[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/07\/26\/wymiar-matematyka-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/07\/26\/wymiar-matematyka-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","headline":"Wymiar (matematyka) \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","name":"Wymiar (matematyka) \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","description":"Niekt\u00f3re z zamieszczonych tu informacji wymagaj\u0105 weryfikacji. Uwagi: zobacz dyskusja, nada\u0107 form\u0119 has\u0142a wikipedystycznego, uporz\u0105dkowa\u0107, opisa\u0107 poj\u0119cia przestrzeni sko\u0144czeniewymiarowej i","datePublished":"2016-07-26","dateModified":"2016-07-26","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/6\/64\/Question_book-4.svg\/50px-Question_book-4.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/6\/64\/Question_book-4.svg\/50px-Question_book-4.svg.png","height":"39","width":"50"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/07\/26\/wymiar-matematyka-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","wordCount":8730,"articleBody":"Niekt\u00f3re z zamieszczonych tu informacji wymagaj\u0105 weryfikacji.Uwagi: zobacz dyskusja, nada\u0107 form\u0119 has\u0142a wikipedystycznego, uporz\u0105dkowa\u0107, opisa\u0107 poj\u0119cia przestrzeni sko\u0144czeniewymiarowej i niesko\u0144czeniewymiarowej, gdy\u017c tu odnosz\u0105 wspomniane has\u0142a.Dok\u0142adniejsze informacje o tym, co nale\u017cy poprawi\u0107, by\u0107 mo\u017ce znajduj\u0105 si\u0119 w dyskusji tego artyku\u0142u. Po wyeliminowaniu niedoskona\u0142o\u015bci nale\u017cy usun\u0105\u0107 szablon {{Dopracowa\u0107}} z tego artyku\u0142u.Wymiar \u2013 minimalna liczba niezale\u017cnych parametr\u00f3w potrzebnych do opisania jakiego\u015b zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki spos\u00f3b, by punkt mia\u0142 w.=0, prosta w.=1, p\u0142aszczyzna w.=2 itd.[1]W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopad\u0142ych prostych, przechodz\u0105cych przez dany punkt.Poj\u0119cie wymiaru jest uog\u00f3lnieniem naturalnych intuicji, \u017ce prosta jest obiektem jedno-, p\u0142aszczyzna dwu-, a zwyk\u0142a przestrze\u0144 \u2013 tr\u00f3jwymiarowym. W zale\u017cno\u015bci od sposobu dokonywania uog\u00f3lnie\u0144 otrzymujemy r\u00f3\u017cne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza si\u0119 dla przestrzeni euklidesowych.W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} wynosi n;{displaystyle n;}w przestrzeni dwuwymiarowej do okre\u015blenia po\u0142o\u017cenia dowolnego punktu potrzebne s\u0105 dwie wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne np. p:=(20,30);{displaystyle p:=(20,30);} w uk\u0142adzie tr\u00f3jwymiarowym \u2013 trzy wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne, np. p:=(20,30,45).{displaystyle p:=(20,30,45).}Poniewa\u017c przestrze\u0144 R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} do\u015b\u0107 dobrze opisuje \u015bwiat bezpo\u015brednio dost\u0119pny naszym zmys\u0142om, mo\u017cna na co dzie\u0144 m\u00f3wi\u0107, \u017ce \u017cyjemy w przestrzeni tr\u00f3jwymiarowej.W przypadku przestrzeni nad cia\u0142em liczb zespolonych zachodzi naturalne uto\u017csamienie:Cn=R2\u22c5n.{displaystyle mathbb {C} ^{n}=mathbb {R} ^{2cdot n}.}Widzimy, \u017ce przestrze\u0144, o wymiarze liniowym zespolonym n,{displaystyle n,} ma wymiar rzeczywisty 2\u22c5n.{displaystyle 2cdot n.