[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/09\/28\/dzielnik-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/09\/28\/dzielnik-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","headline":"Dzielnik \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","name":"Dzielnik \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","description":"Dzielnik \u2013 liczba ca\u0142kowita, kt\u00f3ra dzieli bez reszty dan\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105[1]. W matematyce elementarnej dzielnikiem liczby x{displaystyle x} nazywa si\u0119","datePublished":"2021-09-28","dateModified":"2021-09-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/09\/28\/dzielnik-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","wordCount":7541,"articleBody":"Dzielnik \u2013 liczba ca\u0142kowita, kt\u00f3ra dzieli bez reszty dan\u0105 liczb\u0119 ca\u0142kowit\u0105[1]. W matematyce elementarnej dzielnikiem liczby x{displaystyle x}   nazywa si\u0119 dowoln\u0105 liczb\u0119, przez kt\u00f3r\u0105 liczba x{displaystyle x} si\u0119 dzieli. W notacji matematycznej stwierdzenie \u201em{displaystyle m} jest dzielnikiem   n{displaystyle n}\u201d zapisuje si\u0119 jako m\u2223n{displaystyle mmid n}[2].Niech   a,b,c{displaystyle a,b,c} b\u0119d\u0105 niezerowymi liczbami ca\u0142kowitymi. Liczba b{displaystyle b} jest dzielnikiem liczby a,{displaystyle a,} je\u017celi istnieje taka liczba c,{displaystyle c,} \u017ce spe\u0142nione jest r\u00f3wnaniea=bc.{displaystyle a=bc.}M\u00f3wi si\u0119 wtedy, \u017ce b{displaystyle b} dzieli a{displaystyle a} b\u0105d\u017a a{displaystyle a} jest podzielne przez b{displaystyle b} i zaznacza si\u0119 symbolicznie b|a.{displaystyle b|a.} Liczb\u0119 a{displaystyle a} nazywa si\u0119 z kolei wielokrotno\u015bci\u0105 liczby b.{displaystyle b.}Nazwa dzielnik ma swoj\u0105 motywacj\u0119 w operacji dzielenia arytmetycznego: je\u017celia:b=c,{displaystyle a:b=c,}to a{displaystyle a} nazywa si\u0119 dzieln\u0105, b{displaystyle b} \u2013 dzielnikiem, a c{displaystyle c} \u2013 ilorazem.W\u0142asno\u015bci i dalsze definicje[edytuj | edytuj kod]Prawdziwe s\u0105 nast\u0119puj\u0105ce regu\u0142y:Je\u017celi a\u2223b{displaystyle amid b} i a\u2223c,{displaystyle amid c,} to a\u2223(b+c).{displaystyle amid (b+c).} Wi\u0119cej, a\u2223(mb+nc){displaystyle amid (mb+nc)} dla dowolnych liczb ca\u0142kowitych m{displaystyle m} oraz n.{displaystyle n.}Je\u017celi a\u2223b{displaystyle amid b} i b\u2223c,{displaystyle bmid c,} to a\u2223c,{displaystyle amid c,} co oznacza, \u017ce podzielno\u015b\u0107 jest przechodnia.Je\u017celi a\u2223b{displaystyle amid b} i b\u2223a,{displaystyle bmid a,} to a=b{displaystyle a=b} lub a=\u2212b.{displaystyle a=-b.}Ka\u017cda liczba ca\u0142kowita dzieli si\u0119 przez sam\u0105 siebie, liczb\u0119 do niej przeciwn\u0105, jedynk\u0119 i minus jedynk\u0119. Swoisty wyj\u0105tek stanowi tutaj liczba zero, poniewa\u017c dzielenie jej przez ni\u0105 sam\u0105 oraz liczb\u0119 do niej przeciwn\u0105 (czyli w obu przypadkach przez zero) zosta\u0142o uznane przez matematyk\u00f3w za dzia\u0142anie o nieoznaczonym wyniku (patrz: Dzielenie przez zero). Dzielniki 1,\u22121,n,\u2212n{displaystyle 1,;-1,;n,;-n} liczby n{displaystyle n} nazywa si\u0119 dzielnikami trywialnymi, wszystkie pozosta\u0142e nazywa si\u0119 z kolei nietrywialnymi; liczby maj\u0105ce dzielniki nietrywialne nazywa si\u0119 liczbami z\u0142o\u017conymi, za\u015b te, kt\u00f3re nie maj\u0105 nietrywialnych dzielnik\u00f3w nazywa si\u0119 liczbami pierwszymi. Dzielnikiem w\u0142a\u015bciwym liczby nazywa si\u0119 ka\u017cdy jej dodatni dzielnik, kt\u00f3ry jest od niej r\u00f3\u017cny.Podwielokrotno\u015bci\u0105 liczby n{displaystyle n} nazywa si\u0119 ka\u017cd\u0105 tak\u0105 liczb\u0119 a,{displaystyle a,} dla kt\u00f3rej n:a{displaystyle n:a} jest liczb\u0105 naturaln\u0105, w ten spos\u00f3b n{displaystyle n} jest wielokrotno\u015bci\u0105 a.{displaystyle a.