[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/04\/28\/podprzestrzen-liniowa-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/04\/28\/podprzestrzen-liniowa-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","headline":"Podprzestrze\u0144 liniowa \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","name":"Podprzestrze\u0144 liniowa \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","description":"Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Podprzestrze\u0144 liniowa a. wektorowa \u2013 podzbi\u00f3r przestrzeni liniowej, kt\u00f3ry sam jest przestrzeni\u0105 liniow\u0105 z dzia\u0142aniami dziedziczonymi","datePublished":"2016-04-28","dateModified":"2016-04-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/04\/28\/podprzestrzen-liniowa-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","wordCount":14124,"articleBody":"Z Wikipedii, wolnej encyklopedii  Podprzestrze\u0144 liniowa a. wektorowa \u2013 podzbi\u00f3r przestrzeni liniowej, kt\u00f3ry sam jest przestrzeni\u0105 liniow\u0105 z dzia\u0142aniami dziedziczonymi z wyj\u015bciowej przestrzeni. R\u00f3wnowa\u017cnie, podzbi\u00f3r U{displaystyle U} przestrzeni liniowej   V{displaystyle V} nad cia\u0142em K{displaystyle K} jest podprzestrzeni\u0105 liniow\u0105 wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektor\u00f3w u,v\u2208U{displaystyle mathbf {u} ,mathbf {v} in U} i skalar\u00f3w a\u2208K{displaystyle ain K} spe\u0142nione s\u0105 warunki:  0\u2208U,{displaystyle 0in U,}au\u2208U,{displaystyle amathbf {u} in U,}u+v\u2208U{displaystyle mathbf {u} +mathbf {v} in U}[1].Innymi s\u0142owy, podprzestrze\u0144 liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbi\u00f3r U{displaystyle U} zamkni\u0119ty ze wzgl\u0119du na mno\u017cenie przez skalar i ze wzgl\u0119du na dodawanie wektor\u00f3w, oba dzia\u0142ania w podprzestrzeni s\u0105 wi\u0119c dobrze okre\u015blone a spe\u0142nianie przez nie aksjomat\u00f3w przestrzeni liniowej wynika z tego, \u017ce U{displaystyle U} jest podzbiorem V.{displaystyle V.}Powy\u017csz\u0105 charakteryzacj\u0119 mo\u017cna wyrazi\u0107 r\u00f3wnie\u017c nast\u0119puj\u0105co: podprzestrze\u0144 liniowa to taki podzbi\u00f3r przestrzeni liniowej, do kt\u00f3rego nale\u017cy ka\u017cda kombinacja liniowa jego dw\u00f3ch element\u00f3w; z zasady indukcji matematycznej wynika, \u017ce jest to r\u00f3wnowa\u017cne temu, by nale\u017ca\u0142a do niego dowolna kombinacja liniowa ka\u017cdej sko\u0144czonej liczby jego element\u00f3w.  Na szaro, zielono i \u017c\u00f3\u0142to zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (p\u0142aszczyzny) tr\u00f3jwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrze\u0144 jednowymiarow\u0105 (prost\u0105). Dob\u00f3r uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych nie jest istotny.W ka\u017cdej przestrzeni liniowej V{displaystyle V} zbiory {0}{displaystyle {mathbf {0} }} oraz ca\u0142a przestrze\u0144 V{displaystyle V} s\u0105 podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialn\u0105, druga \u2013 niew\u0142a\u015bciw\u0105.W przestrzeni wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} podzbi\u00f3r z\u0142o\u017cony z wektor\u00f3w postaci [t,3t]{displaystyle [t,3t]} dla t\u2208R{displaystyle tin mathbb {R} } jest podprzestrzeni\u0105 (jednowymiarow\u0105), kt\u00f3r\u0105 geometrycznie mo\u017cna interpretowa\u0107 jako prost\u0105 przechodz\u0105c\u0105 przez pocz\u0105tek uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych i punkt (1,3).