Operator sprzężony (przestrzenie Hilberta) – Wikipedia, wolna encyklopedia
Operator sprzężony (sprzężenie hermitowskie operatora) – operator definiowany w teorii przestrzeni Hilberta następująco:
Jeżeli
H1,H2{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2}}są przestrzeniami Hilberta oraz
T{displaystyle T}
jest operatorem liniowym i ograniczonym, takim że
- T:H1→H2,{displaystyle Tcolon {mathcal {H}}_{1}to {mathcal {H}}_{2},}
to operatorem sprzężonym nazywa się operator liniowy
- T∗:H2→H1{displaystyle T^{*}colon {mathcal {H}}_{2}to {mathcal {H}}_{1}}
taki, że
- ⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩,{displaystyle langle Tx,yrangle =langle x,T^{*}yrangle ,}
gdzie
x∈H1,y∈H2,{displaystyle xin {mathcal {H}}_{1},yin {mathcal {H}}_{2},}zaś
⟨…⟩{displaystyle langle dots rangle }
oznacza iloczyn skalarny określony odpowiednio w przestrzeniach
H1{displaystyle {mathcal {H}}_{1}}
oraz
H2.{displaystyle {mathcal {H}}_{2}.}
Powyższa definicja wypowiedziana słownie mówi:
Operator sprzężony do danego operatora
T{displaystyle T}jest to operator
T∗{displaystyle T^{*}}taki, że następujące liczby są identyczne
(1)
⟨Tx,y⟩,{displaystyle langle Tx,yrangle ,}czyli iloczyn skalarny wektora
y∈H2{displaystyle yin {mathcal {H}}_{2}}
przez wektor powstały w wyniku działania operatora
T{displaystyle T}
na wektor
x∈H1{displaystyle xin {mathcal {H}}_{1}}oraz
(2)
⟨x,T∗y⟩,{displaystyle langle x,T^{*}yrangle ,}czyli iloczyn skalarny wektora
x∈H1{displaystyle xin {mathcal {H}}_{1}}
przez wektor powstały w wyniku działania operatora
T∗{displaystyle T^{*}}na wektor
y∈H2.{displaystyle yin {mathcal {H}}_{2}.}
Należy zauważyć, że iloczyn skalarny
⟨Tx,y⟩{displaystyle langle Tx,yrangle }jest zdefiniowany w przestrzeni
H2,{displaystyle {mathcal {H}}_{2},}
zaś iloczyn skalarny
⟨x,T∗y⟩{displaystyle langle x,T^{*}yrangle }
jest zdefiniowany w przestrzeni
H1.{displaystyle {mathcal {H}}_{1}.}
Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że powyższy warunek wyznacza operator
T∗{displaystyle T^{*}}jednoznacznie.
Niech
H1,H2,H3{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2},{mathcal {H}}_{3}}będą przestrzeniami Hilberta oraz niech
- T,T1,T2:H1→H2,U:H2→H3{displaystyle T,T_{1},T_{2}colon {mathcal {H}}_{1}to {mathcal {H}}_{2},,Ucolon {mathcal {H}}_{2}to {mathcal {H}}_{3}}
będą operatorami liniowymi i ciągłymi.
- Operator liniowy
T∗{displaystyle T^{*}} jest ograniczony (ciągły) oraz
‖T∗‖=‖T‖,{displaystyle |T^{*}|=|T|,}
(T∗)∗=T,{displaystyle (T^{*})^{*}=T,}
‖TT∗‖=‖T‖2=‖T∗T‖.{displaystyle |TT^{*}|=|T|^{2}=|T^{*}T|.}
- Jeżeli
T{displaystyle T} jest izomorfizmem, to również T∗{displaystyle T^{*}} jest izomorfizmem.