} Dla przyk\u0142adu, 4-wymiarowa przestrze\u0144 euklidesowa mo\u017ce by\u0107 traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a p\u0142aszczyzna euklidesowa (czyli przestrze\u0144 2-wymiarowa nad cia\u0142em liczb rzeczywistych) mo\u017ce by\u0107 traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrze\u0144 1-wymiarowa nad cia\u0142em liczb zespolonych).Wyst\u0119puj\u0105ca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrze\u0144 Hilberta jest przestrzeni\u0105 liniow\u0105, wi\u0119c stosuje si\u0119 do niej og\u00f3lne poj\u0119cie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontek\u015bcie przestrzeni Hilberta nigdy si\u0119 nie u\u017cywa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najwa\u017cniejsze niesko\u0144czenie wymiarowe przestrzenie liniowe maj\u0105 ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Wi\u0119c taki wymiar jest w ich przypadku na og\u00f3\u0142 bez znaczenia.Gdy w matematyce m\u00f3wimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na my\u015bli najmniejsz\u0105 moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopad\u0142ych element\u00f3w tej przestrzeni. Na przyk\u0142ad wymiar Hilberta o\u015brodkowej przestrzeni Hilberta jest albo sko\u0144czony albo \u21350.{displaystyle aleph _{0}.}Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest sko\u0144czony, pokrywa si\u0119 z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest r\u00f3wny \u21350,{displaystyle aleph _{0},} to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.Zobacz: przestrze\u0144 HilbertaMa\u0142y wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)[edytuj | edytuj kod]Definicja[edytuj | edytuj kod]Niech X{displaystyle X} b\u0119dzie przestrzeni\u0105 regularn\u0105.Ma\u0142y wymiar indukcyjny przestrzeni X{displaystyle X} oznaczany symbolem indX.{displaystyle mathrm {ind} X.} Ma\u0142y wymiar indukcyjny jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 nie mniejsz\u0105 od \u22121 lub niesko\u0144czono\u015bci\u0105. Okre\u015bla si\u0119 go za pomoc\u0105 indukcyjnej definicji, wyra\u017conej w poni\u017cszych czterech warunkach:(MU1) indX=\u22121\u27faX=\u2205{displaystyle mathrm {ind} X=-1iff X=varnothing }(MU2) indX\u2a7dn{displaystyle mathrm {ind} Xleqslant n} (dla n\u2a7e0{displaystyle ngeqslant 0}), je\u015bli dla ka\u017cdego punktu x\u2208X{displaystyle xin X} oraz jego dowolnego otoczenia V\u2286X{displaystyle Vsubseteq X} istnieje zbi\u00f3r otwarty U\u2286X{displaystyle Usubseteq X} taki, \u017ce x\u2208U\u2286V{displaystyle xin Usubseteq V} oraz ind\u2202U\u2a7dn\u22121{displaystyle mathrm {ind} ,partial Uleqslant n-1}(MU3) indX=n,{displaystyle mathrm {ind} X=n,} gdy indX\u2a7dn{displaystyle mathrm {ind} Xleqslant n} oraz nie zachodzi indX\u2a7dn\u22121{displaystyle mathrm {ind} Xleqslant n-1}(MU4) indX=\u221e,{displaystyle mathrm {ind} X=infty ,} gdy dla \u017cadnego n=\u22121,0,1,\u2026{displaystyle n=-1,0,1,dots } nie jest prawd\u0105, \u017ce indX\u2a7dn.{displaystyle mathrm {ind} Xleqslant n.}Uwaga: Od zbioru U{displaystyle U} mo\u017cna w warunku (MU2) wymaga\u0107, by jego domkni\u0119cie by\u0142o zawarte w zbiorze V{displaystyle V} (definicja pozostanie r\u00f3wnowa\u017cna).Historia[edytuj | edytuj kod]Ma\u0142y wymiar indukcyjny zosta\u0142 zdefiniowany niezale\u017cnie przez Paw\u0142a Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.Du\u017cy wymiar indukcyjny Borela-\u010cecha (topologia)[edytuj | edytuj kod]Otrzymuje si\u0119 go przez zast\u0105pienie w definicji ma\u0142ego wymiaru indukcyjnego punktu przez zbi\u00f3r