Standaardinproduct – Wikipedia

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het standaardinproduct of canonieke inproduct het inwendig product dat normaal gebruikt wordt in de euclidische vectorruimte

${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$

en de eindigdimensionale complexe vectorruimte

${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$

. Met behulp van het standaardinproduct kunnen de gebruikelijke begrippen van lengte en hoek gedefinieerd worden.

Reëel standaardinproduct[bewerken | brontekst bewerken]

Het standaardinproduct van twee vectoren

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})in mathbb {R} ^{n}}$

is gedefinieerd als

${displaystyle langle x,yrangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+ldots +x_{n}y_{n}=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$

Vat men

${displaystyle x}$

en

${displaystyle y}$

op als kolomvectoren:

${displaystyle x=[x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]^{top },y=[y_{1},y_{2},ldots ,y_{n}]^{top }}$

,

dan kan het standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:

${displaystyle langle x,yrangle =x^{top }y=y^{top }x}$

Complex standaardinproduct[bewerken | brontekst bewerken]

Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})in mathbb {C} ^{n}}$

bestaan twee versies.

${displaystyle langle x,yrangle ={bar {x}}_{1}y_{1}+{bar {x}}_{2}y_{2}+dotsb +{bar {x}}_{n}y_{n}=sum _{i=1}^{n}{bar {x}}_{i}y_{i}}$

en

${displaystyle langle x,yrangle ‘=x_{1}{bar {y}}_{1}+x_{2}{bar {y}}_{2}+dotsb +x_{n}{bar {y}}_{n}=sum _{i=1}^{n}x_{i}{bar {y}}_{i}}$

.

De beide versies verschillen slechts daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:

${displaystyle langle x,yrangle ‘={overline {langle x,yrangle }}}$

.

Vat men

${displaystyle x}$

en

${displaystyle y}$

op als kolomvectoren:

${displaystyle x=[x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]^{top },y=[y_{1},y_{2},ldots ,y_{n}]^{top }}$

,

dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:

${displaystyle langle x,yrangle =x^{top }{bar {y}}={bar {y}}^{top }x}$

.

Het reële standaardinproduct heeft de eigenschap dat voor iedere reële vierkante matrix

${displaystyle A}$

van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:

${displaystyle langle Ax,yrangle =(Ax)^{top }y=x^{top }A^{top }y=langle x,A^{top }yrangle }$

.

Voor het complexe standaardinproduct geldt een soortgelijke de eigenschap, namelijk dat voor iedere complexe vierkante matrix

${displaystyle A}$

van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:

${displaystyle langle Ax,yrangle =(Ax)^{top }{bar {y}}=x^{top }A^{top }{bar {y}}=x^{top }{overline {{bar {A}}^{top }y}}=langle x,{bar {A}}^{top }yrangle }$

.

Norm[bewerken | brontekst bewerken]

De norm van een reële of complexe vector

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}$

die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:

${displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }}={sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+ldots +|x_{n}|^{2}}}}$

.

Afstand[bewerken | brontekst bewerken]

Van de euclidische norm wordt de euclidische afstand

${displaystyle |x-y|}$

tussen twee reële of complexe vectoren

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}$

en

${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})}$

afgeleid:

${displaystyle |x-y|={sqrt {langle x-y,x-yrangle }}={sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2}+ldots +|x_{n}-y_{n}|^{2}}}}$

.

Hoek[bewerken | brontekst bewerken]

De hoek

${displaystyle theta =angle (x,y)}$

tussen twee reële vectoren

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})neq 0}$

en

${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})neq 0}$

wordt afgeleid van het reële standaardinproduct, via:

${displaystyle cos(theta )={frac {langle x,yrangle }{|x||y|}}}$

Orthogonaliteit[bewerken | brontekst bewerken]

Twee reële of complexe vectoren

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})neq 0}$

en

${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})neq 0}$

zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:

${displaystyle langle x,yrangle =0}$

.

In het geval van reële vectoren betekent orthogonaliteit, dat

${displaystyle angle (x,y)=90^{circ }}$

.

Voor een willekeurige n-dimensionale vectorruimte

${displaystyle V}$

over de reële getallen met een inproduct

${displaystyle langle cdot ,cdot rangle }$

kan het standaardinproduct gebruikt worden voor de berekening van het inproduct van twee vectoren

${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})}$

en

${displaystyle y=(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})}$

. Als lineaire combinatie van een orthonormale basis

${displaystyle {e_{1},ldots ,e_{n}}}$

van

${displaystyle V}$

zijn deze vectoren:

${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$

en

${displaystyle y=sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}$

Het inproduct van

${displaystyle x}$

en

${displaystyle y}$

is:

${displaystyle langle x,yrangle =leftlangle sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}rightrangle =sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}langle e_{i},e_{j}rangle =sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$

.

Dit kan dus berekend worden als het standaardinproduct van de vectoren van de coördinaten van

${displaystyle x}$

en

${displaystyle y}$

ten opzichte van de genoemde basis.