(UT)∗=T∗U∗.{displaystyle (UT)^{*}=T^{*}U^{*}.}- Jeżeli
T{displaystyle T} jest suriektywny, to T∗{displaystyle T^{*}} jest iniektywny. - Jeżeli
T{displaystyle T} jest iniektywny, to obraz operatora T∗{displaystyle T^{*}} jest gęsty w H1,{displaystyle {mathcal {H}}_{1},} tzn.- T∗(H2)¯=H1.{displaystyle {overline {T^{*}({mathcal {H}}_{2})}}={mathcal {H}}_{1}.}
- Jeżeli
λ{displaystyle lambda } jest skalarem, to- (λT1+T2)∗=λ¯T1∗+T2∗.{displaystyle (lambda T_{1}+T_{2})^{*}={overline {lambda }}T_{1}^{*}+T_{2}^{*}.}
- Jeżeli
H1,H2{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2}} są skończenie wymiarowe, to operator T{displaystyle T} jest reprezentowany przez macierz (Tij).{displaystyle (T_{ij}).} Wówczas, operator sprzężony do T{displaystyle T} reprezentowany jest przez macierz sprzężoną hermitowsko z (Tij).{displaystyle (T_{ij}).}
Operator samosprzężony (hermitowski)[edytuj | edytuj kod]
Ograniczony operator liniowy
T:H→H{displaystyle Tcolon {mathcal {H}}to {mathcal {H}}}nazywany jest samosprzężonym lub hermitowskim, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj.
- T=T∗,{displaystyle T=T^{*},}
co jest równoważne stwierdzeniu
- ⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩ dla wszystkich x,y∈H{displaystyle langle Tx,yrangle =langle x,Tyrangle quad {mbox{ dla wszystkich }}x,yin {mathcal {H}}} [1][2].
W pewnym sensie operatory hermitowskie mają własności analogiczne do liczb rzeczywistych (które są równe swoim sprzężeniom zespolonym).
Operatory hermitowskie tworzą przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, co oznacza, że:
- suma operatorów hermitowskich jest operatorem hermitowskim,
- iloczyn operatora hermitowskiego przez liczbę rzeczywistą jest operatorem hermitowskim.
Operatory te służą do modelowania obserwabli w mechanice kwantowej z tej racji, że mają rzeczywiste wartości własne (patrz niżej).
Twierdzenie Helligenra-Toeplitza mówi, że każdy operator samosprzężony, określony na całej przestrzeni Hilberta jest ograniczony. W ogólności zachodzi jednak potrzeba zdefiniowania operatorów samosprzężonych nieograniczonych (np. operatory położenia i pędu w mechanice kwantowej). Z konieczności nie są one określone na całej przestrzeni Hilberta, a jedynie na podprzestrzeni
D(A)⊂H.{displaystyle D(A)subset {mathcal {H}}.}
Operatory samosprzężone w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]
W mechanice klasycznej definiuje się różne wielkości fizyczne, które można zmierzyć, np. energię, pęd czy moment pędu. Wielkości te są odpowiednio skalarem, wektorem i pseudowektorem i mogą przyjmować dowolne wartości. Jednak wyniki eksperymentów pokazują, że niekiedy jest inaczej – niekiedy bowiem wielkości mierzalne przyjmują wartości dyskretne.
Dokładniejszego opisu rzeczywistości fizycznej dostarcza mechanika kwantowa, gdzie do opisu wielkości mierzalnych wprowadza się operatory hermitowskie. Operatory te są nazywane obserwablami, gdyż ich wartości własne przedstawiają jedyne wartości liczbowe, jakie można otrzymać w wyniku pomiaru (czyli „obserwacji”) danej wielkości fizycznej.
Np. definiuje się operatory pędu, energii, momentu pędu, spinu, które są określone na pewnej przestrzeni Hilberta (przy czym postać przestrzeni Hilberta zależy od rodzaju rozpatrywanego układu fizycznego). Jeżeli operatory mają dyskretne widmo wartości własnych, to oznacza, że wartości możliwe do uzyskania w pomiarze także są dyskretne.
Recent Comments