Vector (wiskunde) – Wikipedia

Een vector (Latijn: drager) is in de wiskunde een element van een vectorruimte, en daarmee een weinig specifiek begrip. Vectorruimten zijn generalisaties van de gewone driedimensionale ruimte, waarin punten voorgesteld worden door hun drie coördinaten

${displaystyle x}$

,

${displaystyle y}$

en

${displaystyle z}$

. Zulke punten, opgevat als pijlen van de oorsprong tot het punt

${displaystyle (x,y,z)}$

, waren de eerste die vector genoemd werden, een term ingevoerd door William Rowan Hamilton in 1837. Zo’n pijl stelt in de meetkunde en de natuurkunde een grootheid voor die zowel grootte als richting heeft, zoals verplaatsing, snelheid, versnelling, kracht, en dergelijke. Alleen de nulvector heeft geen richting.

Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel als letter met een pijltje erboven, zoals

${displaystyle {vec {a}}}$

, soms ook als een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld

${displaystyle mathbf {a} }$

. In deze notatieconventie wordt de lengte van de vector (

${displaystyle |mathbf {a} |}$

of

${displaystyle |{vec {a}}|}$

) dan aangegeven door een gewone

${displaystyle a}$

.
Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z’n aangrijpingspunt.

In de verschillende toepassingen wordt onder meer onderscheid gemaakt tussen vrije vectoren, glijdende vectoren, gebonden vectoren en plaatsvectoren.

Vrije vectoren[bewerken | brontekst bewerken]

Een vrije vector wordt bepaald door een richting en een lengte. Een vrije vector kan overal op het vlak of in de ruimte getekend worden: het blijft dezelfde vector.
Omgekeerd: alle vrije vectoren met dezelfde richting en lengte zijn een voorstelling van een en dezelfde vector.

Glijdende vectoren[bewerken | brontekst bewerken]

Een glijdende vector heeft een vaste richting en lengte, maar kan enkel vrij over zijn drager of dragende rechte schuiven of glijden, dus in de richting van de vector en in tegengestelde richting. Een glijdende vector kan overal op de rechte getekend worden: het blijft dezelfde vector. Bijvoorbeeld in het geval van een koppel maakt het glijden van de twee krachten over hun dragers niet uit voor het koppelmoment, terwijl zijdelings verschuiven wel uit zou maken.

Gebonden vector[bewerken | brontekst bewerken]

Een gebonden vector heeft een vast aangrijpingspunt en een vaste richting en lengte.
Het aangrijpingspunt is het punt waar vanuit de vector “vertrekt”. Iedere functiewaarde van een vectorveld kan worden voorgesteld als een gebonden vector.

Plaatsvector[bewerken | brontekst bewerken]

Een plaatsvector is een gebonden vector met de oorsprong als aangrijpingspunt.
Als met plaatsvectoren wordt gerekend, worden de notaties voor een punt en de bijhorende plaatsvector vaak door elkaar gebruikt. In een xyz-assenstelsel bijvoorbeeld:

${displaystyle {vec {OP}}=P=(p_{x},p_{y},p_{z})}$

.

De vector

${displaystyle mathbf {a} }$

in de nevenstaande figuur kan worden geschreven als

${displaystyle {vec {PQ}}}$

. Als de vector

${displaystyle mathbf {a} }$

een gebonden vector is, is

${displaystyle P}$

het aangrijpingspunt van

${displaystyle mathbf {a} }$

.
De figuur stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen.
Merk op dat men een vrije vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen.
Twee vrije vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren

${displaystyle mathbf {a} }$

en

${displaystyle mathbf {b} }$

op de volgende afbeelding zijn aan elkaar gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

Een vector in de gewone driedimensionale ruimte (de driedimensionale euclidische ruimte, de klassieke natuurkundige ruimte) kan, na een keuze van een basis, gerepresenteerd worden door

${displaystyle 3}$

componenten. Laat de vectoren

${displaystyle mathbf {u} _{1}}$

,

${displaystyle mathbf {u} _{2}}$

en

${displaystyle mathbf {u} _{3}}$

een basis van de ruimte vormen. Dan kan (per definitie van basis) elke vector

${displaystyle mathbf {a} }$

geschreven worden als een lineaire combinatie van

${displaystyle mathbf {u} _{1}}$

,

${displaystyle mathbf {u} _{2}}$

en

${displaystyle mathbf {u} _{3}}$

. Dit wil zeggen dat er getallen

${displaystyle a_{1}}$

,

${displaystyle a_{2}}$

en

${displaystyle a_{3}}$

zijn zodat

${displaystyle mathbf {a} =a_{1}mathbf {u} _{1}+a_{2}mathbf {u} _{2}+a_{3}mathbf {u} _{3}}$

