Podprzestrzeń liniowa – Wikipedia, wolna encyklopedia

Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Równoważnie, podzbiór

U{displaystyle U}

przestrzeni liniowej

V{displaystyle V}

nad ciałem

K{displaystyle K}

jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektorów

u,v∈U{displaystyle mathbf {u} ,mathbf {v} in U}

i skalarów

a∈K{displaystyle ain K}

spełnione są warunki:

0∈U,{displaystyle 0in U,}

au∈U,{displaystyle amathbf {u} in U,}

u+v∈U{displaystyle mathbf {u} +mathbf {v} in U}

^[1].

Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbiór

U{displaystyle U}

zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że

U{displaystyle U}

jest podzbiorem

V.{displaystyle V.}

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

• W każdej przestrzeni liniowej
  V{displaystyle V}
  zbiory {0}{displaystyle {mathbf {0} }}
  oraz cała przestrzeń V{displaystyle V}
  są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
• W przestrzeni współrzędnych
  R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
  podzbiór złożony z wektorów postaci [t,3t]{displaystyle [t,3t]}
  dla t∈R{displaystyle tin mathbb {R} }
  jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt (1,3).{displaystyle (1,3).}
  
• Podobnie w przestrzeni
  R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}
  podzbiór złożony z wektorów postaci [t,3t,s],{displaystyle [t,3t,s],}
  gdzie t,s{displaystyle t,s}
  są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty (0,0,1){displaystyle (0,0,1)}
  i (1,3,0).{displaystyle (1,3,0).}
  
• W przestrzeni liniowej
  RN{displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}
  wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
• Jeżeli
  V{displaystyle V}
  jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania na podprzestrzeniach[edytuj | edytuj kod]

Niech

V{displaystyle V}

będzie przestrzenią liniową.

• Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni
  V{displaystyle V}
  jest podprzestrzenią liniową^[4]. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

• Dla rodziny
  U1,…,Un{displaystyle U_{1},dots ,U_{n}}
  podprzestrzeni liniowych przestrzeni V{displaystyle V}
  definiuje się ich sumę algebraiczną

U1+…+Un:={u1+…un:u1∈U1,…,un∈Un}.{displaystyle U_{1}+ldots +U_{n}:={mathbf {u} _{1}+ldots mathbf {u} _{n}colon mathbf {u} _{1}in U_{1},dots ,mathbf {u} _{n}in U_{n}}.}

Suma algebraiczna U1+…+Un{displaystyle U_{1}+ldots +U_{n}}

podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V{displaystyle V}

^[5].

Dowód

Niech

x,y∈U1+…+Un.{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in U_{1}+ldots +U_{n}.}

Wówczas

x=x1+…+xn,y=y1+…+yn{displaystyle mathbf {x} =mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n},;mathbf {y} =mathbf {y} _{1}+ldots +mathbf {y} _{n}}

dla pewnych xi,yi∈Ui.{displaystyle mathbf {x} _{i},mathbf {y} _{i}in U_{i}.}

Oznacza to, że

x+y=x1+…+xn+y1+…+yn=x1+y1⏟∈U1+…+xn+yn⏟∈Un∈U1+…+Un.{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n}+mathbf {y} _{1}+ldots +mathbf {y} _{n}=underbrace {mathbf {x} _{1}+mathbf {y} _{1}} _{in U_{1}}+ldots +underbrace {mathbf {x} _{n}+mathbf {y} _{n}} _{in U_{n}}in U_{1}+ldots +U_{n}.}

Niech x∈U+W,{displaystyle mathbf {x} in U+W,}

zaś c{displaystyle c}

będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora x{displaystyle mathbf {x} }

co wyżej uzyskuje się

cx=c(x1+…+xn)=cx1⏟∈U1+…+cxn⏟∈Un∈U1+…+Un.{displaystyle cmathbf {x} =c(mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n})=underbrace {cmathbf {x} _{1}} _{in U_{1}}+ldots +underbrace {cmathbf {x} _{n}} _{in U_{n}}in U_{1}+ldots +U_{n}.}

Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę {Ui:i∈I}{displaystyle {U_{i}colon iin I}}

podprzestrzeni liniowych V.{displaystyle V.}

Ich sumę algebraiczną definiuje się jako

∑i∈IUi={x1+…+xn:x1,…,xn∈⋃i∈IUi}.{displaystyle sum _{iin I}U_{i}={Big {}mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n}colon mathbf {x} _{1},dots ,mathbf {x} _{n}in bigcup _{iin I}U_{i}{Big }}.}

Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.

 Osobny artykuł: suma prosta przestrzeni liniowych.