} W przeciwie\u0144stwie do podwielokrotno\u015bci, od dzielnika wymaga si\u0119 zwykle, by by\u0142 on liczb\u0105 naturaln\u0105.Og\u00f3lnie definicj\u0119 precyzuje si\u0119 niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:iloraz powinien by\u0107 okre\u015blony jednoznacznie (czego wymaga si\u0119 zwykle w teorii pier\u015bcieni), z tego powodu przyjmuje si\u0119 b\u22600{displaystyle bneq 0} (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotno\u015bci b\u0119d\u0105cej liczb\u0105 ca\u0142kowit\u0105. W ten spos\u00f3b w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawd\u0105 w pier\u015bcieniu bez dzielnik\u00f3w zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.dla uproszczenia rozwa\u017ca si\u0119 niekiedy wy\u0142\u0105cznie dzielniki dodatnie, dodaje si\u0119 wtedy warunek 0,”\/> dzi\u0119ki czemu mo\u017cna przyk\u0142adowo za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce liczba pierwsza jest liczb\u0105 o dok\u0142adnie dw\u00f3ch dzielnikach (zob. uog\u00f3lnienia).Liczb\u0119 wszystkich dzielnik\u00f3w dodatnich liczby okre\u015bla funkcja \u03c4{displaystyle tau } (zob. funkcja \u03c4; stosuje si\u0119 r\u00f3wnie\u017c oznaczenia \u03c30{displaystyle sigma _{0}} oraz d{displaystyle d}), z kolei suma dzielnik\u00f3w danej liczby wyznaczona jest za pomoc\u0105 funkcji \u03c3{displaystyle sigma } (zob. funkcja \u03c3).Liczba 3{displaystyle 3} dzieli liczb\u0119 18,{displaystyle 18,} poniewa\u017c 18=3\u22c56.{displaystyle 18=3cdot 6.}Dzielniki liczby 10{displaystyle 10} nale\u017c\u0105 do zbioru {\u221210,\u22125,\u22122,\u22121,1,2,5,10},{displaystyle {-10,-5,-2,-1,1,2,5,10},} przy czym \u221210,\u22121,1,10{displaystyle -10,-1,1,10} s\u0105 dzielnikami trywialnymi, za\u015b \u22125,\u22122,2,5{displaystyle -5,-2,2,5} s\u0105 nietrywialne. Liczba 10{displaystyle 10} ma cztery dzielniki dodatnie, zatem \u03c4(10)=4;{displaystyle tau (10)=4;} ich suma wynosi 18,{displaystyle 18,} dlatego \u03c3(10)=18.{displaystyle sigma (10)=18.}Definicj\u0119 mo\u017cna rozszerzy\u0107 na dziedziny ca\u0142kowito\u015bci; dzia\u0142 teorii pier\u015bcieni zajmuj\u0105cy si\u0119 badaniem podzielno\u015bci w pier\u015bcieniach nazywa si\u0119 teori\u0105 podzielno\u015bci. Je\u017celi x|y{displaystyle x|y} i y|x,{displaystyle y|x,} to elementy x{displaystyle x} oraz y{displaystyle y} nazywa si\u0119 stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzoremx\u223cy\u27fax|y\u2227y|x{displaystyle xsim yiff x|yland y|x}jest relacj\u0105 r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci. Mo\u017cna to wyrazi\u0107 r\u00f3wnie\u017c nast\u0119puj\u0105co:x\u223cy\u27fax=cy,{displaystyle xsim yiff x=cy,}gdzie c{displaystyle c} jest elementem odwracalnym (jedno\u015bci\u0105; w istocie s\u0105 to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone \u201er\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119\u201d o czynnik odwracalny. Jest to r\u00f3wnowa\u017cne stwierdzeniu, i\u017c je\u017celi x|y,{displaystyle x|y,} to dla dowolnej liczby w{displaystyle w} takiej, \u017ce w\u223cx{displaystyle wsim x} zachodzi r\u00f3wnie\u017c w|y.{displaystyle w|y.} Jest to pow\u00f3d dla kt\u00f3rego wyr\u00f3\u017cnia si\u0119 tradycyjnie w zbiorze dzielnik\u00f3w pewne elementy (np. liczby dodatnie w\u015br\u00f3d liczb ca\u0142kowitych): wtedy jeden z dzielnik\u00f3w reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach ca\u0142kowitych odwracalne s\u0105 wy\u0142\u0105cznie 1{displaystyle 1} oraz \u22121{displaystyle -1}). W ten spos\u00f3b dzielniki w\u0142a\u015bciwe mo\u017cna opisa\u0107 jako dzielniki, kt\u00f3re nie stowarzyszone z dan\u0105 liczb\u0105 i nieb\u0119d\u0105ce przy tym jedno\u015bciami. Dzielniki nierozk\u0142adalne to dzielniki nieb\u0119d\u0105ce jedno\u015bci\u0105, kt\u00f3ry nie ma dzielnik\u00f3w w\u0142a\u015bciwych.Najwi\u0119kszy dzielnik elementu x,{displaystyle x,} kt\u00f3ry jest r\u00f3wnocze\u015bnie dzielnikiem y{displaystyle y} nazywa si\u0119 najwi\u0119kszym wsp\u00f3lnym dzielnikiem tych element\u00f3w, przy czym jest on okre\u015blony z dok\u0142adno\u015bci\u0105 do stowarzyszenia.Relacj\u0119 podzielno\u015bci mo\u017cna zdefiniowa\u0107 w dowolnej p\u00f3\u0142grupie. Je\u017celi ma ona element zerowy, to ka\u017cdy element jest dzielnikiem zera (w szczeg\u00f3lno\u015bci w liczbach ca\u0142kowitych 0{displaystyle 0} jest wielokrotno\u015bci\u0105 dowolnej liczby i ka\u017cda liczba jest jej dzielnikiem)."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/09\/28\/dzielnik-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#breadcrumbitem","name":"Dzielnik \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia"}}]}]