Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong.

Định nghĩa

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong <math>R</math> là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong <math>\kappa</math> chính là nghịch đảo của bán kính cong <math>R</math>.

<math>\kappa = \frac{1}{R}</math>

Gọi <math>ds</math> là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và <math>d\phi</math> là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

<math>\kappa = \frac{d\phi}{ds}</math>

Tính độ cong của một đường cong phẳng

Trong hệ tọa độ Descartes

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số <math> \begin{cases}

x = x(t) \\
y = y(t)

\end{cases} </math>, từ phần trên ta có định nghĩa:

<math>\kappa = \frac{d\phi}{ds}
= \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}
= \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{\left (\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\dfrac{dy}{dt}\right)^2}}
= \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{{x'}^2 + {y'}^2}}</math>

<math>d\phi</math> là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa <math>\phi</math> là góc tiếp tuyến của đường cong.

<math>\tan \phi = \dfrac{dy}{dx}
= \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
= \dfrac{y'}{x'}</math>

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta được:

<math>\frac{d}{dt}(\tan \phi)
= \left (1 + {\tan}^2 \phi \right)\frac{d\phi}{dt}
= \dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2}</math>

<math>\Leftrightarrow \frac{d\phi}{dt}

= \frac{1}{1 + {\tan}^2 \phi}\dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2}
= \frac{1}{1 + {\left (\dfrac{y'}{x'}\right)^2 }}\dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2}
= \dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2+{y'}^2}

</math>

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

<math>\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}</math>

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số <math>y = f(x)</math> thì độ cong được tính như sau:

<math>\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}</math>

Trong hệ tọa độ cực

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số <math>r = r(\theta)</math> thì độ cong được tính như sau:

<math>\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}</math>

Ví dụ

Đường thẳng

Đường thẳng <math> \begin{cases}

x = t \\
y = at + b

\end{cases} </math> hay <math>y = ax + b</math> sẽ có độ cong được tính như sau:

<math>x' = 1,\quad x = 0,\quad y' = a, \quad y = 0,\quad \dfrac{dy}{dx} = a, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 0 </math>

Áp dụng công thức ta có:

<math>\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}

= \dfrac{1\cdot 0 - a\cdot 0}{\left ({1}^2+{a}^2\right)^{3/2}} = 0 </math> hay công thức:

<math>\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}

= \dfrac{0}{\left [1+a^2\right ]^{3/2}} = 0</math> Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn

Đường tròn <math> \begin{cases}

x = R\cos t \\
y = R\sin t

\end{cases} </math> hay <math>r = R</math> sẽ có độ cong được tính như sau:

<math>x' = -R\sin t,\quad x = -R\cos t,\quad y' = R\cos t, \quad y = -R\sin t,\quad \dfrac{dr}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{d^2r}{d\theta^2} = 0 </math>

Áp dụng công thức ta có:

<math>\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}

= \dfrac{(-R\sin t)\cdot (-R\sin t) - (R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left [{(-R\sin t)}^2+{(R\cos t)}^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R} </math> hay công thức:

<math>\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}

= \dfrac{R^2 + 2\cdot 0^2 - R\cdot 0}{\left [R^2+0^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R} </math> Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khác

  • Đường parabol <math>y = ax^2</math> sẽ có độ cong được tính như sau:
<math>\dfrac{dy}{dx} = 2ax, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2a </math>

Áp dụng công thức ta có:

<math>\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}

= \dfrac{2a}{\left [1+(2ax)^2\right ]^{3/2}} = \dfrac{2a}{\left (1+4a^2x^2\right)^{3/2}}</math>

\begin{cases}

x = a\cos t \\
y = b\sin t

\end{cases} </math> sẽ có độ cong được tính như sau:

<math>x' = -a\sin t,\quad x = -a\cos t,\quad y' = b\cos t, \quad y = -b\sin t</math>

Áp dụng công thức ta có:

<math>\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}

= \dfrac{(-a\sin t)\cdot (-b\sin t) - (b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left [{(-a\sin t)}^2+{(b\cos t)}^2\right ]^{3/2}}</math>

<math>= \frac{ab}{\left [\left (\dfrac{ay}{b}\right)^2+\left (\dfrac{bx}{a}\right)^2\right ]^{3/2}}

= \frac{ab}{\left [a^2\left (1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)+\dfrac{b^2}{a^2}x^2\right ]^{3/2}}</math>

<math>= \frac{ab}{\left [a^2 - \left (1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right)x^2\right ]^{3/2}}

= \frac{ab}{\left (a^2 - e^2x^2\right)^{3/2}} </math> với <math>e=\sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}</math> là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes <math> \begin{cases}

x = x(t) \\
y = y(t) \\
z = z(t)

\end{cases} </math> được tính theo công thức

<math>\kappa=\frac{\sqrt{(zy'-yz')^2+(xz'-zx')^2+(yx'-xy')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}</math>

Xem thêm

Tham khảo

Thể loại:Độ cong Thể loại:Hình học Thể loại:Giải tích nhiều biến