.^[1] De vectoren

${displaystyle a_{1}mathbf {u} _{1}}$

,

${displaystyle a_{2}mathbf {u} _{2}}$

en

${displaystyle a_{3}mathbf {u} _{3}}$

heten de componenten van de vector

${displaystyle mathbf {a} }$

. De getallen

${displaystyle a_{1}}$

,

${displaystyle a_{2}}$

en

${displaystyle a_{3}}$

noemt men de coördinaten of kentallen van

${displaystyle mathbf {a} }$

ten opzichte van de basis

${displaystyle (mathbf {u} _{1},mathbf {u} _{2},mathbf {u} _{3})}$

. De volgorde van

${displaystyle a_{1}}$

,

${displaystyle a_{2}}$

en

${displaystyle a_{3}}$

is belangrijk. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet.

Getallenruimte[bewerken | brontekst bewerken]

In de reële driedimensionale coördinatenruimte

${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$

is de standaardbasis

${displaystyle (mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3})}$

met de basisvectoren

${displaystyle {mathbf {e} }_{1}=(1,0,0), {mathbf {e} }_{2}=(0,1,0), {mathbf {e} }_{3}=(0,0,1),}$

.

Meetkundig worden ze weergegeven door onderling loodrechte vectoren van lengte 1. Men kan hierin lengtes en hoeken definiëren (zie onder) die overeenkomen met de meetkundige begrippen, met als resultaat een driedimensionale euclidische ruimte.

Omgekeerd kan men uitgaand van een driedimensionale euclidische ruimte, met gegeven begrippen “lengte” en “loodrecht”, drie onderling loodrechte vectoren

${displaystyle {mathbf {e} }_{1}}$

,

${displaystyle {mathbf {e} }_{2}}$

en

${displaystyle {mathbf {e} }_{3}}$

van lengte 1 als basisvectoren kiezen, zodat een vector beschreven kan worden met zijn drie coördinaten.

In beide gevallen is het resultaat een cartesisch coördinatenstelsel met de drie in de eerste zin genoemde basisvectoren, waarin iedere vector

${displaystyle mathbf {a} }$

geschreven kan worden als lineaire combinatie van de eenheidsvectoren:

${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3}}$

.

De richting van

${displaystyle mathbf {e} _{1}}$

is die waarin de eerste coördinaat toeneemt, enz. Men noemt de standaardbasis ook wel

${displaystyle (mathbf {e} _{x},mathbf {e} _{y},mathbf {e} _{z}).}$

Soms wordt ook de notatie

${displaystyle (mathbf {i} ,mathbf {j} ,mathbf {k} )}$

gebruikt. Alle drie hebben ze de lengte 1.

Een vector

${displaystyle mathbf {a} in mathbb {R} ^{3}}$

met coördinaten

${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$

is niet identiek aan de rijvector

${displaystyle {begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}end{bmatrix}}}$

of aan de kolomvector

${displaystyle {begin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{bmatrix}}}$

. Wel zijn de vectorruimten van de 1×3-rijvectoren en de 3×1-kolomvectoren op triviale wijze isomorf met de

${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$

.

Gelijkheid[bewerken | brontekst bewerken]

Twee vectoren zijn aan elkaar als ze dezelfde grootte en richting hebben.^[2]

Equivalent is: twee vectoren zijn aan elkaar gelijk als ze dezelfde componenten hebben. Twee vectoren

${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3}}$

en

${displaystyle {mathbf {b} }=b_{1}{mathbf {e} }_{1}+b_{2}{mathbf {e} }_{2}+b_{3}{mathbf {e} }_{3}}$

zijn dus aan elkaar gelijk dan en slechts dan als

${displaystyle a_{1}=b_{1},quad a_{2}=b_{2},quad a_{3}=b_{3}}$

Optellen van vectoren, parallellogramregel[bewerken | brontekst bewerken]

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening in een vlak waar beide inliggen, de zogenoemde parallellogramregel:

Om

${displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}}$

te construeren, tekent men

${displaystyle {vec {a}}}$

en

${displaystyle {vec {b}}}$

zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in hetzelfde punt waar

${displaystyle {vec {a}}}$

en

${displaystyle {vec {b}}}$

beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van

${displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}}$

.

