[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/jp\/wiki9\/archives\/283487#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/jp\/wiki9\/archives\/283487","headline":"\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c – Wikipedia","name":"\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c – Wikipedia","description":"before-content-x4 \u56fa\u4f53\u7269\u7406\u5b66\u306b\u304a\u3044\u3066\u3001\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c\uff08\u304d\u3087\u3046\u3051\u3064\u3054\u3046\u304d\u3093\u3058\u3001\u82f1: 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N. Finklestein\u3068G. E. 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varphi _{m}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})}\u3053\u3053\u3067 m \u306f\u539f\u5b50\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u6e96\u4f4d\u306e\u6dfb\u5b57\u3067\u3042\u308a\u3001 Rn \u306f\u7d50\u6676\u683c\u5b50\u4e0a\u306e\u539f\u5b50\u30b5\u30a4\u30c8\u3092\u8868\u308f\u3059\u3002\u4e26\u9032\u5bfe\u79f0\u6027\u3068\u898f\u683c\u5316[\u7de8\u96c6]\u30d6\u30ed\u30c3\u30db\u306e\u5b9a\u7406\u306b\u3088\u308a\u3001\u4e26\u9032\u306b\u3088\u3063\u3066\u7d50\u6676\u306e\u6ce2\u52d5\u95a2\u6570\u306f\u4f4d\u76f8\u56e0\u5b50\u5206\u3057\u304b\u5909\u308f\u3089\u306a\u3044\u3002\u03c8(r+R\u2113)=eik\u22c5R\u2113\u03c8(r){displaystyle psi ({boldsymbol {r}}+{boldsymbol {R}}_{ell })=e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{ell }}psi ({boldsymbol {r}})}\u3053\u3053\u3067 k \u306f\u6ce2\u52d5\u95a2\u6570\u306e\u6ce2\u6570\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3067\u3042\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\u4e0a\u306e\u7dda\u5f62\u7d50\u5408\u306e\u4fc2\u6570\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u2211m,Rnbm(Rn)\u00a0\u03c6m(r\u2212Rn+R\u2113)=eik\u22c5R\u2113\u2211m,Rnbm(Rn)\u00a0\u03c6m(r\u2212Rn){displaystyle sum _{m,{boldsymbol {R}}_{n}}b_{m}({boldsymbol {R_{n}}})~varphi _{m}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n}+{boldsymbol {R}}_{ell })=e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{ell }}sum _{m,{boldsymbol {R}}_{n}}b_{m}({boldsymbol {R_{n}}})~varphi _{m}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})}Rp=Rn\u2212R\u2113{displaystyle {boldsymbol {R}}_{p}={boldsymbol {R}}_{n}-{boldsymbol {R}}_{ell }} \u306e\u3088\u3046\u306b\u7f6e\u304d\u63db\u3048\u308b\u3068\u3001bm(Rp+R\u2113)=eik\u22c5R\u2113bm(Rp){displaystyle b_{m}({boldsymbol {R}}_{p}+{boldsymbol {R}}_{ell })=e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{ell }}b_{m}({boldsymbol {R}}_{p})} \uff08\u3053\u3053\u3067\u53f3\u8fba\u306f\u30c0\u30df\u30fc\u6dfb\u5b57 Rn{displaystyle {boldsymbol {R}}_{n}} \u3092 Rp{displaystyle {boldsymbol {R}}_{p}} \u3067\u7f6e\u304d\u63db\u3048\u3066\u3042\u308b\uff09\u307e\u305f\u306fbm(Rp)=eik\u22c5Rpbm(0){displaystyle b_{m}({boldsymbol {R}}_{p})=e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{p}}b_{m}({boldsymbol {0}})}\u6ce2\u52d5\u95a2\u6570\u3092\u898f\u683c\u5316\u3059\u308b\u3002\u6ce2\u52d5\u95a2\u6570\u306e\u30ce\u30eb\u30e0\u306f\u3001\u222bd3r\u00a0\u03c8\u2217(r)\u03c8(r)=\u2211Rnb\u2217(Rn)\u2211R\u2113b(R\u2113)\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rn)\u03c6(r\u2212R\u2113)=b\u2217(0)b(0)\u2211Rne\u2212ik\u22c5Rn\u2211R\u2113eik\u22c5R\u2113\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rn)\u03c6(r\u2212R\u2113)=Nb\u2217(0)b(0)\u2211Rpe\u2212ik\u22c5Rp\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rp)\u03c6(r)=Nb\u2217(0)b(0)\u2211Rpeik\u22c5Rp\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r)\u03c6(r\u2212Rp){displaystyle {begin{aligned}int d^{3}r~psi ^{*}({boldsymbol {r}})psi ({boldsymbol {r}})&=sum _{{boldsymbol {R}}_{n}}b^{*}({boldsymbol {R}}_{n})sum _{{boldsymbol {R}}_{ell }}b({boldsymbol {R}}_{ell })int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})varphi ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{ell })\\&=b^{*}(0)b(0)sum _{{boldsymbol {R}}_{n}}e^{-i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}sum _{{boldsymbol {R}}_{ell }}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{ell }}int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})varphi ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{ell })\\&=Nb^{*}(0)b(0)sum _{{boldsymbol {R}}_{p}}e^{-i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{p}}int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{p})varphi ({boldsymbol {r}})\\&=Nb^{*}(0)b(0)sum _{{boldsymbol {R}}_{p}}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{p}}int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}})varphi ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{p})end{aligned}}}\u3088\u3063\u3066\u898f\u683c\u5316\u6761\u4ef6\u3088\u308a b(0) \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u5b9a\u307e\u308b\u3002b\u2217(0)b(0)=1N11+\u2211Rp\u22600eik\u22c5Rp\u03b1(Rp){displaystyle b^{*}(0)b(0)={frac {1}{N}}{frac {1}{1+sum _{{boldsymbol {R}}_{p}neq {boldsymbol {0}}}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{p}}alpha ({boldsymbol {R}}_{p})}}}\u03b1 (Rp ) \u306f\u539f\u5b50\u91cd\u306a\u308a\u7a4d\u5206\u3067\u3001\u3057\u3070\u3057\u3070\u7121\u8996\u3055\u308c\u3066\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8fd1\u4f3c\u3055\u308c\u308b[3]\u3002bn(0)\u22481N{displaystyle b_{n}(0)approx {frac {1}{sqrt {N}}}}\u3059\u308b\u3068\u6ce2\u52d5\u95a2\u6570\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002\u03c8(r)\u22481N\u2211m,Rneik\u22c5Rn\u03c6m(r\u2212Rn){displaystyle psi ({boldsymbol {r}})approx {frac {1}{sqrt {N}}}sum _{m,{boldsymbol {R}}_{n}}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}varphi _{m}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})}\u5f37\u7d50\u5408\u30cf\u30df\u30eb\u30c8\u30cb\u30a2\u30f3[\u7de8\u96c6]\u6ce2\u52d5\u95a2\u6570\u306b\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c\u3092\u9069\u7528\u3059\u308b\u3068\u304d\u3001m\u756a\u76ee\u306e\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u30d0\u30f3\u30c9\u306b\u306fm\u756a\u76ee\u306e\u539f\u5b50\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u6e96\u4f4d\u306e\u307f\u304c\u91cd\u8981\u3068\u306a\u308a\u3001\u30d6\u30ed\u30c3\u30db\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc \u03b5m{displaystyle varepsilon _{m}} \u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306a\u8868\u5f0f\u3068\u306a\u308b\u3002\u03b5m=\u222bd3r\u00a0\u03c8\u2217(r)H(r)\u03c8(r)=\u2211Rnb\u2217(Rn)\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rn)H(r)\u03c8(r)=\u2211R\u2113\u2211Rnb\u2217(Rn)\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rn)Hat(r\u2212R\u2113)\u03c8(r)+\u2211Rnb\u2217(Rn)\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rn)\u0394U(r)\u03c8(r)\u2248Em+b\u2217(0)\u2211Rne\u2212ik\u22c5Rn\u222bd3r\u00a0\u03c6\u2217(r\u2212Rn)\u0394U(r)\u03c8(r){displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{m}&=int d^{3}r~psi ^{*}({boldsymbol {r}})H({boldsymbol {r}})psi ({boldsymbol {r}})\\&=sum _{{boldsymbol {R}}_{n}}b^{*}({boldsymbol {R}}_{n})int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})H({boldsymbol {r}})psi ({boldsymbol {r}})\\&=sum _{{boldsymbol {R}}_{ell }}sum _{{boldsymbol {R}}_{n}}b^{*}({boldsymbol {R}}_{n})int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})H_{mathrm {at} }({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{ell })psi ({boldsymbol {r}})+sum _{{boldsymbol {R}}_{n}}b^{*}({boldsymbol {R}}_{n})int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})Delta U({boldsymbol {r}})psi ({boldsymbol {r}})\\&approx E_{m}+b^{*}(0)sum _{{boldsymbol {R}}_{n}}e^{-i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}int d^{3}r~varphi ^{*}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})Delta U({boldsymbol {r}})psi ({boldsymbol {r}})end{aligned}}}\u3055\u3089\u306b\u3001\u4ed6\u306e\u30b5\u30a4\u30c8\u4e0a\u306e\u539f\u5b50\u30cf\u30df\u30eb\u30c8\u30cb\u30a2\u30f3\u3092\u542b\u3080\u9805\u306f\u7121\u8996\u3059\u308b\u3002\u3059\u308b\u3068\u3053\u306e\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002\u03b5m(k)=Em\u2212N|b(0)|2(\u03b2m+\u2211Rn\u22600\u2211l\u03b3m,l(Rn)eik\u22c5Rn)=Em\u2212\u03b2m+\u2211Rn\u22600\u2211leik\u22c5Rn\u03b3m,l(Rn)1+\u2211Rn\u22600\u2211leik\u22c5Rn\u03b1m,l(Rn){displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{m}({boldsymbol {k}})&=E_{m}-N|b(0)|^{2}left(beta _{m}+sum _{{boldsymbol {R}}_{n}neq 0}sum _{l}gamma _{m,l}({boldsymbol {R}}_{n})e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}right)\\&=E_{m}-{frac {beta _{m}+sum _{{boldsymbol {R}}_{n}neq 0}sum _{l}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}gamma _{m,l}({boldsymbol {R}}_{n})}{1+sum _{{boldsymbol {R}}_{n}neq 0}sum _{l}e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}alpha _{m,l}({boldsymbol {R}}_{n})}}end{aligned}}}\u3053\u3053\u3067\u3001 Em \u306f m \u756a\u76ee\u306e\u539f\u5b50\u6e96\u4f4d\u3067\u3042\u308a\u3001 \u03b1m,l, \u03b2m, \u03b3m,l \u306f\u5f37\u7d50\u5408\u884c\u5217\u8981\u7d20\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u3002\u5f37\u7d50\u5408\u884c\u5217\u8981\u7d20[\u7de8\u96c6]\u884c\u5217\u8981\u7d20\u03b2m=\u2212\u222bd3r\u00a0\u03c6m\u2217(r)\u0394U(r)\u03c6m(r){displaystyle beta _{m}=-int d^{3}r~varphi _{m}^{*}({boldsymbol {r}})Delta U({boldsymbol {r}})varphi _{m}({boldsymbol {r}})}\u306f\u96a3\u63a5\u3059\u308b\u539f\u5b50\u306e\u30dd\u30c6\u30f3\u30b7\u30e3\u30eb\u306b\u3088\u308b\u539f\u5b50\u6e96\u4f4d\u306e\u30b7\u30d5\u30c8\u306b\u7531\u6765\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e\u9805\u306f\u307b\u3068\u3093\u3069\u306e\u5834\u5408\u6bd4\u8f03\u7684\u5c0f\u3055\u304f\u3001\u3082\u3057\u3053\u308c\u304c\u5927\u304d\u3044\u3068\u304d\u306f\u96a3\u63a5\u3059\u308b\u539f\u5b50\u304c\u539f\u5b50\u6e96\u4f4d\u306b\u5927\u304d\u306a\u5f71\u97ff\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3053\u3068\u3092\u610f\u5473\u3059\u308b\u3002\u6b21\u306b\u3001\u884c\u5217\u8981\u7d20\u03b3m,l(Rn)=\u2212\u222bd3r\u00a0\u03c6m\u2217(r)\u0394U(r)\u03c6l(r\u2212Rn){displaystyle gamma _{m,l}({boldsymbol {R_{n}}})=-int d^{3}r~varphi _{m}^{*}({boldsymbol {r}})Delta U({boldsymbol {r}})varphi _{l}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})}\u306f\u96a3\u63a5\u3059\u308b\u539f\u5b50\u4e0a\u306e\u539f\u5b50\u8ecc\u9053 m \u3068 l \u306e\u9593\u306e\u539f\u5b50\u9593\u884c\u5217\u8981\u7d20\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u3002\u7d50\u5408\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u3001\u307e\u305f\u306f\u4e8c\u4e2d\u5fc3\u7a4d\u5206\u3068\u3082\u547c\u3070\u308c\u3001\u5f37\u7d50\u5408\u6a21\u578b\u4e0a\u3067\u6700\u3082\u91cd\u8981\u306a\u884c\u5217\u8981\u7d20\u3067\u3042\u308b\u3002\u6700\u5f8c\u306b\u3001\u884c\u5217\u8981\u7d20\u03b1m,l(Rn)=\u222bd3r\u00a0\u03c6m\u2217(r)\u03c6l(r\u2212Rn){displaystyle alpha _{m,l}({boldsymbol {R_{n}}})=int d^{3}r~varphi _{m}^{*}({boldsymbol {r}})varphi _{l}({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {R}}_{n})}\u306f\u96a3\u63a5\u3059\u308b\u539f\u5b50\u4e0a\u306e\u539f\u5b50\u8ecc\u9053 m \u3068 l 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\u304c\u3042\u307e\u308a\u5c0f\u3055\u304f\u306a\u3044\u306a\u3089\u3070\u3001\u305d\u308c\u306f\u96a3\u63a5\u539f\u5b50\u306e\u4f5c\u308b\u30dd\u30c6\u30f3\u30b7\u30e3\u30eb\u306e\u4e2d\u5fc3\u539f\u5b50\u3078\u306e\u5f71\u97ff\u304c\u5c0f\u3055\u304f\u306a\u3044\u3053\u3068\u3092\u610f\u5473\u3059\u308b\u3002\u305d\u306e\u3088\u3046\u306a\u5834\u5408\u3001\u4f55\u3089\u304b\u306e\u7406\u7531\u3067\u305d\u306e\u7cfb\u306e\u96fb\u5b50\u69cb\u9020\u306b\u306f\u5f37\u7d50\u5408\u6a21\u578b\u304c\u3042\u307e\u308a\u3088\u304f\u3042\u3066\u306f\u307e\u3089\u306a\u3044\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u4f8b\u3048\u3070\u3001\u539f\u5b50\u9593\u8ddd\u96e2\u304c\u8fd1\u3059\u304e\u305f\u308a\u3001\u683c\u5b50\u4e0a\u306e\u539f\u5b50\u3082\u3057\u304f\u306f\u30a4\u30aa\u30f3\u306e\u96fb\u8377\u304c\u7570\u3063\u305f\u308a\u3059\u308b\u5834\u5408\u304c\u6319\u3052\u3089\u308c\u308b\u3002\u539f\u5b50\u9593\u884c\u5217\u8981\u7d20 \u03b3m,l 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psi _{m}({boldsymbol {k}},{boldsymbol {r}})={frac {1}{sqrt {N}}}sum _{n}a_{m}({boldsymbol {R}}_{n},{boldsymbol {r}})e^{i{boldsymbol {k}}cdot {boldsymbol {R}}_{n}}}\u3053\u3053\u3067\u3001 Rn \u306f\u5468\u671f\u7684\u7d50\u6676\u683c\u5b50\u306b\u304a\u3051\u308b\u539f\u5b50\u30b5\u30a4\u30c8\u3001 k \u306f\u30d6\u30ed\u30c3\u30db\u6ce2\u306e\u6ce2\u6570\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u3001 r \u306f\u96fb\u5b50\u306e\u4f4d\u7f6e\u5ea7\u6a19\u3001 m \u306f\u30d0\u30f3\u30c9\u6dfb\u5b57\u3001\u305d\u3057\u3066 N \u500b\u306e\u539f\u5b50\u30b5\u30a4\u30c8\u306e\u7dcf\u548c\u3092\u53d6\u308b\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b\u3002\u30d6\u30ed\u30c3\u30db\u6ce2\u306f\u5468\u671f\u7684\u7d50\u6676\u30dd\u30c6\u30f3\u30b7\u30e3\u30eb\u4e2d\u306e\u96fb\u5b50\u306b\u3064\u3044\u3066\u306e\u3001\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u56fa\u6709\u5024 Em(k) 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\u306f\u30ef\u30cb\u30a8\u95a2\u6570\u3068\u547c\u3070\u308c\u3001\u539f\u5b50\u30b5\u30a4\u30c8 Rn \u306b\u5f37\u304f\u5c40\u5728\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u3082\u3061\u308d\u3093\u3001\u53b3\u5bc6\u306a\u30ef\u30cb\u30a8\u95a2\u6570\u304c\u6c42\u307e\u308c\u3070\u9006\u30d5\u30fc\u30ea\u30a8\u5909\u63db\u306b\u3088\u308a\u30d6\u30ed\u30c3\u30db\u95a2\u6570\u3082\u6c42\u307e\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u30d6\u30ed\u30c3\u30db\u95a2\u6570\u3082\u30ef\u30cb\u30a8\u95a2\u6570\u3082\u3001\u76f4\u63a5\u306b\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u306e\u306f\u7c21\u5358\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u56fa\u4f53\u306e\u96fb\u5b50\u69cb\u9020\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u305f\u3081\u306b\u306f\u3001\u4f55\u3089\u304b\u306e\u8fd1\u4f3c\u3092\u5c0e\u5165\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067\u3001\u5b64\u7acb\u539f\u5b50\u6975\u9650\u3092\u8003\u3048\u308c\u3070\u3001\u30ef\u30cb\u30a8\u95a2\u6570\u306f\u539f\u5b50\u8ecc\u9053\u306b\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u306f\u305a\u3067\u3042\u308b\u3002\u3053\u306e\u6975\u9650\u304b\u3089\u30ef\u30cb\u30a8\u95a2\u6570\u306e\u8fd1\u4f3c\u3068\u3057\u3066\u539f\u5b50\u8ecc\u9053\u304c\u6709\u52b9\u3067\u3042\u308d\u3046\u3053\u3068\u304c\u793a\u5506\u3055\u308c\u3001\u3053\u306e\u8fd1\u4f3