Minor – Wikipedia, wolna encyklopedia

Ten artykuł dotyczy wyznacznika macierzy. Zobacz też: Minor – jednostka osadnicza w USA, Minor – osada w Rosji.

Ten artykuł od 2019-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn^[1]. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Niech dana będzie macierz

A=[134203117134]{displaystyle A={begin{bmatrix}1&3&4&2\0&3&1&1\7&1&3&4end{bmatrix}}}

typu

3×4{displaystyle 3times 4}

nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru

I={1,3}{displaystyle I={1,3}}

oraz kolumn o indeksach ze zbioru

J={1,4}{displaystyle J={1,4}}

otrzymuje się minor równy

|1◻◻2◻◻◻◻7◻◻4|=|1274|=1⋅4−2⋅7=4−14=−10.{displaystyle {begin{vmatrix}1&Box &Box &2\Box &Box &Box &Box \7&Box &Box &4end{vmatrix}}={begin{vmatrix}1&2\7&4end{vmatrix}}=1cdot 4-2cdot 7=4-14=-10.}

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ

I≠J.{displaystyle Ineq J.}

Minorem głównym macierzy

A{displaystyle A}

jest na przykład minor

|3113|=8{displaystyle {begin{vmatrix}3&1\1&3end{vmatrix}}=8}

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach

2{displaystyle 2}

oraz

3.{displaystyle 3.}

Wiodącymi minorami głównymi macierzy

A{displaystyle A}

są (w rosnącym porządku stopni):

|1|=1,|1303|=3,|134031713|=−55.{displaystyle {begin{vmatrix}1end{vmatrix}}=1,quad {begin{vmatrix}1&3\0&3end{vmatrix}}=3,quad {begin{vmatrix}1&3&4\0&3&1\7&1&3end{vmatrix}}=-55.}

Dla danej macierzy

A{displaystyle A}

typu

m×n{displaystyle mtimes n}

minorem stopnia

k,{displaystyle k,}

gdzie

k⩽min(m,n){displaystyle kleqslant min(m,n)}

nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia

k{displaystyle k}

otrzymanej z macierzy

A{displaystyle A}

poprzez wykreślenie

m−k{displaystyle m-k}

wierszy i

n−k{displaystyle n-k}

kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów

I{displaystyle I}

wierszy o długości

k{displaystyle k}

oraz podciągu indeksów

J{displaystyle J}

kolumn o długości

k{displaystyle k}

z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego

{1,…,m}×{1,…,n}.{displaystyle {1,dots ,m}times {1,dots ,n}.}

Tak wybrany zbiór indeksów

I={i1,…,ik}×{j1,…,jk}{displaystyle I={i_{1},dots ,i_{k}}times {j_{1},dots ,j_{k}}}

służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy

A(I×J).{displaystyle A(Itimes J).}

Jeżeli

I=J{displaystyle I=J}

mają po

k{displaystyle k}

elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich

k{displaystyle k}

w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia

k.{displaystyle k.}

Minor główny stopnia

k,{displaystyle k,}

z którego wykreślono ostatnie

m−k{displaystyle m-k}

wierszy i

n−k{displaystyle n-k}

kolumn, a więc tak, by

I=J={1,2,…,k},{displaystyle I=J={1,2,dots ,k},}

nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia

k.{displaystyle k.}

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się:

(Ai),{displaystyle (A_{i}),}

(Aa),{displaystyle (A^{a}),}

(AiAj)=−(AjAi),{displaystyle (A_{i}A_{j})=-(A_{j}A_{i}),}

(AaAb)=−(AbAa),{displaystyle (A^{a}A^{b})=-(A^{b}A^{a}),}

(AiAjAk),{displaystyle (A_{i}A_{j}A_{k}),}

(AaAbAc),{displaystyle (A^{a}A^{b}A^{c}),}

itd., gdzie

(Ai){displaystyle (A_{i})}

są kolumnami,

(Aa){displaystyle (A^{a})}

wierszami macierzy

(Aia),{displaystyle (A_{i}^{a}),}

a

(AiAj){displaystyle (A_{i}A_{j})}

jest iloczynem mieszanym.

• Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie
  1,1.{displaystyle 1,1.}
  
• Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu
  r>0{displaystyle r>0}
  r,{displaystyle r,}
  zaś każdy minor stopnia wyższego od r{displaystyle r}
  tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
• Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna)
  A{displaystyle A}
  jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
• Dla danej macierzy
  m×n{displaystyle mtimes n}
  można wybrać (nk)(mk){displaystyle {tbinom {n}{k}}{tbinom {m}{k}}}
  minorów stopnia k{displaystyle k}
  (gdzie (⋅⋅){displaystyle {tbinom {cdot }{cdot }}}
  oznacza symbol Newtona).
• Macierz typu
  m×n{displaystyle mtimes n}
  ma min(m,n){displaystyle min(m,n)}
  wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia n{displaystyle n}
  ma ich dokładnie n.{displaystyle n.}