単因子 – Wikipedia
代数学において、行列の単因子（たんいんし）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。
D を単項イデアル整域（たとえば整数環 Z や複素係数の一変数多項式環 C[x] などのユークリッド整域）とする。また Mn×m(D) を D 成分の n×m 行列全体とし、特に m = n のときは、これを Mn(D) と表すことにする。すべての行列 A ∈ Mn×m(D) は、ある可逆行列 P ∈ Mn(D) と Q ∈ Mm(D) を使って次の形に変形できる。
- PAQ=(e1⋱er0⋱){displaystyle PAQ={begin{pmatrix}e_{1}&&&&&ddots &&&&&e_{r}&&&&&0&&&&&ddots end{pmatrix}}}
ここで e1, …, er ≠ 0 かつ e1D ⊇ … ⊇ erD である。このような e1, …, er は単数倍を除いて一意に定まり、これを行列 A の単因子という。右辺の行列は A のスミス標準形 Smith normal form あるいは単因子標準形と呼ばれる。
この行列 P, Q は行列の基本変形をして求めることができる。
F を体とする。
- 行列 A, B ∈ Mn(F) が相似である必要十分条件は行列 xI − A, xI − B ∈ Mn(F[x]) の単因子が一致することである。
- 行列 A ∈ Mn(F) の最小多項式は行列 xI − A ∈ Mn(F[x]) の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する。
D を複素係数の一変数多項式環 C[x] とする。次の行列 A ∈ M2(C[x]) の単因子は可逆行列 P, Q ∈ M2(C[x]) として以下の行列を取れば 1, (x − λ)2 とわかる。
- A=(x−λ−1x−λ){displaystyle A={begin{pmatrix}x-lambda &-1&x-lambda end{pmatrix}}}
- P=(1x−λ1),Q=(1x−λ1)(1−1){displaystyle P={begin{pmatrix}1&x-lambda &1end{pmatrix}},qquad Q={begin{pmatrix}1&x-lambda &1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}&1-1&end{pmatrix}}}
- PAQ=(1(x−λ)2){displaystyle PAQ={begin{pmatrix}1&&(x-lambda )^{2}end{pmatrix}}}
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