Dzielnik – Wikipedia, wolna encyklopedia
Dzielnik – liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą[1]. W matematyce elementarnej dzielnikiem liczby
x{displaystyle x}nazywa się dowolną liczbę, przez którą liczba
x{displaystyle x}
się dzieli. W notacji matematycznej stwierdzenie „
m{displaystyle m}jest dzielnikiem
n{displaystyle n}
” zapisuje się jako
m∣n{displaystyle mmid n}
[2].
Niech
będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Liczba
b{displaystyle b}
jest dzielnikiem liczby
a,{displaystyle a,}
jeżeli istnieje taka liczba
c,{displaystyle c,}
że spełnione jest równanie
- a=bc.{displaystyle a=bc.}
Mówi się wtedy, że
b{displaystyle b}dzieli
a{displaystyle a}bądź
a{displaystyle a}
jest podzielne przez
b{displaystyle b}i zaznacza się symbolicznie
b|a.{displaystyle b|a.}Liczbę
a{displaystyle a}
nazywa się z kolei wielokrotnością liczby
b.{displaystyle b.}
Nazwa dzielnik ma swoją motywację w operacji dzielenia arytmetycznego: jeżeli
- a:b=c,{displaystyle a:b=c,}
to
a{displaystyle a}nazywa się dzielną,
b{displaystyle b}– dzielnikiem, a
c{displaystyle c}– ilorazem.
Własności i dalsze definicje[edytuj | edytuj kod]
Prawdziwe są następujące reguły:
- Jeżeli
a∣b{displaystyle amid b} i a∣c,{displaystyle amid c,} to a∣(b+c).{displaystyle amid (b+c).} Więcej, a∣(mb+nc){displaystyle amid (mb+nc)} dla dowolnych liczb całkowitych m{displaystyle m} oraz n.{displaystyle n.} - Jeżeli
a∣b{displaystyle amid b} i b∣c,{displaystyle bmid c,} to a∣c,{displaystyle amid c,} co oznacza, że podzielność jest przechodnia. - Jeżeli
a∣b{displaystyle amid b} i b∣a,{displaystyle bmid a,} to a=b{displaystyle a=b} lub a=−b.{displaystyle a=-b.}
Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba zero, ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku (patrz: Dzielenie przez zero). Dzielniki
1,−1,n,−n{displaystyle 1,;-1,;n,;-n}liczby
n{displaystyle n}
nazywa się dzielnikami trywialnymi, wszystkie pozostałe nazywa się z kolei nietrywialnymi; liczby mające dzielniki nietrywialne nazywa się liczbami złożonymi, zaś te, które nie mają nietrywialnych dzielników nazywa się liczbami pierwszymi. Dzielnikiem właściwym liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny.
Podwielokrotnością liczby
n{displaystyle n}nazywa się każdą taką liczbę
a,{displaystyle a,}dla której
n:a{displaystyle n:a}jest liczbą naturalną, w ten sposób
n{displaystyle n}
jest wielokrotnością
a.{displaystyle a.}W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.
Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:
- iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się
b≠0{displaystyle bneq 0} (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero. - dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek
b>0,{displaystyle b>0,} τ{displaystyle tau } (zob. funkcja τ; stosuje się również oznaczenia σ0{displaystyle sigma _{0}} oraz d{displaystyle d} ), z kolei suma dzielników danej liczby wyznaczona jest za pomocą funkcji σ{displaystyle sigma } (zob. funkcja σ).Liczba
3{displaystyle 3}dzieli liczbę
18,{displaystyle 18,}ponieważ
18=3⋅6.{displaystyle 18=3cdot 6.}Dzielniki liczby
10{displaystyle 10}należą do zbioru
{−10,−5,−2,−1,1,2,5,10},{displaystyle {-10,-5,-2,-1,1,2,5,10},}przy czym
−10,−1,1,10{displaystyle -10,-1,1,10}są dzielnikami trywialnymi, zaś
−5,−2,2,5{displaystyle -5,-2,2,5}są nietrywialne. Liczba
10{displaystyle 10}ma cztery dzielniki dodatnie, zatem
τ(10)=4;{displaystyle tau (10)=4;}ich suma wynosi
18,{displaystyle 18,}dlatego
σ(10)=18.{displaystyle sigma (10)=18.}Definicję można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli
x|y{displaystyle x|y}i
y|x,{displaystyle y|x,}to elementy
x{displaystyle x}oraz
y{displaystyle y}nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem
- x∼y⟺x|y∧y|x{displaystyle xsim yiff x|yland y|x}
jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:
- x∼y⟺x=cy,{displaystyle xsim yiff x=cy,}
gdzie
c{displaystyle c}jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli
x|y,{displaystyle x|y,}to dla dowolnej liczby
w{displaystyle w}takiej, że
w∼x{displaystyle wsim x}zachodzi również
w|y.{displaystyle w|y.}Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie
1{displaystyle 1}oraz
−1{displaystyle -1}). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.
Największy dzielnik elementu
x,{displaystyle x,}który jest równocześnie dzielnikiem
y{displaystyle y}nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.
Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych
0{displaystyle 0}jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).
Recent Comments