Er bestaat ook een andere manier om

${displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}}$

te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat

${displaystyle {vec {a}}}$

voorstelt, gaat van P naar Q, teken je

${displaystyle {vec {b}}}$

zo dat het pijltje dat

${displaystyle {vec {b}}}$

voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat

${displaystyle {vec {b}}}$

voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector

${displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}}$

. De volgende afbeelding illustreert dit:

Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

${displaystyle {overrightarrow {PQ}}+{overrightarrow {QR}}={overrightarrow {PR}}}$

Deze manier is ook toepasbaar bij meerdere vectoren.

Verschil van vectoren[bewerken | brontekst bewerken]

Het verschil

${displaystyle mathbf {a} -mathbf {b} }$

van de vectoren

${displaystyle mathbf {a} }$

en

${displaystyle mathbf {b} }$

is gedefinieerd als

${displaystyle mathbf {a} +(-mathbf {b} )}$

, waarin

${displaystyle -mathbf {b} }$

de tegengestelde vector van

${displaystyle mathbf {b} }$

is, dat wil zeggen de vector met dezelfde grootte als

${displaystyle mathbf {b} }$

, maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

Vermenigvuldiging van een vector met een scalair[bewerken | brontekst bewerken]

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalaire product (zie verder).

Om het verschil tussen getallen en vectoren aan te duiden, noemt men een getal ook wel een “scalair”: de kentallen van een vector zijn scalairen. Wanneer men een vector

${displaystyle mathbf {a} }$

vermenigvuldigt met een scalair

${displaystyle k}$

, krijgt men een nieuwe vector

${displaystyle kmathbf {a} }$

. De grootte van

${displaystyle kmathbf {a} }$

is

${displaystyle |k||mathbf {a} |}$

en de richting is gelijk aan die van

${displaystyle mathbf {a} }$

als

${displaystyle k>0}$

${displaystyle k<0}$

. De volgende afbeelding illustreert de begrippen:

Hierbij is

${displaystyle -mathbf {a} }$

gelijk aan

${displaystyle (-1)cdot mathbf {a} }$

. Als

${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$

ten opzichte van een bepaalde basis, zal, ten opzichte van diezelfde basis,

${displaystyle kmathbf {a} =(ka_{1},ka_{2},ka_{3})}$

.

Norm van een vector[bewerken | brontekst bewerken]

De lengte, grootte of norm van de vector

${displaystyle mathbf {a} }$

wordt aangeduid door

${displaystyle |mathbf {a} |}$

of, minder gebruikelijk, met

${displaystyle |mathbf {a} |}$

. De norm van een vector dient niet te worden verward met de absolute waarde (een scalaire “norm”).

Deze correspondeert met het gewone afstandsbegrip, de euclidische afstand, het afstandsbegrip bepaald door het inproduct van vectoren (zie onder). De norm van de vector

${displaystyle mathbf {a} }$

kan worden berekend met:

${displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}={sqrt {mathbf {a} cdot mathbf {a} }}}$

wat een gevolg is van de stelling van Pythagoras aangezien de basisvectoren

${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3}}$

orthogonale eenheidsvectoren zijn.

Inwendig product[bewerken | brontekst bewerken]

Het inwendig product (ook wel inproduct, scalair product of dot product genoemd) van twee vectoren

${displaystyle mathbf {a} }$

en

${displaystyle mathbf {b} }$

zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:

${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos {theta }}$

,

waarin

${displaystyle theta }$

de hoek tussen

${displaystyle mathbf {a} }$

en

${displaystyle mathbf {b} }$

is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:

${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$

,

waarin

${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$

en

${displaystyle mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$

.

De hoek

${displaystyle theta }$

tussen de vectoren

${displaystyle mathbf {a} }$

en

${displaystyle mathbf {b} }$

is dan:

${displaystyle theta =arccos left({frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}}right)}$

.

Als minstens een van beide vectoren de nulvector is, is het inwendig product nul en de hoek onbepaald.

