Operator całkowicie ciągły – Wikipedia, wolna encyklopedia
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Operator całkowicie ciągły (albo operator Dunforda-Pettisa) – operator liniowy
między przestrzeniami Banacha
i
o tej własności, że dla każdego słabo zbieżnego ciągu
elementów przestrzeni
ciąg wartości
jest zbieżny w sensie normy przestrzeni
Operatorami całkowicie ciągłymi w kontekście przestrzeni ℓ2 i L2 zajmował się David Hilbert[1] (każdy operator całkowicie ciągły na przestrzeni Hilberta jest zwarty). Ogólniejsze ujęcie pochodzi od Frigyesa Riesza[2] i Stefana Banacha[3].
W literaturze dotyczącej teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta, przez pojęcie operator całkowicie ciągły niektórzy autorzy[4][5] rozumieją operator zwarty, tj. operator o tej własności, że obrazy zbiorów ograniczonych są relatywnie zwarte. Dla operatorów działających między przestrzeniami Hilberta pojęcia te są równoważne jednak są one istotnie różne w przypadku operatorów działających między ogólniejszymi przestrzeniami Banacha.
(1) |
- Z drugiej jednak strony, ciąg jest słabo zbieżny do zera, a więc z założenia o tym, że T jest całkowicie ciągły wynika, że
- co prowadzi do sprzeczności z (1)[6].
Struktura ideału operatorowego[edytuj | edytuj kod]
Rodzina
wszystkich operatorów całkowicie ciągłych między dowolnymi przestrzeniami Banacha tworzy ideał operatorowy w sensie Pietscha. W szczególności, rodzina
operatorów całkowicie ciągłych na danej przestrzeni Banacha
tworzy domknięty ideał w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych na
Własność Dunforda-Pettisa[edytuj | edytuj kod]
Przestrzeń Banacha
ma własność Dunforda-Pettisa (DPP), gdy dla dowolnej przestrzeni Banacha
każdy operator słabo zwarty
jest całkowicie ciągły. Żadna nieskończenie wymiarowa przestrzeń refleksywna
nie ma własności Dunforda-Pettisa ponieważ każdy operator ograniczony
na
(w tym identyczność) jest słabo zwarty. Przykładami przestrzeni mającymi własność DPP są przestrzenie ℓ1, L1[0,1] oraz przestrzenie
funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum.
- ↑ D. Hilbert, „Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen”, Chelsea, reprint (1953).
- ↑ F. Riesz, „Sur les opérations fonctionelles linéaires” C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 149 (1909) s. 974–977.
- ↑ S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner (1932).
- ↑ Gelfand i Vilenkin 1964 ↓, s. 27.
- ↑ Bachman i Narici 1998 ↓, s. 286.
- ↑ ab Pietsch 1980 ↓, s. 47.
- ↑ ab Pietsch 1980 ↓, s. 51.
- George Bachman, Lawrence Narici: Functional Analysis. Wyd. 2. Dover Publications, 1998, seria: Dover Books on Mathematics.
- Israel Gel’fand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions, Volume 4: Applications of Harmonic Analysis. Academic Press, 1964.
- Albert Pietsch: Operator Ideals. Amsterdam: North-Holland, 1980, s. 47, 51.
Recent Comments