Pojęcie pierwotne – Wikipedia, wolna encyklopedia

Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Terminem pojęcia pierwotnego określa się pojęcia, które uznawane są za fundamentalne, a zarazem trudne do opisania językiem teorii^[1]. Pojęć tych nie definiuje się lub definiuje co najwyżej podając definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

W oparciu o pojęcia pierwotne oraz pojęcia określone wcześniej, definiuje się inne pojęcia matematyczne. Każde pojęcie niebędące pojęciem pierwotnym wymaga podania odrębnej definicji^[1].

Punkt widzenia współczesnej logiki matematycznej[edytuj | edytuj kod]

Ta sekcja od 2013-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w sekcji mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

Termin „pojęcie pierwotne” był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle). Spowodowane to jest faktem, że w ujęciu formalnym każdemu z potencjalnych pojęć pierwotnych odpowiada element pewnego alfabetu

τ{displaystyle tau }

(tzn. zbioru symboli relacyjnych, symboli funkcyjnych, symboli dla stałych itp). Zamiast mówić, że pojęciami pierwotnymi naszej teorii

T{displaystyle T}

są…, stwierdzamy, iż

T{displaystyle T}

jest teorią w języku

L(τ){displaystyle {mathcal {L}}(tau )}

. Na przykład o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu

L(∈).{displaystyle {mathcal {L}}(in ).}

W starym podejściu powiedzielibyśmy, że

∈{displaystyle in }

jest pojęciem pierwotnym. (Zwróćmy uwagę, że w ZFC każdy obiekt jest zbiorem, więc w alfabecie tej teorii nie ma specjalnego predykatu na

x{displaystyle x}

jest zbiorem.)

Warto zauważyć, że czasami jest wygodnie użyć terminu pojęcie pierwotne, szczególnie gdy używamy logik wielosortowych albo gdy rozważana teoria jest związana w pewnym sensie z inną powszechnie znaną. I tak:

• Możemy formalizować geometrię euklidesową na gruncie logiki dwusortowej i zamiast mówić, iż mamy dwa rodzaje obiektów, możemy stwierdzić, że mamy dwa pojęcia pierwotne (punkty i proste).
• Wprowadzając teorię mnogości Morse’a-Kelleya, możemy stwierdzić, że pojęcia pierwotne tej teorii to relacja należenia i klasa, podkreślając tym samym, że zbiory są tutaj obiektami wtórnymi (tzn. zdefiniowanymi). Ale, podobnie jak ZFC, jest to teoria w języku
  L(∈).{displaystyle {mathcal {L}}(in ).}
  

W kontekście logiki matematycznej należy zwrócić uwagę, że gdy podajemy modele danej teorii, to interpretujemy wszystkie symbole z alfabetu danej teorii, czyli w pewnym sensie określamy je. Absolutnie nie powinno to być rozumiane jako definiowanie pojęć pierwotnych, jest to całkowicie inna procedura. Ma ona zwykle na celu albo praktyczne wyjaśnienie pojęć (jak np. w geometrii) albo dowód niesprzeczności teorii.

Warto też zauważyć, że pojęcia pierwotne w ramach jednej teorii mogą być pojęciami definiowalnymi w innej (na innym poziomie logicznym). Na przykład prosta jest pojęciem pierwotnym w geometrii euklidesowej, ale w geometrii analitycznej jest ona definiowana jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Podobnie w teorii liczb uważamy liczby za pojęcia pierwotne, ale w teorii mnogości liczby definiuje się za pomocą zbiorów (ogólnie taka jest też „ostateczna” definicja liczby).