[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/11\/28\/operator-sprzezony-przestrzenie-hilberta-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/11\/28\/operator-sprzezony-przestrzenie-hilberta-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","headline":"Operator sprz\u0119\u017cony (przestrzenie Hilberta) \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","name":"Operator sprz\u0119\u017cony (przestrzenie Hilberta) \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia","description":"Operator sprz\u0119\u017cony (sprz\u0119\u017cenie hermitowskie operatora) \u2013 operator definiowany w teorii przestrzeni Hilberta nast\u0119puj\u0105co: Je\u017celi H1,H2{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2}} s\u0105 przestrzeniami","datePublished":"2021-11-28","dateModified":"2021-11-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0326b15634662df5c8493613aaf496babff001e5","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0326b15634662df5c8493613aaf496babff001e5","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/11\/28\/operator-sprzezony-przestrzenie-hilberta-wikipedia-wolna-encyklopedia\/","wordCount":6940,"articleBody":"Operator sprz\u0119\u017cony (sprz\u0119\u017cenie hermitowskie operatora) \u2013 operator definiowany w teorii przestrzeni Hilberta nast\u0119puj\u0105co:  Je\u017celi H1,H2{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2}} s\u0105 przestrzeniami Hilberta oraz T{displaystyle T} jest operatorem liniowym i ograniczonym, takim \u017ce  T:H1\u2192H2,{displaystyle Tcolon {mathcal {H}}_{1}to {mathcal {H}}_{2},}to operatorem sprz\u0119\u017conym nazywa si\u0119 operator liniowyT\u2217:H2\u2192H1{displaystyle T^{*}colon {mathcal {H}}_{2}to {mathcal {H}}_{1}}taki, \u017ce  \u27e8Tx,y\u27e9=\u27e8x,T\u2217y\u27e9,{displaystyle langle Tx,yrangle =langle x,T^{*}yrangle ,}gdzie x\u2208H1,y\u2208H2,{displaystyle xin {mathcal {H}}_{1},yin {mathcal {H}}_{2},} za\u015b \u27e8\u2026\u27e9{displaystyle langle dots rangle } oznacza iloczyn skalarny okre\u015blony odpowiednio w przestrzeniach H1{displaystyle {mathcal {H}}_{1}} oraz H2.{displaystyle {mathcal {H}}_{2}.}Powy\u017csza definicja wypowiedziana s\u0142ownie m\u00f3wi:Operator sprz\u0119\u017cony do danego operatora T{displaystyle T} jest to operator T\u2217{displaystyle T^{*}} taki, \u017ce nast\u0119puj\u0105ce liczby s\u0105 identyczne(1) \u27e8Tx,y\u27e9,{displaystyle langle Tx,yrangle ,} czyli iloczyn skalarny wektora y\u2208H2{displaystyle yin {mathcal {H}}_{2}} przez wektor powsta\u0142y w wyniku dzia\u0142ania operatora T{displaystyle T} na wektor x\u2208H1{displaystyle xin {mathcal {H}}_{1}} oraz(2) \u27e8x,T\u2217y\u27e9,{displaystyle langle x,T^{*}yrangle ,} czyli iloczyn skalarny wektora x\u2208H1{displaystyle xin {mathcal {H}}_{1}} przez wektor powsta\u0142y w wyniku dzia\u0142ania operatora T\u2217{displaystyle T^{*}} na wektor y\u2208H2.{displaystyle yin {mathcal {H}}_{2}.}Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce iloczyn skalarny \u27e8Tx,y\u27e9{displaystyle langle Tx,yrangle } jest zdefiniowany w przestrzeni H2,{displaystyle {mathcal {H}}_{2},} za\u015b iloczyn skalarny \u27e8x,T\u2217y\u27e9{displaystyle langle x,T^{*}yrangle } jest zdefiniowany w przestrzeni H1.{displaystyle {mathcal {H}}_{1}.}Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjona\u0142u wynika, \u017ce powy\u017cszy warunek wyznacza operator T\u2217{displaystyle T^{*}} jednoznacznie.Niech H1,H2,H3{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2},{mathcal {H}}_{3}} b\u0119d\u0105 przestrzeniami Hilberta oraz niechT,T1,T2:H1\u2192H2,U:H2\u2192H3{displaystyle T,T_{1},T_{2}colon {mathcal {H}}_{1}to {mathcal {H}}_{2},,Ucolon {mathcal {H}}_{2}to {mathcal {H}}_{3}}b\u0119d\u0105 operatorami liniowymi i ci\u0105g\u0142ymi.Operator liniowy T\u2217{displaystyle T^{*}} jest ograniczony (ci\u0105g\u0142y) oraz\u2016T\u2217\u2016=\u2016T\u2016,{displaystyle |T^{*}|=|T|,}(T\u2217)\u2217=T,{displaystyle (T^{*})^{*}=T,}\u2016TT\u2217\u2016=\u2016T\u20162=\u2016T\u2217T\u2016.{displaystyle |TT^{*}|=|T|^{2}=|T^{*}T|.}Je\u017celi T{displaystyle T} jest izomorfizmem, to r\u00f3wnie\u017c T\u2217{displaystyle T^{*}} jest izomorfizmem.(UT)\u2217=T\u2217U\u2217.{displaystyle (UT)^{*}=T^{*}U^{*}.