{displaystyle (1,3).}Podobnie w przestrzeni R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} podzbi\u00f3r z\u0142o\u017cony z wektor\u00f3w postaci [t,3t,s],{displaystyle [t,3t,s],} gdzie t,s{displaystyle t,s} s\u0105 dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarow\u0105) podprzestrzeni\u0105, kt\u00f3r\u0105 mo\u017cna interpretowa\u0107 geometrycznie jako p\u0142aszczyzn\u0119 przechodz\u0105c\u0105 przez pocz\u0105tek uk\u0142adu wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych oraz punkty (0,0,1){displaystyle (0,0,1)} i (1,3,0).{displaystyle (1,3,0).}W przestrzeni liniowej RN{displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }} wszystkich ci\u0105g\u00f3w o warto\u015bciach rzeczywistych nast\u0119puj\u0105ce zbiory s\u0105 podprzestrzeniami liniowymi:Je\u017celi V{displaystyle V} jest przestrzeni\u0105 unitarn\u0105, to dope\u0142nienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzeni\u0105 przestrzeni V.Dzia\u0142ania na podprzestrzeniach[edytuj | edytuj kod]Niech V{displaystyle V} b\u0119dzie przestrzeni\u0105 liniow\u0105.Cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni V{displaystyle V} jest podprzestrzeni\u0105 liniow\u0105[4]. Istotnie, ka\u017cda kombinacja liniowa element\u00f3w cz\u0119\u015bci wsp\u00f3lnej rodziny podprzestrzeni liniowych nale\u017cy do tej cz\u0119\u015bci wsp\u00f3lnej, jako \u017ce nale\u017cy ona do ka\u017cdej z podprzestrzeni, kt\u00f3rych cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3ln\u0105 si\u0119 rozwa\u017ca.Dla rodziny U1,\u2026,Un{displaystyle U_{1},dots ,U_{n}} podprzestrzeni liniowych przestrzeni V{displaystyle V} definiuje si\u0119 ich sum\u0119 algebraiczn\u0105U1+\u2026+Un:={u1+\u2026un:u1\u2208U1,\u2026,un\u2208Un}.{displaystyle U_{1}+ldots +U_{n}:={mathbf {u} _{1}+ldots mathbf {u} _{n}colon mathbf {u} _{1}in U_{1},dots ,mathbf {u} _{n}in U_{n}}.}Suma algebraiczna U1+\u2026+Un{displaystyle U_{1}+ldots +U_{n}} podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzeni\u0105 liniow\u0105 przestrzeni V{displaystyle V}[5].Dow\u00f3dNiechx,y\u2208U1+\u2026+Un.{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in U_{1}+ldots +U_{n}.}W\u00f3wczasx=x1+\u2026+xn,y=y1+\u2026+yn{displaystyle mathbf {x} =mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n},;mathbf {y} =mathbf {y} _{1}+ldots +mathbf {y} _{n}}dla pewnych xi,yi\u2208Ui.{displaystyle mathbf {x} _{i},mathbf {y} _{i}in U_{i}.} Oznacza to, \u017cex+y=x1+\u2026+xn+y1+\u2026+yn=x1+y1\u23df\u2208U1+\u2026+xn+yn\u23df\u2208Un\u2208U1+\u2026+Un.{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n}+mathbf {y} _{1}+ldots +mathbf {y} _{n}=underbrace {mathbf {x} _{1}+mathbf {y} _{1}} _{in U_{1}}+ldots +underbrace {mathbf {x} _{n}+mathbf {y} _{n}} _{in U_{n}}in U_{1}+ldots +U_{n}.}Niech x\u2208U+W,{displaystyle mathbf {x} in U+W,} za\u015b c{displaystyle c} b\u0119dzie skalarem. Korzystaj\u0105c z tego samego przedstawienia wektora x{displaystyle mathbf {x} } co wy\u017cej uzyskuje si\u0119cx=c(x1+\u2026+xn)=cx1\u23df\u2208U1+\u2026+cxn\u23df\u2208Un\u2208U1+\u2026+Un.