6570\u5b66\u7684\u5bfe\u8c61\u304c\u3001\u4f55\u3089\u304b\u306e\u610f\u5473\u3067\u4ed8\u968f\u3059\u308b\u74b0\u3092\u8003\u3048\u308b\u3053\u3068\u306b\u3088\u3063\u3066\u8a73\u3057\u304f\u8abf\u3079\u3089\u308c\u308b\u3002\u4f4d\u76f8\u7a7a\u9593\u306e\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u74b0[\u7de8\u96c6]\u4efb\u610f\u306e\u4f4d\u76f8\u7a7a\u9593 X \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001\u305d\u306e\u6574\u4fc2\u6570\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u74b0H\u2217(X,Z)=\u2a01i=0\u221eHi(X,Z){displaystyle H^{*}(X,mathbb {Z} )=bigoplus _{i=0}^{infty }H^{i}(X,mathbb {Z} )}\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u3053\u308c\u306f\u6b21\u6570\u4ed8\u304d\u74b0\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u7fa4  Hi(X,Z){displaystyle H_{i}(X,mathbb {Z} )} 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p \u3092\u6cd5\u3068\u3059\u308b\u9084\u5143\u3092\u304a\u3053\u306a\u3046\u3053\u3068\u306b\u3088\u308a\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u30ea\u30fc\u74b0\u3092\u5f97\u308b\u3002\u4f4d\u76f8\u74b0[\u7de8\u96c6]\u4f4d\u76f8\u7a7a\u9593 (X, T) \u304c\u74b0\u69cb\u9020 (X, +, \u00b7 ) \u3082\u6301\u3064\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e\u3068\u304d\u3001(X, T, +, \u00b7 ) \u304c\u4f4d\u76f8\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3068\u306f\u3001\u305d\u306e\u74b0\u69cb\u9020\u3068\u4f4d\u76f8\u69cb\u9020\u304c\u4e21\u7acb\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u3044\u3046\u3002\u3059\u306a\u308f\u3061\u3001\u548c\u3068\u7a4d\u3092\u3068\u308b\u5199\u50cf+:X\u00d7X\u2192X,{displaystyle +:Xtimes Xto X,}\u22c5:X\u00d7X\u2192X{displaystyle cdot :Xtimes Xto X}\u304c\u3068\u3082\u306b\u9023\u7d9a\u5199\u50cf\u3068\u306a\u308b\uff08\u305f\u3060\u3057\u3001X \u00d7 X \u306b\u306f\u7a4d\u4f4d\u76f8\u3092\u5165\u308c\u308b\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b\uff09\u3002\u5f93\u3063\u3066\u660e\u3089\u304b\u306b\u3001\u4efb\u610f\u306e\u4f4d\u76f8\u74b0\u306f\u52a0\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u4f4d\u76f8\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002\u5b9f\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408 R \u306f\u901a\u5e38\u306e\u74b0\u69cb\u9020\u3068\u4f4d\u76f8\u306b\u95a2\u3057\u3066\u4f4d\u76f8\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3002\u4e8c\u3064\u306e\u4f4d\u76f8\u74b0\u306e\u76f4\u7a4d\u306f\u76f4\u7a4d\u74b0\u306e\u69cb\u9020\u3068\u7a4d\u4f4d\u76f8\u306b\u95a2\u3057\u3066\u4f4d\u76f8\u74b0\u306b\u306a\u308b\u3002\u74b0\u306f\u52a0\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u306f\u4ea4\u63db\u6cd5\u5247\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u304c\u3001\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u306f\u53ef\u63db\u6027\u306f\u8981\u6c42\u3055\u308c\u306a\u3044\u3002\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u3082\u4ea4\u63db\u6cd5\u5247\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u306a\u3089\u3070\u53ef\u63db\u74b0\u3068\u3044\u3046[\u6ce8 5]\u3002\u3059\u306a\u308f\u3061\u3001\u74b0 (R, +, \u00b7 ) \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001(R, +, \u00b7 ) \u304c\u53ef\u63db\u74b0\u3067\u3042\u308b\u305f\u3081\u306e\u5fc5\u8981\u5341\u5206\u6761\u4ef6\u306f R \u306e\u4efb\u610f\u306e\u5143 a, b \u306b\u5bfe\u3057\u3066 a \u00b7 b = b \u00b7 a \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u8a00\u3044\u63db\u3048\u308c\u3070\u3001\u53ef\u63db\u74b0 (R, +, \u00b7 ) \u306f\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u53ef\u63db\u30e2\u30ce\u30a4\u30c9\u3067\u306a\u3051\u308c\u3070\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002\u6574\u6570\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408\u306f\u901a\u5e38\u306e\u52a0\u6cd5\u3068\u4e57\u6cd5\u306b\u95a2\u3057\u3066\u53ef\u63db\u74b0\u3092\u6210\u3059\u3002\u53ef\u63db\u3067\u306a\u3044\u74b0\u306e\u4f8b\u306f\u3001n > 1 \u3068\u3057\u3066\u3001\u975e\u81ea\u660e\u306a\u4f53 K \u4e0a\u306e n-\u6b21\u6b63\u65b9\u884c\u5217\u306e\u6210\u3059\u74b0\u3067\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002\u7279\u306b n = 2 \u3067 K = R \u306e\u3068\u304d\u3092\u8003\u3048\u308c\u3070\u3001[1101]\u22c5[1110]=[2110]\u2260[1211]=[1110]\u22c5[1101]{displaystyle {begin{bmatrix}1&1&1end{bmatrix}}cdot {begin{bmatrix}1&11&0end{bmatrix}}={begin{bmatrix}2&11&0end{bmatrix}}neq {begin{bmatrix}1&21&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&11&0end{bmatrix}}cdot {begin{bmatrix}1&1&1end{bmatrix}}}\u3086\u3048\u306b\u53ef\u63db\u3067\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0[\u7de8\u96c6]\u74b0\u306f\u6574\u6570\u5168\u4f53\u3068\u3088\u304f\u4f3c\u305f\u69cb\u9020\u3092\u793a\u3059\u4ee3\u6570\u7cfb\u3060\u304c\u3001\u4e00\u822c\u306e\u74b0\u3092\u8003\u3048\u305f\u306e\u3067\u306f\u305d\u306e\u74b0\u8ad6\u7684\u6027\u8cea\u306f\u5fc5\u305a\u3057\u3082\u8fd1\u3044\u3082\u306e\u3068\u306f\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002\u6574\u6570\u306b\u8fd1\u3044\u6027\u8cea\u3092\u6301\u3064\u74b0\u3068\u3057\u3066\u3001\u74b0\u306e\u4efb\u610f\u306e\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u304c\u5358\u72ec\u306e\u5143\u3067\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u3068\u3044\u3046\u6027\u8cea\u3092\u6301\u3064\u3082\u306e\u3001\u3059\u306a\u308f\u3061\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0\u3092\u8003\u3048\u3088\u3046\u3002\u74b0 R \u304c\u53f3\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0 (PIR) \u3067\u3042\u308b\u3068\u306f\u3001R \u306e\u4efb\u610f\u306e\u53f3\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u304caR={ar\u2223r\u2208R}{displaystyle aR={armid rin R}}\u306e\u5f62\u306b\u8868\u3055\u308c\u308b\u3053\u3068\u3092\u3044\u3046\u3002\u307e\u305f\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u6574\u57df (PID) \u3068\u306f\u6574\u57df\u3067\u3082\u3042\u308b\u3088\u3046\u306a\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0\u3092\u3044\u3046\u3002\u74b0\u304c\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u6574\u57df\u3067\u3042\u308b\u3068\u3044\u3046\u6761\u4ef6\u306f\u3001\u74b0\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u307b\u304b\u306e\u4e00\u822c\u7684\u306a\u6761\u4ef6\u3088\u308a\u3082\u3044\u304f\u3076\u3093\u5f37\u3044\u5236\u7d04\u6761\u4ef6\u3067\u3042\u308b\u3002\u4f8b\u3048\u3070\u3001R \u304c\u4e00\u610f\u5206\u89e3\u6574\u57df (UFD) \u306a\u3089\u3070 R \u4e0a\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u3082 UFD \u3068\u306a\u308b\u304c\u3001R \u304c\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0\u306e\u5834\u5408\u540c\u69d8\u306e\u4e3b\u5f35\u306f\u4e00\u822c\u306b\u306f\u6b63\u3057\u304f\u306a\u3044\u3002\u6574\u6570\u74b0 Z \u306f\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0\u306e\u7c21\u5358\u306a\u4f8b\u3060\u304c\u3001Z \u4e0a\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u306f R = Z[X] \u306f PIR \u3067\u306a\u3044\uff08\u5b9f\u969b I = 2R + XR \u306f\u5358\u9805\u751f\u6210\u3067\u306a\u3044\uff09\u3002\u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u53cd\u4f8b\u304c\u3042\u308b\u306b\u3082\u304b\u304b\u308f\u3089\u305a\u3001\u4efb\u610f\u306e\u4f53\u4e0a\u306e\u4e00\u5909\u6570\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u306f\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u6574\u57df\u3068\u306a\u308b\uff08\u5b9f\u306f\u3055\u3089\u306b\u5f37\u304f\u3001\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u6574\u57df\u306b\u306a\u308b\uff09\u3002\u3088\u308a\u4e00\u822c\u306b\u3001\u4e00\u5909\u6570\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u304c PID \u3068\u306a\u308b\u305f\u3081\u306e\u5fc5\u8981\u5341\u5206\u6761\u4ef6\u306f\u3001\u305d\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u304c\u4f53\u4e0a\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002PIR \u4e0a\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u74b0\u306e\u3053\u3068\u306b\u52a0\u3048\u3066\u3001\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u74b0\u306f\u3001\u53ef\u9664\u6027\u306b\u95a2\u3057\u3066\u6709\u7406\u6574\u6570\u74b0\u3068\u306e\u95a2\u4fc2\u3092\u8003\u3048\u3066\u3082\u3001\u3044\u308d\u3044\u308d\u3068\u8208\u5473\u6df1\u3044\u6027\u8cea\u3092\u6709\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u3002\u3064\u307e\u308a\u3001\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u6574\u57df\u306f\u53ef\u9664\u6027\u306b\u95a2\u3057\u3066\u6574\u6570\u74b0\u3068\u540c\u69d8\u306b\u632f\u821e\u3046\u306e\u3067\u3042\u308b\u3002\u4f8b\u3048\u3070\u3001\u4efb\u610f\u306e PID \u306f UFD \u3067\u3042\u308b\u3001\u3059\u306a\u308f\u3061\u7b97\u8853\u306e\u57fa\u672c\u5b9a\u7406\u306e\u5bfe\u5fdc\u7269\u304c\u4efb\u610f\u306e PID \u3067\u6210\u7acb\u3059\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u8a00\u3048\u3070\u3001\u30cd\u30fc\u30bf\u30fc\u74b0\u3068\u3044\u3046\u306e\u306f\u4efb\u610f\u306e\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u304c\u6709\u9650\u751f\u6210\u3068\u306a\u308b\u3088\u3046\u306a\u74b0\u306e\u3053\u3068\u3060\u304b\u3089\u3001\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u6574\u57df\u306f\u660e\u3089\u304b\u306b\u30cd\u30fc\u30bf\u30fc\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3002PID \u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\u65e2\u7d04\u5143\u306e\u6982\u5ff5\u3068\u7d20\u5143\u306e\u6982\u5ff5\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u4e8b\u5b9f\u3068\u3001\u4efb\u610f\u306e PID \u304c\u30cd\u30fc\u30bf\u30fc\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3068\u3044\u3046\u4e8b\u5b9f\u3068\u3092\u5408\u308f\u305b\u308b\u3068\u3001\u4efb\u610f\u306e PID \u304c UFD \u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u793a\u305b\u308b\u3002PID \u306b\u304a\u3044\u3066\u306f\u3001\u4efb\u610f\u306e\u4e8c\u5143\u306e\u6700\u5927\u516c\u7d04\u5143\u306b\u3064\u3044\u3066\u5ef6\u3079\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u3059\u306a\u308f\u3061\u3001x, y \u304c\u4e3b\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u6574\u57df R \u306e\u5143\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\u3001xR + yR = cR\uff08\u5de6\u8fba\u306f\u518d\u3073\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u3068\u306a\u308b\u304b\u3089\u3001\u305d\u308c\u3092\u751f\u6210\u3059\u308b\u5143 c \u304c\u3042\u308b\uff09\u3068\u3059\u308c\u3070\u3001\u3053\u306e c \u304c x \u3068 y \u306e GCD \u3067\u3042\u308b\u3002\u4f53\u3068 PID \u3068\u306e\u9593\u306b\u3042\u308b\u3088\u3046\u306a\u91cd\u8981\u306a\u74b0\u306e\u30af\u30e9\u30b9\u3068\u3057\u3066\u3001\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u6574\u57df\u304c\u3042\u308b\u3002\u7279\u306b\u3001\u4efb\u610f\u306e\u4f53\u306f\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u6574\u57df\u3067\u3042\u308a\u3001\u4efb\u610f\u306e\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u6574\u57df\u306f PID \u3067\u3042\u308b\u3002\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u6574\u57df\u306e\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u306f\u3001\u305d\u306e\u30a4\u30c7\u30a2\u30eb\u306b\u5c5e\u3059\u308b\u6b21\u6570\u6700\u5c0f\u306e\u5143\u3067\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u4efb\u610f\u306e PID \u304c\u30e6\u30fc\u30af\u30ea\u30c3\u30c9\u6574\u57df\u3068\u306a\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u3088\u304f\u7528\u3044\u3089\u308c\u308b\u53cd\u4f8b\u3068\u3057\u3066Z[1+\u2212192]{displaystyle mathbb {Z} left[{frac {1+{sqrt {-19}}}{2}}right]}\u304c\u6319\u3052\u3089\u308c\u308b\u3002\u4e00\u610f\u5206\u89e3\u6574\u57df[\u7de8\u96c6]\u4e00\u610f\u5206\u89e3\u6574\u57df (UFD) \u306e\u7406\u8ad6\u3082\u74b0\u8ad6\u3067\u306f\u91cd\u8981\u3067\u3042\u308b\u3002\u5b9f\u8cea\u7684\u306b\u7b97\u8853\u306e\u57fa\u672c\u5b9a\u7406\u306e\u985e\u4f3c\u3092\u6e80\u305f\u3059\u74b0\u304c\u4e00\u610f\u5206\u89e3\u74b0\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b\u3002\u74b0 R \u304c\u4e00\u610f\u5206\u89e3\u6574\u57df\u3067\u3042\u308b\u3068\u306fR \u306f\u6574\u57df\u3067\u3042\u308b\u3002R \u306e\u96f6\u5143\u3067\u3082\u5358\u5143\u3067\u3082\u306a\u3044\u5143\u306f\u3001\u6709\u9650\u500b\u306e\u65e2\u7d04\u5143\u306e\u7a4d\u306b\u66f8\u3051\u308b\u3002\u5404 ai \u304a\u3088\u3073 bj \u3092 R \u306e\u65e2\u7d04\u5143\u3068\u3057\u3066\u220fi=1nai{displaystyle prod _{i=1}^{n}a_{i}} = \u220fj=1mbj{displaystyle prod _{j=1}^{m}b_{j}}\u3068\u66f8\u3051\u308b\u306a\u3089\u3070 n = m \u304b\u3064\u3001\u9069\u5f53\u306a\u756a\u53f7\u306e\u4ed8\u3051\u66ff\u3048\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001bi = aiui \u304c\u5168\u3066\u306e i \u306b\u3064\u3044\u3066\u6210\u7acb\u3055\u305b\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u305f\u3060\u3057\u3001ui \u306f R \u306e\u9069\u5f53\u306a\u5358\u5143\u3067\u3042\u308b\u30022\u756a\u76ee\u306e\u6761\u4ef6\u306f R 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Ab \u306b\u304a\u3051\u308b\u30e2\u30ce\u30a4\u30c9\u5bfe\u8c61\u3067\u3042\u308b\uff08Z-\u52a0\u7fa4\u306e\u30c6\u30f3\u30bd\u30eb\u7a4d\u306e\u3082\u3068\u3067\u30e2\u30ce\u30a4\u30c9\u570f\u3068\u3057\u3066\u8003\u3048\u308b\uff09\u3002\u74b0 R \u306e\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u3078\u306e\u30e2\u30ce\u30a4\u30c9\u4f5c\u7528\u306f\u5358\u306bR-\u52a0\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002\u7c21\u5358\u306b\u8a00\u3048\u3070 R-\u52a0\u7fa4\u306f\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u7a7a\u9593\u306e\u4e00\u822c\u5316\u3067\u3042\u308b\uff08\u4f53\u4e0a\u306e\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u7a7a\u9593\u3092\u8003\u3048\u308b\u4ee3\u308f\u308a\u306b\u3001\u300c\u74b0\u4e0a\u306e\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u7a7a\u9593\u300d\u3068\u3067\u3082\u3044\u3046\u3079\u304d\u3082\u306e\u3092\u8003\u3048\u3066\u3044\u308b\uff09\u3002\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4 (A, +) \u3068\u305d\u306e\u81ea\u5df1\u6e96\u540c\u578b\u74b0 End(A) \u3092\u8003\u3048\u308b\u3002\u7c21\u5358\u306b\u8a00\u3048\u3070 End(A) \u306f A \u4e0a\u306e\u5c04\u306e\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u96c6\u5408\u3067\u3042\u308a\u3001f \u3068 g \u304c End(A) \u306e\u5143\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d\u3001\u305d\u308c\u3089\u306e\u548c\u3068\u7a4d\u306f(f+g)(x)=f(x)+g(x){displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}(f\u2218g)(x)=f(g(x)){displaystyle (fcirc g)(x)=f(g(x))}\u3067\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002+ \u306e\u53f3\u8fba\u306b\u304a\u3051\u308b f(x) + g(x) \u306f A \u306b\u304a\u3051\u308b\u548c\u3067\u3042\u308a\u3001\u7a4d\u306f\u5199\u50cf\u306e\u5408\u6210\u3067\u3042\u308b\u3002\u3053\u308c\u306f\u4efb\u610f\u306e\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u306b\u4ed8\u968f\u3059\u308b\u74b0\u3067\u3042\u308b\u3002\u9006\u306b\u3001\u4efb\u610f\u306e\u74b0 (R, +, \u00b7 ) \u304c\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u308b\u3068\u304d\u3001\u4e57\u6cd5\u69cb\u9020\u3092\u5fd8\u308c\u305f (R, +) \u306f\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u3068\u306a\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u8a00\u3048\u3070\u3001 R \u306e\u5404\u5143 r \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001\u53f3\u307e\u305f\u306f\u5de6\u304b\u3089 r \u3092\u639b\u3051\u308b\u3068\u3044\u3046\u64cd\u4f5c\u304c\u5206\u914d\u7684\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306f\u3001\u305d\u308c\u304c\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4 (R, +) \u4e0a\u306b\u7fa4\u306e\u6e96\u540c\u578b\uff08\u570f Ab \u306b\u304a\u3051\u308b\u5c04\uff09\u3068\u306a\u308b\u3068\u3044\u3046\u610f\u5473\u306b\u306a\u308b\u3002A = (R, +) \u3068\u304b\u304f\u3053\u3068\u306b\u3057\u3066\u3001A \u306e\u81ea\u5df1\u540c\u578b\u3092\u8003\u3048\u308c\u3070\u3001\u305d\u308c\u306f R \u306b\u304a\u3051\u308b\u53f3\u307e\u305f\u306f\u5de6\u304b\u3089\u306e\u4e57\u6cd5\u3068\u300c\u53ef\u63db\u300d\u3067\u3042\u308b\u3002\u8a00\u3044\u63db\u3048\u308c\u3070 EndR(A) \u3092 A \u4e0a\u306e\u5c04\u5168\u4f53\u306e\u6210\u3059\u74b0\u3068\u3057\u3001\u305d\u306e\u5143\u3092 m \u3068\u3059\u308c\u3070 m(rx) = rm(x) \u3068\u3044\u3046\u6027\u8cea\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3002\u3053\u308c\u306f R \u306e\u4efb\u610f\u306e\u5143 r \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001r \u306e\u53f3\u4e57\u6cd5\u306b\u3088\u308b A \u306e\u5c04\u304c\u5b9a\u307e\u308b\u3068\u898b\u308b\u3053\u3068\u3082\u3067\u304d\u308b\u3002R \u306e\u5404\u5143\u306b\u3053\u3046\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b A \u306e\u5c04\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3053\u3068\u3067 R \u304b\u3089 EndR(A) \u3078\u306e\u5199\u50cf\u304c\u5b9a\u307e\u308a\u3001\u3053\u308c\u306f\u5b9f\u306f\u74b0\u306e\u540c\u578b\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002\u3053\u306e\u610f\u5473\u3067\u3001\u4efb\u610f\u306e\u74b0\u306f\u3042\u308b\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb X-\u7fa4\u306e\u81ea\u5df1\u6e96\u540c\u578b\u74b0\u3068\u898b\u306a\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\uff08\u3053\u3053\u3067 X-\u7fa4\u3068\u3044\u3046\u306e\u306fX 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\u4e8c\u9805\u6f14\u7b97\u306e\u5b9a\u7fa9\u306b\u6f14\u7b97\u306e\u9589\u6027\u3092\u542b\u3081\u308b\u5834\u5408\u3082\u591a\u304f\u3001\u305d\u306e\u5834\u5408\u4e8c\u9805\u6f14\u7b97\u3067\u3042\u308b\u3068\u3044\u3063\u305f\u6642\u70b9\u3067\u9589\u6027\u3082\u51fa\u308b\u304b\u3089\u3001\u7279\u306b\u65ad\u3089\u306a\u3044\u3053\u3068\u3082\u591a\u3044\u3002^ \u81ea\u660e\u74b0\u306e\u610f\u5473\u3067\u300c\u96f6\u74b0\u300d\u3068\u3044\u3046\u8a9e\u3092\u7528\u3044\u308b\u3053\u3068\u3082\u3042\u308b\u304c\u3001\u96f6\u74b0\u306f\u4e00\u822c\u306b\u300c\u4efb\u610f\u306e\u7a4d\u304c 0 \u306b\u3064\u3076\u308c\u3066\u3044\u308b\uff08\u64ec\uff09\u74b0\u300d\u306e\u610f\u5473\u3067\u3082\u7528\u3044\u308b\u306e\u3067\u3001\u3053\u3053\u3067\u306f\u660e\u78ba\u5316\u306e\u305f\u3081\u306b\u81ea\u660e\u74b0\u3092\u96f6\u74b0\u3068\u547c\u3076\u306e\u306f\u907f\u3051\u3066\u304a\u304f\u3002^ \u9006\u306b\u4efb\u610f\u306e\u74b0\u306f\u9069\u5f53\u306a\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u306e\u81ea\u5df1\u6e96\u540c\u578b\u74b0\u306b\u304a\u3051\u308b\u90e8\u5206\u74b0\u3068\u3057\u3066\u5b9f\u73fe\u3067\u304d\u308b[8]\u3002\u3053\u308c\u306f\u7fa4\u8ad6\u306b\u304a\u3051\u308b\u30b1\u30a4\u30ea\u30fc\u306e\u5b9a\u7406\u306e\u74b0\u8ad6\u7684\u985e\u4f3c\u3067\u3042\u308b\u3002^ \u6587\u732e\u306b\u3088\u3063\u3066\u306f\u3001\u53ef\u63db\u6027\u307e\u3067\u74b0\u306e\u516c\u7406\u306b\u542b\u3081\u3066\u3001\u5358\u306b\u74b0\u3068\u3044\u3048\u3070\u53ef\u63db\u74b0\u306e\u3053\u3068\u3092\u6307\u3057\u3066\u3044\u308b\u3068\u3044\u3046\u5834\u5408\u304c\u3042\u308b\u3002^ Herstein\u00a01964,\u2002\u00a73, p. 83^ a b c d The development of Ring Theory^ Herstein\u00a01975,\u2002\u00a72.1, p. 27^ Herstein, I. 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