Dãy Cauchy

Dãy Cauchy hay dãy cơ bản là một dãy <math> (u_n)_n</math> trong một không gian mêtric (hoặc không gian định chuẩn) X sao cho với mọi <math>\epsilon >0</math> tồn tại <math>n_0\in \mathbb N</math> để với mọi m,n>n₀ thì <math> d(u_n,u_m) <\epsilon.</math>

Tiêu chuẩn cái gì Cauchy cho dãy

Dãy (x_n) hội tụ khi và chỉ khi (x_n) là dãy Cauchy, i.e (có nghĩa là) Với mọi ɛ (epsilon) dương, bé tùy ý cho trước, luôn tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m,n lớn hơn N ta có |x_n - x_m| < ɛ điều này chỉ đúng khi dãy (x_n) thuộc không gian Banach.

Tính chất

• Mọi dãy cơ bản là bị chặn
• Nếu dãy cơ bản U_n có một dãy con hội tụ tới giới hạn b thì dãy U_n cũng hội tụ tới b.

Định lý

Định lý về sự hội tụ của dãy:

Dãy số thực {Un} hội tụ trong R khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản

Ý nghĩa của định lý này là khi khảo sát sự hội tụ, chỉ cần căn cứ vào quy luật biến thiên của dãy.

Kể từ một lúc nào đó trở đi hai phần tử bất kỳ gần nhau bao nhiêu cũng được.