{displaystyle cmathbf {x} =c(mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n})=underbrace {cmathbf {x} _{1}} _{in U_{1}}+ldots +underbrace {cmathbf {x} _{n}} _{in U_{n}}in U_{1}+ldots +U_{n}.}Powy\u017csza konstrukcja przenosi si\u0119 na dowoln\u0105 rodzin\u0119 {Ui:i\u2208I}{displaystyle {U_{i}colon iin I}} podprzestrzeni liniowych V.{displaystyle V.} Ich sum\u0119 algebraiczn\u0105 definiuje si\u0119 jako\u2211i\u2208IUi={x1+\u2026+xn:x1,\u2026,xn\u2208\u22c3i\u2208IUi}.{displaystyle sum _{iin I}U_{i}={Big {}mathbf {x} _{1}+ldots +mathbf {x} _{n}colon mathbf {x} _{1},dots ,mathbf {x} _{n}in bigcup _{iin I}U_{i}{Big }}.}Podobnie jak w sko\u0144czonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzeni\u0105 liniow\u0105.\u00a0Osobny artyku\u0142: suma prosta przestrzeni liniowych.Sum\u0119 algebraiczn\u0105 U1+\u2026+Un{displaystyle U_{1}+ldots +U_{n}} nazywa si\u0119 prost\u0105, gdy Ui\u2229Uj={0}{displaystyle U_{i}cap U_{j}={0}} dla i\u2260j;{displaystyle ineq j;} stosuje si\u0119 w\u00f3wczas oznaczenie U1\u2295\u2026\u2295Un.{displaystyle U_{1}oplus ldots oplus U_{n}.}Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni V{displaystyle V} wraz z dzia\u0142aniami +{displaystyle +} i \u2229{displaystyle cap } tworzy krat\u0119 zupe\u0142n\u0105, w kt\u00f3rej infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3lna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (mo\u017cliwie niesko\u0144czona) suma algebraiczna[6].\u00a0Zobacz te\u017c: wymiar.Niech V{displaystyle V} b\u0119dzie przestrzeni\u0105 liniow\u0105. Poniewa\u017c ka\u017cda podprzestrze\u0144 liniowa przestrzeni V{displaystyle V} sama jest przestrzeni\u0105 liniow\u0105 mo\u017cna m\u00f3wi\u0107 o jej wymiarze (oznaczanym symbolem dim{displaystyle dim }), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.Niech U{displaystyle U} i W{displaystyle W} b\u0119d\u0105 podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V.{displaystyle V.} Mi\u0119dzy wymiarami przestrzeni U+W{displaystyle U+W} i U\u2229W{displaystyle Ucap W} zachodzi zwi\u0105zek[7][8]dim\u2061(U+W)+dim\u2061(U\u2229W)=dim\u2061U+dim\u2061W.{displaystyle dim(U+W)+dim(Ucap W)=dim U+dim W.}W szczeg\u00f3lno\u015bci[9][8]dim\u2061(U\u2295W)=dim\u2061U+dim\u2061W.{displaystyle dim(Uoplus W)=dim U+dim W.}Przeciwne twierdzenie r\u00f3wnie\u017c zachodzi, tj. je\u017celi U1,\u2026,Un{displaystyle U_{1},dots ,U_{n}} s\u0105 takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V,{displaystyle V,} \u017cedim\u2061V=dim\u2061U1+\u2026+dim\u2061Un,{displaystyle dim V=dim U_{1}+ldots +dim U_{n},}to[10]V=U1\u2295\u2026\u2295Un.{displaystyle V=U_{1}oplus ldots oplus U_{n}.}Niech U{displaystyle U} oraz W{displaystyle W} b\u0119d\u0105 podprzestrzeniami V.{displaystyle V.} Kowymiarem podprzestrzeni U{displaystyle U} w V,{displaystyle V,} oznaczanym codimU{displaystyle mathrm {codim} ;U} nazywa si\u0119 wymiar przestrzeni ilorazowej V\/U.{displaystyle V\/U.} Je\u017celi V{displaystyle V} jest przestrzeni\u0105 sko\u0144czenie wymiarow\u0105, todim\u2061V\/U=dim\u2061V\u2212dim\u2061U.{displaystyle dim V\/U=dim V-dim U.}Podprzestrze\u0144 liniowa generowana przez zbi\u00f3r wektor\u00f3w[edytuj | edytuj kod]Niech V{displaystyle V} b\u0119dzie przestrzeni\u0105 liniow\u0105 nad cia\u0142em K.{displaystyle K.