domkni\u0119ty:Definicja[edytuj | edytuj kod]Niech X{displaystyle X} b\u0119dzie przestrzeni\u0105 normaln\u0105. Du\u017cy wymiar indukcyjny przestrzeni X{displaystyle X} oznaczany symbolem IndX{displaystyle mathrm {Ind} X} Du\u017cy wymiar indukcyjny jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 nie mniejsz\u0105 od \u22121 lub niesko\u0144czono\u015bci\u0105. Okre\u015blony jest za pomoc\u0105 indukcyjnej definicji, wyra\u017conej w poni\u017cszych czterech warunkach:(DU1) IndX=\u22121\u27faX=\u2205{displaystyle mathrm {Ind} X=-1iff X=varnothing }(DU2) IndX\u2a7dn{displaystyle mathrm {Ind} Xleqslant n} (dla n\u2a7e0{displaystyle ngeqslant 0}), je\u015bli dla ka\u017cdego zbioru domkni\u0119tego F\u2286X{displaystyle Fsubseteq X} oraz jego dowolnego otoczenia V\u2286X{displaystyle Vsubseteq X} istnieje zbi\u00f3r otwarty U\u2286X{displaystyle Usubseteq X} taki, \u017ce F\u2286U\u2286V{displaystyle Fsubseteq Usubseteq V} oraz Ind\u2202U\u2a7dn\u22121.{displaystyle mathrm {Ind} ,partial Uleqslant n-1.}(DU3) IndX=n,{displaystyle mathrm {Ind} X=n,} gdy IndX\u2a7dn{displaystyle mathrm {Ind} Xleqslant n} oraz nie zachodzi IndX\u2a7dn\u22121{displaystyle mathrm {Ind} Xleqslant n-1}(DU4) IndX=\u221e,{displaystyle mathrm {Ind} X=infty ,} gdy dla \u017cadnego n=\u22121,0,1,\u2026{displaystyle n=-1,0,1,dots } nie jest prawd\u0105, \u017ce IndX\u2a7dn.{displaystyle mathrm {Ind} Xleqslant n.}Uwaga: Od zbioru U{displaystyle U} mo\u017cna w warunku (DU2) wymaga\u0107, by jego domkni\u0119cie by\u0142o zawarte w zbiorze V.{displaystyle V.}Dowolnej przestrzeni normalnej X{displaystyle X} mo\u017cna przypisa\u0107 wymiar pokryciowy \u010cecha-Lebegue\u2019a, kt\u00f3ry b\u0119dziemy oznacza\u0107 dim\u2061X.{displaystyle dim X.} Wymiar dim\u2061X{displaystyle dim X} jest liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105 nie mniejsz\u0105 ni\u017c \u22121 lub jest niesko\u0144czony. Wymiar definiuj\u0105 nast\u0119puj\u0105ce warunki:(CL1)dim\u2061X\u2a7dn,{displaystyle dim Xleqslant n,} je\u015bli w ka\u017cde sko\u0144czone pokrycie otwarte przestrzeni X{displaystyle X} mo\u017cna wpisa\u0107 sko\u0144czone pokrycie otwarte takie, \u017ce ka\u017cde n+2{displaystyle n+2} zbiory tego pokrycia maj\u0105 puste przeci\u0119cie.(CL2)dim\u2061X=n,{displaystyle dim X=n,} je\u015bli dim\u2061X\u2a7dn,{displaystyle dim Xleqslant n,} ale nieprawda, \u017ce dim\u2061X\u2a7dn\u22121.{displaystyle dim Xleqslant n-1.}(CL3)dim\u2061X=\u221e,{displaystyle dim X=infty ,} je\u015bli dla \u017cadnej liczby n{displaystyle n} nie zachodzi warunek (CL1).Zauwa\u017cmy, \u017ce ci\u0119\u017car definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozosta\u0142e maj\u0105 charakter porz\u0105dkuj\u0105cy.Historia poj\u0119cia[edytuj | edytuj kod]Wymiar pokryciowy zosta\u0142 zdefiniowany i zbadany przez Eduarda \u010cecha w pracy z 1933. Poj\u0119cie nawi\u0105zuje do odkrytej przez Lebesgue\u2019a w\u0142asno\u015bci kostki n-wymiarowej.IntuicjaZauwa\u017cmy (a pierwszy uczyni\u0142 to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze n{displaystyle n}), \u017ce mo\u017cemy pokry\u0107 odcinek jednostkowy I rodzin\u0105 odcink\u00f3w o dowolnie ma\u0142ej (z g\u00f3ry zadanej) d\u0142ugo\u015bci, w taki spos\u00f3b, \u017ce ka\u017cda tr\u00f3jka odcink\u00f3w ma puste przeci\u0119cie. Nie da si\u0119 jednak tego uczyni\u0107 tak, by ka\u017cda para by\u0142a roz\u0142\u0105czna.Z kolei kwadrat zawsze mo\u017cemy pokry\u0107 prostok\u0105tami o