Kruisproduct[bewerken | brontekst bewerken]

Voor twee vectoren

${displaystyle {vec {a}}}$

en

${displaystyle {vec {b}}}$

in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte bestaat ook het kruisproduct (ook wel vectorproduct, uitproduct, uitwendig product of vectorieel product genoemd)

${displaystyle {vec {a}}times {vec {b}}}$

.

Het kruisproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een grootte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren, en de richting volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

Uitgedrukt in de coördinaten van

${displaystyle {vec {a}}}$

en

${displaystyle {vec {b}}}$

luidt het kruisproduct:

${displaystyle {vec {a}}times {vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$

.

Merk op dat het kruisproduct niet commutatief is, maar anticommutatief:

${displaystyle {vec {b}}times {vec {a}}=-({vec {a}}times {vec {b}})}$

.

Eenheidsvector[bewerken | brontekst bewerken]

Een eenheidsvector is een vector met een norm gelijk aan 1. Eenheidsvectoren worden vooral gebruikt om een richting aan te geven. Een vector met willekeurige norm ongelijk aan 0 kan worden gedeeld door zijn norm om zo een eenheidsvector te creëren. Dit proces staat bekend als het normaliseren van een vector. Een eenheidsvector wordt wel aangeduid met een dakje, zoals in

${displaystyle mathbf {hat {a}} }$

of ook door

${displaystyle {vec {e_{a}}}}$

.

Om een vector

${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$

te normaliseren deelt men de vector door zijn lengte

${displaystyle |mathbf {a} |}$

:

${displaystyle mathbf {hat {a}} ={frac {1}{|mathbf {a} |}}mathbf {a} =left({frac {a_{1}}{|mathbf {a} |}},{frac {a_{2}}{|mathbf {a} |}},{frac {a_{3}}{|mathbf {a} |}}right)}$

Nulvector[bewerken | brontekst bewerken]

De nulvector is de vector met lengte nul. In de driedimensionale euclidische ruimte is het de vector met alle coördinaten gelijk aan 0, dus de vector (0,0,0). De nulvector wordt algemeen aangeduid met

${displaystyle {vec {0}}}$

, met

${displaystyle mathbf {0} }$

, of ook gewoon met 0. In tegenstelling tot enige andere vector, heeft de nulvector geen richting en kan niet worden genormaliseerd (dat wil zeggen dat er geen eenheidsvector is, die een veelvoud is van de nulvector). De som van de nulvector en enige vector

${displaystyle mathbf {a} }$

is

${displaystyle mathbf {a} }$

zelf, dat wil zeggen dat

${displaystyle mathbf {0} +mathbf {a} =mathbf {a} }$

.

Vectoren in de natuurkunde[bewerken | brontekst bewerken]

In de natuurkunde wordt onderscheid gemaakt tussen “scalaire grootheden” en “vectoriële grootheden”. Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Ze zijn in principe driedimensionaal, maar voor zaken die zich in een vlak afspelen kunnen ze ook tweedimensionaal beschouwd worden.

Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume, temperatuur, elektrische potentiaal, zwaartekrachtspotentiaal.

Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:

In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar de grootte en richting van de vector in een punt

${displaystyle (x,y,z)}$

een functie zijn van de positie

${displaystyle (x,y,z)}$

.
Voorbeelden zijn:

Bij de meeste vectoren in de natuurkunde is de grootte (norm, zie boven) geen dimensieloos getal, maar een grootheid uit te drukken als een getal met een eenheid.
In het geval van een windveld kan dit bijvoorbeeld 20 km/u zijn.

In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een vectorruimte.

Boven is het geval van de driedimensionale euclidische ruimte behandeld. De tweedimensionale euclidische ruimte gaat analoog, behalve dat er geen kruisproduct is.

Bij een vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam (Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen hebben vectoren geen grootte en richting. Het is ook moeilijk om van deze vectoren een tekening te maken.

Bronnen, noten en/of referenties ↑ Hier wordt gebruikgemaakt van scalaire vermenigvuldiging en optelling van vectoren, die verderop wordt behandeld. ↑ De nulvector heeft geen richting. Deze is uiteraard gelijk aan zichzelf en ongelijk aan vectoren met een richting. ↑ De vectoren hoeven niet in één vlak te liggen. De vectoren zijn hier geprojecteerd op het vlak van de tekening.