} Dla ka\u017cdego (niekoniecznie sko\u0144czonego) podzbioru A{displaystyle A} przestrzeni liniowej V{displaystyle V} definiuje si\u0119 podprzestrze\u0144 generowan\u0105 przez zbi\u00f3r A,{displaystyle A,} linA{displaystyle mathrm {lin} ,A} (inne symbole: spanA,\u27e8A\u27e9{displaystyle mathrm {span} ,A,;langle Arangle }), jako zbi\u00f3r wszystkich kombinacji liniowych element\u00f3w zbioru A,{displaystyle A,} tj.linA={c1v1+\u22ef+ckvk:ci\u2208K,vi\u2208A,i\u2a7dk,k\u2208N}.{displaystyle mathrm {lin} ,A={big {}c_{1}mathbf {v} _{1}+dots +c_{k}mathbf {v} _{k}colon c_{i}in K,;mathbf {v} _{i}in A,ileqslant k,;kin mathbb {N} }.}Zbi\u00f3r linA{displaystyle mathrm {lin} ,A} jest podprzestrzeni\u0105 liniow\u0105 przestrzeni V;{displaystyle V;} jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrze\u0144 liniowa przestrzeni V,{displaystyle V,} kt\u00f3ra zawiera zbi\u00f3r A{displaystyle A}[2]. Zbi\u00f3r A{displaystyle A} nazywany jest zbiorem generuj\u0105cym albo zbiorem rozpinaj\u0105cym podprzestrze\u0144 linA,{displaystyle mathrm {lin} ,A,} a przestrze\u0144 linA{displaystyle mathrm {lin} ,A} podprzestrzeni\u0105 generowan\u0105 albo rozpi\u0119t\u0105 przez zbi\u00f3r A{displaystyle A} b\u0105d\u017a tak\u017ce otoczk\u0105 liniow\u0105 albo pow\u0142ok\u0105 liniow\u0105 zbioru A.{displaystyle A.}Je\u017celi zbi\u00f3r A{displaystyle A} generuje przestrze\u0144 V,{displaystyle V,} to nie musi by\u0107 on jej baz\u0105 \u2013 np. przestrze\u0144 V{displaystyle V} jest generowana przez sam\u0105 siebie. Dla zbioru A\u2260{0}{displaystyle Aneq {0}} generuj\u0105cego przestrze\u0144 V{displaystyle V} nast\u0119puj\u0105ce warunki s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cnezbi\u00f3r A{displaystyle A} jest baz\u0105 przestrzeni V,{displaystyle V,}zbi\u00f3r A{displaystyle A} jest liniowo niezale\u017cny,ka\u017cdy wektor przestrzeni V{displaystyle V} mo\u017cna przedstawi\u0107 w spos\u00f3b jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej element\u00f3w zbioru A{displaystyle A}[11].Przyk\u0142ady[edytuj | edytuj kod]Je\u017celi A{displaystyle A} i B{displaystyle B} s\u0105 podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V,{displaystyle V,} tolinA=A{displaystyle mathrm {lin} ,A=A} oraz lin(A\u222aB)=A+B.{displaystyle mathrm {lin} ,(Acup B)=A+B.}Podprzestrze\u0144 przestrzeni R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} generowana przez zbi\u00f3r {[1,3]}{displaystyle {[1,3]}} opisana jest w drugim z przyk\u0142ad\u00f3w.\u2191  Axler 1997 \u2193, s.\u00a013.\u2191 ab  Rutkowski 2006 \u2193, s.\u00a031.\u2191  Rutkowski 2006 \u2193, s.\u00a0233.\u2191  Axler 1997 \u2193, s.\u00a017.\u2191  Axler 1997 \u2193, s.\u00a014.\u2191  Roman 2005 \u2193, s.\u00a039\u201340.\u2191  Axler 1997 \u2193, s.\u00a033.\u2191 ab  Roman 2005 \u2193, s.\u00a050.\u2191  Axler 1997 \u2193, s.\u00a036.\u2191  Axler 1997 \u2193, s.\u00a034.\u2191  Roman 2005 \u2193, s.\u00a046.Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN\u00a083-01-14388-6.Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN\u00a0978-0-387-24766-3. (ang.)."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/04\/28\/podprzestrzen-liniowa-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#breadcrumbitem","name":"Podprzestrze\u0144 liniowa \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia"}}]}]