Operator całkowicie ciągły – Wikipedia, wolna encyklopedia

Posted on by
before-content-x4

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

 after-content-x4

Operator całkowicie ciągły (albo operator Dunforda-Pettisa) – operator liniowy

T:X→Y{displaystyle T:Xto Y}

między przestrzeniami Banacha

X{displaystyle X}

i

Y{displaystyle Y}

o tej własności, że dla każdego słabo zbieżnego ciągu

(xn)n=1∞{displaystyle (x_{n})_{n=1}^{infty }}

elementów przestrzeni

X{displaystyle X}

ciąg wartości

after-content-x4
(Txn)n=1∞{displaystyle (Tx_{n})_{n=1}^{infty }}

jest zbieżny w sensie normy przestrzeni

Y.{displaystyle Y.}

Operatorami całkowicie ciągłymi w kontekście przestrzeni ℓ2 i L2 zajmował się David Hilbert[1] (każdy operator całkowicie ciągły na przestrzeni Hilberta jest zwarty). Ogólniejsze ujęcie pochodzi od Frigyesa Riesza[2] i Stefana Banacha[3].

W literaturze dotyczącej teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta, przez pojęcie operator całkowicie ciągły niektórzy autorzy[4][5] rozumieją operator zwarty, tj. operator o tej własności, że obrazy zbiorów ograniczonych są relatywnie zwarte. Dla operatorów działających między przestrzeniami Hilberta pojęcia te są równoważne jednak są one istotnie różne w przypadku operatorów działających między ogólniejszymi przestrzeniami Banacha.

(1)
Z drugiej jednak strony, ciąg
co prowadzi do sprzeczności z (1)[6].

Struktura ideału operatorowego[edytuj | edytuj kod]

Rodzina

Cc{displaystyle {mbox{Cc}}}

wszystkich operatorów całkowicie ciągłych między dowolnymi przestrzeniami Banacha tworzy ideał operatorowy w sensie Pietscha. W szczególności, rodzina

Cc(X){displaystyle {mbox{Cc}}(X)}

operatorów całkowicie ciągłych na danej przestrzeni Banacha

X{displaystyle X}

tworzy domknięty ideał w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych na

X.{displaystyle X.}

Własność Dunforda-Pettisa[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń Banacha

X{displaystyle X}

ma własność Dunforda-Pettisa (DPP), gdy dla dowolnej przestrzeni Banacha

Y{displaystyle Y}

każdy operator słabo zwarty

T:X→Y{displaystyle T:Xto Y}

jest całkowicie ciągły. Żadna nieskończenie wymiarowa przestrzeń refleksywna

X{displaystyle X}

nie ma własności Dunforda-Pettisa ponieważ każdy operator ograniczony

T{displaystyle T}

na

X{displaystyle X}

(w tym identyczność) jest słabo zwarty. Przykładami przestrzeni mającymi własność DPP są przestrzenie ℓ1, L1[0,1] oraz przestrzenie

C(K){displaystyle C(K)}

funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum.

  1. ↑ D. Hilbert, „Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen”, Chelsea, reprint (1953).
  2. ↑ F. Riesz, „Sur les opérations fonctionelles linéaires” C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 149 (1909) s. 974–977.
  3. ↑ S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner (1932).
  4. ↑ Gelfand i Vilenkin 1964 ↓, s. 27.
  5. ↑ Bachman i Narici 1998 ↓, s. 286.
  6. ↑ ab Pietsch 1980 ↓, s. 47.
  7. ↑ ab Pietsch 1980 ↓, s. 51.
  • George Bachman, Lawrence Narici: Functional Analysis. Wyd. 2. Dover Publications, 1998, seria: Dover Books on Mathematics.
  • Israel Gel’fand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions, Volume 4: Applications of Harmonic Analysis. Academic Press, 1964.
  • Albert Pietsch: Operator Ideals. Amsterdam: North-Holland, 1980, s. 47, 51.

after-content-x4