}Je\u017celi T{displaystyle T} jest suriektywny, to T\u2217{displaystyle T^{*}} jest iniektywny.Je\u017celi T{displaystyle T} jest iniektywny, to obraz operatora T\u2217{displaystyle T^{*}} jest g\u0119sty w H1,{displaystyle {mathcal {H}}_{1},} tzn.T\u2217(H2)\u00af=H1.{displaystyle {overline {T^{*}({mathcal {H}}_{2})}}={mathcal {H}}_{1}.}Je\u017celi \u03bb{displaystyle lambda } jest skalarem, to(\u03bbT1+T2)\u2217=\u03bb\u00afT1\u2217+T2\u2217.{displaystyle (lambda T_{1}+T_{2})^{*}={overline {lambda }}T_{1}^{*}+T_{2}^{*}.}Je\u017celi H1,H2{displaystyle {mathcal {H}}_{1},{mathcal {H}}_{2}} s\u0105 sko\u0144czenie wymiarowe, to operator T{displaystyle T} jest reprezentowany przez macierz (Tij).{displaystyle (T_{ij}).} W\u00f3wczas, operator sprz\u0119\u017cony do T{displaystyle T} reprezentowany jest przez macierz sprz\u0119\u017con\u0105 hermitowsko z (Tij).{displaystyle (T_{ij}).}Operator samosprz\u0119\u017cony (hermitowski)[edytuj | edytuj kod]\u00a0Osobny artyku\u0142: operator samosprz\u0119\u017cony.Ograniczony operator liniowy T:H\u2192H{displaystyle Tcolon {mathcal {H}}to {mathcal {H}}} nazywany jest samosprz\u0119\u017conym lub hermitowskim, gdy jest r\u00f3wny swojemu sprz\u0119\u017ceniu, tj.T=T\u2217,{displaystyle T=T^{*},}co jest r\u00f3wnowa\u017cne stwierdzeniu\u27e8Tx,y\u27e9=\u27e8x,Ty\u27e9\u00a0dla wszystkich\u00a0x,y\u2208H{displaystyle langle Tx,yrangle =langle x,Tyrangle quad {mbox{ dla wszystkich }}x,yin {mathcal {H}}}[1][2].W pewnym sensie operatory hermitowskie maj\u0105 w\u0142asno\u015bci analogiczne do liczb rzeczywistych (kt\u00f3re s\u0105 r\u00f3wne swoim sprz\u0119\u017ceniom zespolonym).Operatory hermitowskie tworz\u0105 przestrze\u0144 wektorow\u0105 nad cia\u0142em liczb rzeczywistych, co oznacza, \u017ce:suma operator\u00f3w hermitowskich jest operatorem hermitowskim,iloczyn operatora hermitowskiego przez liczb\u0119 rzeczywist\u0105 jest operatorem hermitowskim.Operatory te s\u0142u\u017c\u0105 do modelowania obserwabli w mechanice kwantowej z tej racji, \u017ce maj\u0105 rzeczywiste warto\u015bci w\u0142asne (patrz ni\u017cej).Twierdzenie Helligenra-Toeplitza m\u00f3wi, \u017ce ka\u017cdy operator samosprz\u0119\u017cony, okre\u015blony na ca\u0142ej przestrzeni Hilberta jest ograniczony. W og\u00f3lno\u015bci zachodzi jednak potrzeba zdefiniowania operator\u00f3w samosprz\u0119\u017conych nieograniczonych (np. operatory po\u0142o\u017cenia i p\u0119du w mechanice kwantowej). Z konieczno\u015bci nie s\u0105 one okre\u015blone na ca\u0142ej przestrzeni Hilberta, a jedynie na podprzestrzeni D(A)\u2282H.{displaystyle D(A)subset {mathcal {H}}.}Operatory samosprz\u0119\u017cone w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]W mechanice klasycznej definiuje si\u0119 r\u00f3\u017cne wielko\u015bci fizyczne, kt\u00f3re mo\u017cna zmierzy\u0107, np. energi\u0119, p\u0119d czy moment p\u0119du. Wielko\u015bci te s\u0105 odpowiednio skalarem, wektorem i pseudowektorem i mog\u0105 przyjmowa\u0107 dowolne warto\u015bci. Jednak wyniki eksperyment\u00f3w pokazuj\u0105, \u017ce niekiedy jest inaczej \u2013 niekiedy bowiem wielko\u015bci mierzalne przyjmuj\u0105 warto\u015bci dyskretne.Dok\u0142adniejszego opisu rzeczywisto\u015bci fizycznej dostarcza mechanika kwantowa, gdzie do opisu wielko\u015bci mierzalnych wprowadza si\u0119 operatory hermitowskie. Operatory te s\u0105 nazywane obserwablami, gdy\u017c ich warto\u015bci w\u0142asne przedstawiaj\u0105 jedyne warto\u015bci liczbowe, jakie mo\u017cna otrzyma\u0107 w wyniku pomiaru (czyli \u201eobserwacji\u201d) danej wielko\u015bci fizycznej.Np. definiuje si\u0119 operatory p\u0119du, energii, momentu p\u0119du, spinu, kt\u00f3re s\u0105 okre\u015blone na pewnej przestrzeni Hilberta (przy czym posta\u0107 przestrzeni Hilberta zale\u017cy od rodzaju rozpatrywanego uk\u0142adu fizycznego). Je\u017celi operatory maj\u0105 dyskretne widmo warto\u015bci w\u0142asnych, to oznacza, \u017ce warto\u015bci mo\u017cliwe do uzyskania w pomiarze tak\u017ce s\u0105 dyskretne."},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/pl\/wiki\/2021\/11\/28\/operator-sprzezony-przestrzenie-hilberta-wikipedia-wolna-encyklopedia\/#breadcrumbitem","name":"Operator sprz\u0119\u017cony (przestrzenie Hilberta) \u2013 Wikipedia, wolna encyklopedia"}}]}]