c\u3092\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c\u3068\u547c\u3076\u3002\u7b2c\u4e8c\u91cf\u5b50\u5316[\u7de8\u96c6]t-J\u6a21\u578b\uff08\u82f1\u8a9e\u7248\uff09\u3084\u30cf\u30d0\u30fc\u30c9\u6a21\u578b\u306e\u3088\u3046\u306a\u65b0\u3057\u3044\u96fb\u5b50\u69cb\u9020\u7406\u8ad6\u306f\u3001\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c\u3092\u57fa\u790e\u3068\u3057\u3066\u3044\u308b[5]\u3002\u5f37\u7d50\u5408\u8fd1\u4f3c\u3092\u7406\u89e3\u3059\u308b\u305f\u3081\u306b\u3001\u7b2c\u4e8c\u91cf\u5b50\u5316\u8868\u793a\u3092\u7528\u3044\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u539f\u5b50\u8ecc\u9053\u3092\u57fa\u5e95\u72b6\u614b\u3068\u3057\u3066\u7528\u3044\u308b\u3068\u3001\u5f37\u7d50\u5408\u6a21\u578b\u306b\u304a\u3051\u308b\u7b2c\u4e8c\u91cf\u5b50\u5316\u3055\u308c\u305f\u30cf\u30df\u30eb\u30c8\u30cb\u30a2\u30f3\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u66f8\u3051\u308b\u3002H=\u2212t\u2211\u27e8i,j\u27e9,\u03c3(ci,\u03c3\u2020cj,\u03c3+ci,\u03c3cj,\u03c3\u2020){displaystyle H=-tsum _{langle i,jrangle ,sigma }left(c_{i,sigma }^{dagger }c_{j,sigma }+c_{i,sigma }c_{j,sigma }^{dagger }right)}ci\u03c3\u2020,cj\u03c3{displaystyle c_{isigma }^{dagger },c_{jsigma }} – \u751f\u6210\u6d88\u6ec5\u6f14\u7b97\u5b50\u03c3{displaystyle displaystyle sigma } – \u30b9\u30d4\u30f3\u504f\u6975t{displaystyle displaystyle t} – \u30db\u30c3\u30d4\u30f3\u30b0\u7a4d\u5206\u27e8i,j\u27e9{displaystyle displaystyle langle i,jrangle } – \u6700\u8fd1\u508d\u6dfb\u5b57\u3053\u3053\u3067\u3001\u30db\u30c3\u30d4\u30f3\u30b0\u7a4d\u5206 t \u306f\u5f37\u7d50\u5408\u6a21\u578b\u306b\u304a\u3051\u308b\u79fb\u52d5\u7a4d\u5206 \u03b3 \u306b\u76f8\u5f53\u3059\u308b\u3002t\u21920{displaystyle trightarrow 0} \u306e\u6975\u9650\u306f\u96fb\u5b50\u304c\u96a3\u306e\u30b5\u30a4\u30c8\u306b\u79fb\u308c\u306a\u3044\u3053\u3068\u306b\u76f8\u5f53\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e\u6975\u9650\u306f\u5b64\u7acb\u539f\u5b50\u7cfb\u3068\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3002\u30db\u30c3\u30d4\u30f3\u30b0\u9805\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b (0}”\/>) \u3068\u304d\u3001\u96fb\u5b50\u306f\u3069\u3061\u3089\u306e\u30b5\u30a4\u30c8\u306b\u3082\u5b58\u5728\u3067\u304d\u3001\u904b\u52d5\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u304c\u4e0b\u304c\u308b\u3002\u5f37\u76f8\u95a2\u96fb\u5b50\u7cfb\u3067\u306f\u3001\u96fb\u5b50\u96fb\u5b50\u76f8\u4e92\u4f5c\u7528\u3092\u8003\u616e\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u3053\u306e\u9805\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u66f8\u3051\u308b\u3002Hee=12\u2211n,m,\u03c3\u27e8n1m1,n2m2|e2|r1\u2212r2||n3m3,n4m4\u27e9cn1m1\u03c31\u2020cn2m2\u03c32\u2020cn4m4\u03c32cn3m3\u03c31{displaystyle H_{mathrm {ee} }={frac {1}{2}}sum _{n,m,sigma }leftlangle n_{1}m_{1},n_{2}m_{2}left|{frac {e^{2}}{|{boldsymbol {r}}_{1}-{boldsymbol {r}}_{2}|}}right|n_{3}m_{3},n_{4}m_{4}rightrangle c_{n_{1}m_{1}sigma _{1}}^{dagger }c_{n_{2}m_{2}sigma _{2}}^{dagger }c_{n_{4}m_{4}sigma _{2}}c_{n_{3}m_{3}sigma _{1}}}\u3053\u306e\u30cf\u30df\u30eb\u30c8\u30cb\u30a2\u30f3\u306e\u76f8\u4e92\u4f5c\u7528\u9805\u306f\u76f4\u63a5\u30af\u30fc\u30ed\u30f3\u76f8\u4e92\u4f5c\u7528\u304a\u3088\u3073\u4ea4\u63db\u76f8\u4e92\u4f5c\u7528\u3092\u542b\u3080\u3002\u3053\u306e\u9805\u306b\u3088\u308a\u91d1\u5c5e\u7d76\u7e01\u4f53\u8ee2\u79fb\uff08\u82f1\u8a9e\u7248\uff09 (MIT) \u3084\u9ad8\u6e29\u8d85\u4f1d\u5c0e\u3001\u91cf\u5b50\u76f8\u8ee2\u79fb\uff08\u82f1\u8a9e\u7248\uff09\u306a\u3069\u306e\u65b0\u3057\u3044\u7269\u7406\u304c\u751f\u307e\u308c\u308b\u3002\u4f8b: \u4e00\u6b21\u5143s\u30d0\u30f3\u30c9[\u7de8\u96c6]\u4ee5\u4e0b\u306b\u3001\u5f37\u7d50\u5408\u6a21\u578b\u3092s\u8ecc\u9053\u3092\u4e00\u3064\u3060\u3051\u6301\u3064\u539f\u5b50\u304c\u9593\u9694 a 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\u3068\u3044\u3046\u8981\u7d20\u306f\u30b9\u30ec\u30fc\u30bf\u30fc\u30fb\u30b3\u30b9\u30bf\u30fc\u539f\u5b50\u9593\u884c\u5217\u8981\u7d20\u3068\u547c\u3070\u308c\u3001\u7d50\u5408\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc Ei,j \u3068\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e\u4e00\u6b21\u5143s\u30d0\u30f3\u30c9\u6a21\u578b\u3067\u306fs\u8ecc\u9053\u540c\u58eb\u306e\u03c3{displaystyle sigma }\u7d50\u5408\u3057\u304b\u5b58\u5728\u305b\u305a\u3001\u305d\u306e\u7d50\u5408\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u3092 Es,s = Vss\u03c3 \u3068\u3059\u308b\u3002\u96a3\u63a5\u539f\u5b50\u9593\u306e\u91cd\u306a\u308a\u7a4d\u5206\u306f S \u3068\u3059\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067\u3001\u72b6\u614b |k\u27e9{displaystyle |krangle } \u306e\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3068\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002H|k\u27e9=1N\u2211neinkaH|n\u27e9\u27e8k|H|k\u27e9=1N\u2211m,nei(n\u2212m)ka\u27e8m|H|n\u27e9=1N\u2211n\u27e8n|H|n\u27e9+1N\u2211n\u27e8n\u22121|H|n\u27e9e+ika+1N\u2211n\u27e8n+1|H|n\u27e9e\u2212ika=E0\u22122\u0394cos\u2061ka{displaystyle {begin{aligned}H|krangle &={frac {1}{sqrt {N}}}sum _{n}e^{inka}H|nrangle \\langle k|H|krangle &={frac {1}{N}}sum _{m,n}e^{i(n-m)ka}langle m|H|nrangle \\&={frac {1}{N}}sum _{n}langle n|H|nrangle +{frac {1}{N}}sum _{n}langle n-1|H|nrangle e^{+ika}+{frac {1}{N}}sum _{n}langle n+1|H|nrangle e^{-ika}\\&=E_{0}-2Delta cos kaend{aligned}}}\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3053\u306e\u72b6\u614b |k\u27e9{displaystyle |krangle } \u306e\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306a\u3088\u304f\u77e5\u3089\u308c\u305f\u30a8\u30cd\u30eb\u30ae\u30fc\u5206\u6563\u3092\u6301\u3064\u3002E(k)=E0\u22122\u0394cos\u2061ka1+2Scos\u2061ka{displaystyle E(k)={frac {E_{0}-2Delta cos ka}{1+2Scos ka}}}\u3053\u306e\u4f8b\u306f\u3059\u3050\u306b\u4e09\u6b21\u5143\u306b\u62e1\u5f35\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u4f8b\u3048\u3070\u3001\u4f53\u5fc3\u7acb\u65b9\u683c\u5b50\u306a\u3089\u3070\u5358\u7d14\u306b a \u306e\u90e8\u5206\u3092\u6700\u8fd1\u63a5\u30b5\u30a4\u30c8\u306e\u4f4d\u7f6e\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u306b\u7f6e\u304d\u63db\u3048\u308c\u3070\u3088\u3044[6]\u3002\u540c\u69d8\u306b\u3001\u5404\u30b5\u30a4\u30c8\u306b\u539f\u5b50\u8ecc\u9053\u3092\u8907\u6570\u5c0e\u5165\u3059\u308c\u3070\u8907\u6570\u306e\u30d0\u30f3\u30c9\u3092\u6271\u3046\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u539f\u5b50\u9593\u884c\u5217\u8981\u7d20\u4e00\u89a7[\u7de8\u96c6]1954\u5e74\u3001 \u30b9\u30ec\u30fc\u30bf\u30fc\u3068\u30b3\u30b9\u30bf\u30fc\u306f\u4e3b\u306b\u9077\u79fb\u91d1\u5c5e\u306ed\u30d0\u30f3\u30c9\u306b\u3064\u3044\u3066\u539f\u5b50\u9593\u884c\u5217\u8981\u7d20\u306e\u4e00\u89a7\u3092\u767a\u8868\u3057\u305f[1]\u3002Ei,j(rn,n\u2032)=\u27e8n,i|H|n\u2032,j\u27e9{displaystyle E_{i,j}({boldsymbol {r}}_{n,n’})=langle n,i|H|n’,jrangle }\u3053\u308c\u306f\u5fcd\u8010\u529b\u3068\u52aa\u529b\u304c\u3042\u308c\u3070 cubic harmonic[\u8a33\u8a9e\u7591\u554f\u70b9] \u8ecc\u9053\u304b\u3089\u611a\u76f4\u306b\u8a08\u7b97\u3067\u304d\u308b\u3002\u3053\u306e\u4e00\u89a7\u306f\u4e8c\u3064\u306e\u96a3\u63a5\u3059\u308b\u539f\u5b50\u4e0a\u306ecubic harmonic \u8ecc\u9053[\u8a33\u8a9e\u7591\u554f\u70b9]i, j \u306e\u9593\u306eLCAO\u4e8c\u4e2d\u5fc3\u7d50\u5408\u7a4d\u5206\u3092\u8868\u308f\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u7d50\u5408\u7a4d\u5206\u306f\u4f8b\u3048\u3070\u03c3\u7d50\u5408\u3001\u03c0\u7d50\u5408\u3001\u03b4\u7d50\u5408\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u305d\u308c\u305e\u308c Vss\u03c3,Vpp\u03c0,Vdd\u03b4 \u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u8a18\u3059\u308b\u3002\u539f\u5b50\u9593\u30d9\u30af\u30c8\u30eb\u306f\u6b21\u306e\u3088\u3046\u306b\u8868\u308f\u3055\u308c\u308b\u3002rn,n\u2032=(rx,ry,rz)=d(l,m,n){displaystyle {boldsymbol {r}}_{n,n’}=(r_{x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)}\u3053\u3053\u3067\u3001 d \u306f\u539f\u5b50\u9593\u306e\u8ddd\u96e2\u3001l, m, n \u306f\u96a3\u63a5\u539f\u5b50\u3078\u306e\u65b9\u5411\u4f59\u5f26\uff08\u82f1\u8a9e\u7248\uff09[\u8981\u30ea\u30f3\u30af\u4fee\u6b63]\u3067\u3042\u308b\u3002Es,s=Vss\u03c3{displaystyle E_{s,s}=V_{sssigma }}Es,x=lVsp\u03c3{displaystyle E_{s,x}=lV_{spsigma }}Ex,x=l2Vpp\u03c3+(1\u2212l2)Vpp\u03c0{displaystyle E_{x,x}=l^{2}V_{ppsigma }+(1-l^{2})V_{pppi }}Ex,y=lmVpp\u03c3\u2212lmVpp\u03c0{displaystyle E_{x,y}=lmV_{ppsigma }-lmV_{pppi }}Ex,z=lnVpp\u03c3\u2212lnVpp\u03c0{displaystyle E_{x,z}=lnV_{ppsigma }-lnV_{pppi }}Es,xy=3lmVsd\u03c3{displaystyle E_{s,xy}={sqrt {3}}lmV_{sdsigma }}Es,x2\u2212y2=32(l2\u2212m2)Vsd\u03c3{displaystyle E_{s,x^{2}-y^{2}}={frac {sqrt {3}}{2}}(l^{2}-m^{2})V_{sdsigma }}Es,3z2\u2212r2=[n2\u2212(l2+m2)\/2]Vsd\u03c3{displaystyle E_{s,3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2]V_{sdsigma }}Ex,xy=3l2mVpd\u03c3+m(1\u22122l2)Vpd\u03c0{displaystyle E_{x,xy}={sqrt {3}}l^{2}mV_{pdsigma }+m(1-2l^{2})V_{pdpi }}Ex,yz=3lmnVpd\u03c3\u22122lmnVpd\u03c0{displaystyle E_{x,yz}={sqrt {3}}lmnV_{pdsigma }-2lmnV_{pdpi }}Ex,zx=3l2nVpd\u03c3+n(1\u22122l2)Vpd\u03c0{displaystyle E_{x,zx}={sqrt {3}}l^{2}nV_{pdsigma }+n(1-2l^{2})V_{pdpi }}Ex,x2\u2212y2=32l(l2\u2212m2)Vpd\u03c3+l(1\u2212l2+m2)Vpd\u03c0{displaystyle E_{x,x^{2}-y^{2}}={frac {sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pdsigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pdpi }}Ey,x2\u2212y2=32m(l2\u2212m2)Vpd\u03c3\u2212m(1+l2\u2212m2)Vpd\u03c0{displaystyle E_{y,x^{2}-y^{2}}={frac {sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pdsigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pdpi }}Ez,x2\u2212y2=32n(l2\u2212m2)Vpd\u03c3\u2212n(l2\u2212m2)Vpd\u03c0{displaystyle E_{z,x^{2}-y^{2}}={frac {sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pdsigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pdpi }}Ex,3z2\u2212r2=l[n2\u2212(l2+m2)\/2]Vpd\u03c3\u22123ln2Vpd\u03c0{displaystyle E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2]V_{pdsigma }-{sqrt {3}}ln^{2}V_{pdpi }}Ey,3z2\u2212r2=m[n2\u2212(l2+m2)\/2]Vpd\u03c3\u22123mn2Vpd\u03c0{displaystyle E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2]V_{pdsigma }-{sqrt {3}}mn^{2}V_{pdpi }}Ez,3z2\u2212r2=n[n2\u2212(l2+m2)\/2]Vpd\u03c3+3n(l2+m2)Vpd\u03c0{displaystyle E_{z,3z^{2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2]V_{pdsigma }+{sqrt {3}}n(l^{2}+m^{2})V_{pdpi }}Exy,xy=3l2m2Vdd\u03c3+(l2+m2\u22124l2m2)Vdd\u03c0+(n2+l2m2)Vdd\u03b4{displaystyle E_{xy,xy}=3l^{2}m^{2}V_{ddsigma }+(l^{2}+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{ddpi }+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dddelta }}Exy,yz=3lm2nVdd\u03c3+ln(1\u22124m2)Vdd\u03c0+ln(m2\u22121)Vdd\u03b4{displaystyle E_{xy,yz}=3lm^{2}nV_{ddsigma }+ln(1-4m^{2})V_{ddpi }+ln(m^{2}-1)V_{dddelta }}Exy,zx=3l2mnVdd\u03c3+mn(1\u22124l2)Vdd\u03c0+mn(l2\u22121)Vdd\u03b4{displaystyle E_{xy,zx}=3l^{2}mnV_{ddsigma }+mn(1-4l^{2})V_{ddpi }+mn(l^{2}-1)V_{dddelta }}Exy,x2\u2212y2=32lm(l2\u2212m2)Vdd\u03c3+2lm(m2\u2212l2)Vdd\u03c0+[lm(l2\u2212m2)\/2]Vdd\u03b4{displaystyle E_{xy,x^{2}-y^{2}}={frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2})V_{ddsigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{ddpi }+[lm(l^{2}-m^{2})\/2]V_{dddelta }}Eyz,x2\u2212y2=32mn(l2\u2212m2)Vdd\u03c3\u2212mn[1+2(l2\u2212m2)]Vdd\u03c0+mn[1+(l2\u2212m2)\/2]Vdd\u03b4{displaystyle E_{yz,x^{2}-y^{2}}={frac {3}{2}}mn(l^{2}-m^{2})V_{ddsigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{ddpi }+mn[1+(l^{2}-m^{2})\/2]V_{dddelta }}Ezx,x2\u2212y2=32nl(l2\u2212m2)Vdd\u03c3+nl[1\u22122(l2\u2212m2)]Vdd\u03c0\u2212nl[1\u2212(l2\u2212m2)\/2]Vdd\u03b4{displaystyle E_{zx,x^{2}-y^{2}}={frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{ddsigma }+nl[1-2(l^{2}-m^{2})]V_{ddpi }-nl[1-(l^{2}-m^{2})\/2]V_{dddelta }}Exy,3z2\u2212r2=3[lm(n2\u2212(l2+m2)\/2)]Vdd\u03c3\u22122lmn2Vdd\u03c0+[lm(1+n2)\/2]Vdd\u03b4]{displaystyle E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={sqrt {3}}left[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2)]V_{ddsigma }-2lmn^{2}V_{ddpi }+[lm(1+n^{2})\/2]V_{dddelta }right]}Eyz,3z2\u2212r2=3[mn(n2\u2212(l2+m2)\/2)Vdd\u03c3+mn(l2+m2\u2212n2)Vdd\u03c0\u2212[mn(l2+m2)\/2]Vdd\u03b4]{displaystyle E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={sqrt {3}}left[mn(n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2)V_{ddsigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{ddpi }-[mn(l^{2}+m^{2})\/2]V_{dddelta }right]}Ezx,3z2\u2212r2=3[ln(n2\u2212(l2+m2)\/2)Vdd\u03c3+ln(l2+m2\u2212n2)Vdd\u03c0\u2212[ln(l2+m2)\/2]Vdd\u03b4]{displaystyle E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={sqrt {3}}left[ln(n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2)V_{ddsigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{ddpi }-[ln(l^{2}+m^{2})\/2]V_{dddelta }right]}Ex2\u2212y2,x2\u2212y2=34(l2\u2212m2)2Vdd\u03c3+[l2+m2\u2212(l2\u2212m2)2]Vdd\u03c0+[n2+(l2\u2212m2)2\/4]Vdd\u03b4{displaystyle E_{x^{2}-y^{2},x^{2}-y^{2}}={frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{ddsigma }+[l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{ddpi }+[n^{2}+(l^{2}-m^{2})^{2}\/4]V_{dddelta }}Ex2\u2212y2,3z2\u2212r2=3[(l2\u2212m2)[n2\u2212(l2+m2)\/2]Vdd\u03c3\/2+n2(m2\u2212l2)Vdd\u03c0+[(1+n2)(l2\u2212m2)\/4]Vdd\u03b4]{displaystyle E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={sqrt {3}}left[(l^{2}-m^{2})[n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2]V_{ddsigma }\/2+n^{2}(m^{2}-l^{2})V_{ddpi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2})\/4]V_{dddelta }right]}E3z2\u2212r2,3z2\u2212r2=[n2\u2212(l2+m2)\/2]2Vdd\u03c3+3n2(l2+m2)Vdd\u03c0+34(l2+m2)2Vdd\u03b4{displaystyle E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})\/2]^{2}V_{ddsigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{ddpi }+{frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dddelta }}\u3053\u3053\u306b\u793a\u3055\u306a\u304b\u3063\u305f\u884c\u5217\u6210\u5206\u3082\u3042\u308b\u304c\u3001\u305d\u308c\u3089\u306f\u3053\u3053\u306b\u793a\u3057\u305f\u884c\u5217\u6210\u5206\u306e\u6dfb\u5b57\u3068\u65b9\u5411\u4f59\u5f26\u3092\u4e26\u3079\u5909\u3048\u308c\u3070\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u78c1\u5834\u306e\u52b9\u679c[\u7de8\u96c6]\u5f31\u3044\u78c1\u5834\u306e\u72b6\u6cc1\u3067\u3001\u30db\u30c3\u30d4\u30f3\u30b0\u7a4d\u5206\uff54(hopping)\u304c\u4f4d\u76f8\u4fc2\u6570\u3067\u30bf\u30a4\u30df\u30f3\u30b0\u304c\u3068\u3089\u308c\u307e\u3059\u3002\u95a2\u9023\u6587\u732e[\u7de8\u96c6]Walter Ashley Harrison (1989). 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