Đồng luân

nhỏ|Video 2: Mặt phằng biến thành hình xuyến qua phép biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 3: Một biến đổi đồng luân tách cà phê thành xuyến. nhỏ|Video 3: Quá trình biến đổi đường thẳng thành hình ống Klein nhỏ|Hình 4: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các hình ảnh động mô tả một phép biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 5: Hai đường đậm là đồng luân theo các điểm cuối của chúng. Các đường nhỏ mô tả một phép biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 6: Quá trình biến đổi đồng luân. nhỏ|Hình 7: Homotopy group addition Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-homos-đồng nhất và τόπος-topos-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luânnhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

Định nghĩa

  • Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục <math>f</math> và <math>g</math> từ không gian tô pô <math>X</math> vào không gian tô pô <math>Y</math> được định nghĩa là ánh xạ liên tục <math>H: X \times [0,1] \rarr Y</math> từ tích của không gian <math>X</math> với đoạn đơn vị <math> [0,1] </math> vào <math>Y</math> sao cho với mọi điểm <math>x\in X</math> ta có <math>H(x,0)= f(x)</math> và <math>H(x,1)=g(x)</math>.
  • Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của <math>H</math> như là thời gian, khi đó <math>H</math> mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ <math>f</math> thành <math>g</math> ký hiệu <math>H(x,t), t\in [0,1]</math>. Tại thời điểm <math>0</math> ta có ánh xạ <math>f</math>, tại thời điểm <math>1</math> ta có ánh xạ <math>g</math>. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ <math>f</math> để <math>g</math> như di chuyển thanh trượt <math>0</math> đến <math>1</math>, và ngược lại.
  • Một ký hiệu thay thế khác cho ký hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục <math>f,g: X \rightarrow Y</math> là một họ của các hàm số liên tục <math>h_t: X \rightarrow Y</math> cho <math>t\in [0,1 ]</math> sao cho <math>h_0= f</math> và <math>h_1 = g</math> và mỗi bản đồ <math>t \rightarrow h_t(x)</math> liên tục từ <math>[0, 1]</math> đến <math>Y</math>. Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập <math>h_t(x)=H(x,t).</math>
  • Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file: Ly cà phê).

nhỏ|700px|giữa|Hình 1: Quá trình biến đổi cốc cà phê thành hình xuyến qua phép biến đổi đồng luân. nhỏ|700px|giữa|Hình 2: Góc nhìn khác của quá trình biến đổi đồng luân.

Tính chất

  • Hàm số liên tục <math>f</math> và <math>g</math> được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân <math>H</math> từ <math>f</math> đến <math>g</math> như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu <math>f_1,g_1:X \rightarrow Y</math> là đồng luân, và <math>f_2,g_2:Y\rightarrow Z</math> là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng <math>f_2\circ f_1</math> và <math>g_2\circ g_1:X\rightarrow Z </math> cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.

Đồng luân đường

  • Nhắc lại về đường đi trong không gian <math>X</math> là ánh xạ liên tục <math>\alpha</math> từ khoảng <math>[0,1]</math> trong tô pô Euclid vào <math>X</math>. Điểm <math>\alpha (0)</math> được gọi là điểm đầu và điểm <math>\alpha (1)</math> được gọi là điểm kết thúc.[1]
  • Đặt <math>\alpha</math> và <math>\beta</math> là hai đường từ <math>a</math> sang <math>b</math> trong <math>X</math>. Một phép đồng luân từ <math>\alpha</math> và <math>\beta</math> là họ các ánh xạ: <math>F_t: X\rarr X, t\in [0,1]</math>, như vậy ánh xạ <math>(t,s)\rarr F_t(s)</math> là liên tục, <math>F_0=\alpha, F_1=\beta</math>, và với mọi điểm <math>t</math> đường <math>F_t</math> đi từ <math>a \rarr b</math>.[1]
  • Nếu có một phép đồng luân từ <math>\alpha \rarr \beta</math> chúng ta nói rằng <math>\alpha</math> đồng luân với <math>\beta</math>, thường ký hiệu là <math>\alpha</math> ~ <math>\beta</math>.[1]
  • Một vòng hay một đường đi đóng tại <math>a \in X </math> là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là <math>a</math>. Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục <math>\alpha: [0,1] \rarr X</math> sao cho <math>\alpha (0) = \alpha (1) =\alpha </math>. Vòng bất biến là vòng mà <math>\alpha (t)</math> =<math>\alpha </math> với mọi <math>t\in[0,1]</math>.[1]
  • Một không gian được gọi là đơn liên nếu nó liên thông đường và bất kì vòng là đồng phôi với một vòng bất biến.[1]
  • Ví Dụ:

<math> </math>

Trong không gian định chuẩn hai đường <math>\alpha, \beta </math> cùng điểm đầu và cùng điểm cuối là đồng luân. Thông qua đồng luân <math>(1-t)\alpha+t\beta </math>.

nhỏ|giữa|Video 1: Quá trình biến đổi đồng luân đường. nhỏ|giữa|Video 2: Quá trình biến đổi đồng luân đường. nhỏ|Video 5:Quá trình biến đổi đồng luân nhưng không đồng luân đường. nhỏ|Video 6: Quá trình biến đổi đồng luân nhưng không đồng luân đường.

Mệnh đề

  • 1. Quan hệ đồng luân trên các tập của tất cả các đường từ <math>a</math> sang <math> b</math> là mối quan hệ tương đương.[1]
  • 2. Nếu không gian <math>X </math> có sự biến dạng co rút lại thành không gian con <math>A </math> thì <math> X</math> là đồng luân với <math> A</math>.[1]
  • 3. Nếu <math> \alpha</math> ~ <math>\alpha_1 </math> và <math> \beta</math> ~<math>\beta_1 </math> thì <math> \alpha \cdot \beta</math> ~ <math>\alpha_1 \cdot \beta_1 </math>. Thì chúng ta có thể định nghĩa <math>[a]\cdot [b]=[\alpha\cdot \beta] </math>.[1]
  • 4. Nếu <math>\alpha </math> là đường từ <math>a </math> sang <math> b</math> thì <math>\alpha \cdot \alpha^{-1} </math> là đồng luân chứa vòng tại <math>a </math>.[1]
  • 5. Đặt <math> \gamma</math> là đường từ <math> x_0</math> sang <math>y_0, \pi_1(X,y_0) </math> là nhóm cơ bản của <math>X</math> tại <math>x_0</math> thì ánh xạ:
<math> \gamma^*: \pi_1(X,x_0) \rarr \pi_1(X,y_0)</math>
<math> [f]\mapsto [\gamma^{-1}\cdot f \cdot \gamma][</math>
là đồng phôi.[1]

Đồng luân tương đương

  • Cho hai không gian <math>X</math> và <math>Y</math> chúng ta nói rằng chúng tương đương đồng luân, hoặc của cùng một dạng đồng luân, nếu có tồn tại ánh xạ liên tục <math>f: X \rarr Y</math> và <math>g: Y \rarr X</math> như vậy mà <math> g\circ f</math> là đồng luân với tính chất ánh xạ ánh xạ đồng nhất <math>X</math> và <math>f \circ g</math> là đồng luân ánh xạ đồng nhất <math>Y</math>. Các ánh xạ <math>f</math> và <math>g</math> được gọi là tương đương đồng luân trong trường hợp này. Mỗi đồng phôi là đồng luân tương đương, nhưng điều ngược lại là không thật sự đúng.
  • Ví dụ: Một đĩa rắn không phải là đồng phôi với một điểm duy nhất (vì không có song ánh giữa chúng), mặc dù các ổ đĩa và các điểm tương đương đồng luân (kể từ khi bạn có thể biến dạng đĩa dọc theo các đường xuyên tâm liên tục vào một điểm duy nhất).
  • Hai không gian <math>X</math> và <math>Y</math> tương đương đồng luân nếu họ có thể được chuyển đổi thành một khác bằng cách uốn cong, thu hẹp và mở rộng hoạt động. Ví dụ, một đĩa cứng hoặc bóng rắn là tương đương đồng luân đến một điểm, và <math>R^2-{(0,0)}</math> là tương đương đồng luân với đơn vị vòng tròn <math>S^1</math>. Không gian đó là tương đương đồng luân đến một điểm được gọi là co rút.

Xem thêm

Tham khảo

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 - [TS. Huỳnh Quang Vũ| [1]| Giáo trình Tô Pô | | 2012-2013| Chương 15 - Trang 73 ]
2. Youtube

Template:Sơ thảo toán học

Thể loại:Toán học tô pô Thể loại:Lý thuyết đồng luân