Sumę algebraiczną U1+…+Un{displaystyle U_{1}+ldots +U_{n}}

nazywa się prostą, gdy Ui∩Uj={0}{displaystyle U_{i}cap U_{j}={0}}

dla i≠j;{displaystyle ineq j;}

stosuje się wówczas oznaczenie U1⊕…⊕Un.{displaystyle U_{1}oplus ldots oplus U_{n}.}

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni

V{displaystyle V}

wraz z działaniami

+{displaystyle +}

i

∩{displaystyle cap }

tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna^[6].

 Zobacz też: wymiar.

Niech

V{displaystyle V}

będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni

V{displaystyle V}

sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem

dim{displaystyle dim }

), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech

U{displaystyle U}

i

W{displaystyle W}

będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni

V.{displaystyle V.}

Między wymiarami przestrzeni

U+W{displaystyle U+W}

i

U∩W{displaystyle Ucap W}

zachodzi związek^[7][8]

dim⁡(U+W)+dim⁡(U∩W)=dim⁡U+dim⁡W.{displaystyle dim(U+W)+dim(Ucap W)=dim U+dim W.}

W szczególności^[9][8]

dim⁡(U⊕W)=dim⁡U+dim⁡W.{displaystyle dim(Uoplus W)=dim U+dim W.}

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli

U1,…,Un{displaystyle U_{1},dots ,U_{n}}

są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni

V,{displaystyle V,}

że

dim⁡V=dim⁡U1+…+dim⁡Un,{displaystyle dim V=dim U_{1}+ldots +dim U_{n},}

to^[10]

V=U1⊕…⊕Un.{displaystyle V=U_{1}oplus ldots oplus U_{n}.}

Niech

U{displaystyle U}

oraz

W{displaystyle W}

będą podprzestrzeniami

V.{displaystyle V.}

Kowymiarem podprzestrzeni

U{displaystyle U}

w

V,{displaystyle V,}

oznaczanym

codimU{displaystyle mathrm {codim} ;U}

nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej

V/U.{displaystyle V/U.}

Jeżeli

V{displaystyle V}

jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

dim⁡V/U=dim⁡V−dim⁡U.{displaystyle dim V/U=dim V-dim U.}

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów[edytuj | edytuj kod]

Niech

V{displaystyle V}

będzie przestrzenią liniową nad ciałem

K.{displaystyle K.}

Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru

A{displaystyle A}

przestrzeni liniowej

V{displaystyle V}

definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór

A,{displaystyle A,}

linA{displaystyle mathrm {lin} ,A}

(inne symbole:

spanA,⟨A⟩{displaystyle mathrm {span} ,A,;langle Arangle }

), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru

A,{displaystyle A,}

tj.

linA={c1v1+⋯+ckvk:ci∈K,vi∈A,i⩽k,k∈N}.{displaystyle mathrm {lin} ,A={big {}c_{1}mathbf {v} _{1}+dots +c_{k}mathbf {v} _{k}colon c_{i}in K,;mathbf {v} _{i}in A,ileqslant k,;kin mathbb {N} }.}

Zbiór

linA{displaystyle mathrm {lin} ,A}

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni

V;{displaystyle V;}

jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni

V,{displaystyle V,}

która zawiera zbiór

A{displaystyle A}

^[2]. Zbiór

A{displaystyle A}

nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń

linA,{displaystyle mathrm {lin} ,A,}

a przestrzeń

linA{displaystyle mathrm {lin} ,A}

podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór

A{displaystyle A}

bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru

A.{displaystyle A.}

Jeżeli zbiór

A{displaystyle A}

generuje przestrzeń

V,{displaystyle V,}

to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń

V{displaystyle V}

jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru

A≠{0}{displaystyle Aneq {0}}

generującego przestrzeń

V{displaystyle V}

następujące warunki są równoważne

1. zbiór
   A{displaystyle A}
   jest bazą przestrzeni V,{displaystyle V,}
   
2. zbiór
   A{displaystyle A}
   jest liniowo niezależny,
3. każdy wektor przestrzeni
   V{displaystyle V}
   można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru A{displaystyle A}
   ^[11].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

• Jeżeli
  A{displaystyle A}
  i B{displaystyle B}
  są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V,{displaystyle V,}
  to

linA=A{displaystyle mathrm {lin} ,A=A}

oraz lin(A∪B)=A+B.{displaystyle mathrm {lin} ,(Acup B)=A+B.}

• Podprzestrzeń przestrzeni
  R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
  generowana przez zbiór {[1,3]}{displaystyle {[1,3]}}
  opisana jest w drugim z przykładów.

• Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
• Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
• Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.).