dowolnie kr\u00f3tkim (znowu z g\u00f3ry zadanym) d\u0142u\u017cszym boku, w taki spos\u00f3b, \u017ce dowolnie wybrane cztery prostok\u0105ty nie przecinaj\u0105 si\u0119. Ale nie mo\u017cemy pokry\u0107 go prostok\u0105tami w taki spos\u00f3b, \u017ceby \u017cadna z tr\u00f3jek prostok\u0105t\u00f3w nie mia\u0142a cz\u0119\u015bci wsp\u00f3lnej.Wreszcie, mo\u017cemy sze\u015bcian wype\u0142ni\u0107 sko\u0144czon\u0105 rodzin\u0105 dowolnie ma\u0142ych prostopod\u0142o\u015bcian\u00f3w (wyobra\u017amy sobie stert\u0119 cegie\u0142) w taki spos\u00f3b, \u017ce ka\u017cde pi\u0119\u0107 b\u0119dzie mia\u0142o pust\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 wsp\u00f3ln\u0105. Ale musi istnie\u0107 taka czw\u00f3rka prostopad\u0142o\u015bcian\u00f3w, kt\u00f3ra ma niepuste przeci\u0119cie (w wyobra\u017conym obrazie sterty cegie\u0142 \u2013 ka\u017cda ceg\u0142a musi mie\u0107 punkt w kt\u00f3rym styka si\u0119 z trzema innymi ceg\u0142ami).Dodajemy teraz, \u017ce Lebesgue poda\u0142 dowody powy\u017cszych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokry\u0107 kostkami odpowiedniego wymiaru (\u201ecegie\u0142kami\u201d), ale dla pokry\u0107 dowolnymi zbiorami otwartymi. Twierdzenie to leg\u0142o u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego \u010cecha-Lebesgue\u2019a.Wymiar rozmaito\u015bci topologicznej[edytuj | edytuj kod]Na mocy definicji, rozmaito\u015b\u0107 topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewn\u0105 przestrzeni\u0105 Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n}.} Wtedy n{displaystyle n} jest wymiarem topologicznym rozmaito\u015bci.Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]Istnieje wi\u0119cej ni\u017c jedno poj\u0119cie \u201ewymiaru fraktalnego\u201d. Najcz\u0119\u015bciej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane s\u0105 te\u017c inne definicje. Do najwa\u017cniejszych mo\u017cna zaliczy\u0107 wymiar pude\u0142kowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).R\u00f3wnowa\u017cno\u015b\u0107 definicji wymiaru[edytuj | edytuj kod]Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru: ind,Ind,dim,{displaystyle mathrm {ind} ,mathrm {Ind} ,dim ,} s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne dla wszystkich o\u015brodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto dim{displaystyle dim } oraz Ind{displaystyle mathrm {Ind} } s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy ind,Ind{displaystyle mathrm {ind} ,mathrm {Ind} } s\u0105 r\u00f3wnowa\u017cne dla przestrzeni zwartych. Przyk\u0142ady pokazuj\u0105, \u017ce og\u00f3lnie trzy klasyczne funkcje wymiaru s\u0105 r\u00f3\u017cne.Przyk\u0142ady:P\u0142aszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrze\u0144 liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest p\u0142aszczyzn\u0105, zatem ma\u0142y i du\u017cy wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (wzgl\u0119dem zwyk\u0142ej metryki euklidesowej) p\u0142aszczyzny zespolonej jest r\u00f3wny 2. Wymiar topologiczny tr\u00f3jk\u0105ta Sierpi\u0144skiego jest r\u00f3wny 1 (zbi\u00f3r daje si\u0119 rozci\u0105\u0107 pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosilog\u20613log\u20612\u22481,58.{displaystyle {frac {log 3}{log 2}}approx 1{,}58.}"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2016\/07\/26\/wymiar-matematyka-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#breadcrumbitem","name":"Wymiar (matematyka) \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia"}}]}]