Hàm liên tục

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của <math>f</math> như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập <math>x</math> luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của <math>f(x)</math>. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm liên tục trên <math>\mathbb{R}</math>

Hàm từ một tập số thực vào một tập số thực có thể biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ mà không có những lỗ hổng hoặc nhảy.

<math>f\,:\, I\rightarrow\mathbb{R}</math>

là một hàm được định nghĩa trên tập con của đường thẳng thực <math>\mathbb{R}</math>, tập con <math>I</math> gọi là miền xác định của <math>f</math>.

Khoảng mở trên <math>\mathbb{R}</math>

<math>I=(a,b)=\{x\in\mathbb{R}|\, a<x<b\}</math>

Khoảng đóng trên <math>\mathbb{R}</math>

<math>I=[a,b]=\{x\in\mathbb{R}|\, a\leq x\leq b\}</math>

Ở đây <math>a, b</math> là số thực.

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm

Hàm <math>f</math> gọi là liên tục tại điểm <math>c</math> trên miền xác định nếu giới hạn của <math>f(x)</math> khi <math>x</math> tiến dần về <math>c</math> tồn tại và bằng giá trị của <math>f(c)</math>. Ta viết:

<math>\underset{x\rightarrow c}{\lim}f(x)=f(c)</math>

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là <math>f</math> xác định tại <math>c</math>, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng <math>f(c)</math>.

Hàm <math>f</math> là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy

Cho dãy <math>(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}</math> bất kì trên miền xác định hội tụ về <math>c</math>, thì tương ứng dãy <math>(f(x_{n}))_{n\in\mathbb{N}}</math> hội tụ về <math>f(c)</math>

nhỏ|200px|Biểu diễn liên tục theo delta-epsilon nhỏ|200px|Đồ thị hàm <math>f(x)=\frac{2x-1}{x+2}</math>

Định nghĩa liên tục theo delta-epsilon

Cho bất kì số thực <math>\varepsilon>0</math>, tồn tại số thực <math>\delta>0</math> sao cho với mọi <math>x</math> trong miền xác định của <math>f</math> với <math>c-\delta<x<c+\delta</math>, giá trị của <math>f(x)</math> thỏa

<math>f(c)-\varepsilon<f(x)<f(c)+\varepsilon</math>

Liên tục của <math>f\,:\, I\rightarrow\mathbb{R}</math> tại <math>c</math> là với mọi <math>\varepsilon>0</math>, tồn tại <math>\delta>0</math> sao cho với mọi <math>x\in I</math>

<math>\vert x-c\vert<\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(c)\vert<\varepsilon</math> nhỏ|250px|Đồ thị hàm <math>\operatorname{sign}(x)</math> trên <math>\mathbb{R}</math>

Ví dụ

Hàm <math>f(x)=\frac{2x-1}{x+2}</math> liên tục trên miền xác định <math>\mathbb{R\backslash}\{-2\}</math>

Phản ví dụ

<math> \sgn(x) = \begin{cases} 1,x > 0\\ 0,x = 0\\ -1,x < 0 \end{cases} </math>

Ví dụ về hàm không liên tục với <math>\varepsilon=\frac{1}{2}</math>, lấy với mọi <math>y\neq0</math>, khi đó không tồn tại <math>\delta>0\,:\,\vert y-0\vert=\vert y\vert<\delta</math> sao cho <math>\vert f(y)-f(0)\vert=<\epsilon=\frac{1}{2}</math> vì <math>\vert f(y)-f(0)\vert=1\,\forall y\neq0</math>

Tính chất

Định lý giá trị trung bình

Cho <math>f\,:\,[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</math> là liên tục, giả sử <math>s</math> nằm giũa <math>f(a)</math> và <math>f(b)</math>. Khi đó tồn tại ít nhất một <math>c\in[a,\, b]</math> sao cho <math>f(c)=s</math>.

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lý giá trị cực

Cho khoảng <math>[a,\, b]</math> (khoảng đóng và bị chặn) và <math>f\,:\, [a,\, b]\rightarrow\mathbb{R}</math> là liên tục, khi đó <math>f</math> có giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên <math>[a,\, b]</math>, hay tồn tại <math>c,\, d\in [a,\, b]</math> sao cho <math>f(c)\leq f(x)\leq f(d)</math> với mọi <math>x\in X</math>.

Định lý điểm cố định

Cho <math>a<b;\, a,\, b\in\mathbb{R}</math>, <math>f\,:\,[a,\, b]\rightarrow[a,\, b]</math> liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một <math>c\in[a,\, b]</math> sao cho <math>f(c)=c</math>.

Quan hệ với tính khả tíchkhả vi

Mọi hàm <math>f\,:\,(a,b)\rightarrow\mathbb{R}</math> khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

<math>f(x)=|x| = \begin{cases}

 x, x \geq 0\\
 -x, x < 0

\end{cases}</math> là liên tục trên <math>\mathbb{R}</math> nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm <math>f^{'}(x)</math> của hàm khả vi <math>f(x)</math> không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm <math>C^{1}(a,b)</math>.

Xét tập các hàm

<math>f\,:\,\Omega\rightarrow\mathbb{R}</math>

Trong đó <math>\Omega</math> là tập con mở trong <math>\mathbb{R}</math> sao cho hàm <math>f</math> khả vi liên tục đến bậc <math>k</math>.

Tập các hàm này là không gian <math>C^{k}(\Omega)</math>.

Mọi hàm

<math>f\,:\,[a,\, b]\rightarrow\mathbb{R}</math>

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm <math>\operatorname{sign}(x)</math>

nhỏ|300px|Đồ thị hàm <math>\sin(x)</math>

Liên tục đều

Giả sử <math>\Omega</math> là tập con của <math>\mathbb{R}</math> khi đó

<math>f\,:\,\Omega\rightarrow\mathbb{R}</math>

liên tục đều trên <math>\Omega</math> nếu với mọi <math>\epsilon >0</math> cho trước tồn tại <math>\delta >0</math> chỉ phụ thuộc vào <math>\epsilon</math> sao cho <math>\forall x,\, x^{'}\in\Omega</math> thì

<math>\vert f(x)-f(x')\vert<\varepsilon</math>

Ví dụ như hàm <math>y=\sin(x)</math> và <math>y=x</math>

[[Tập tin:Uniform continuity animation.gif|nhỏ|250px|Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục]]

Hội tụ của dãy hàm liên tục

Cho dãy <math>(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}\,:\, I\rightarrow\mathbb{R}</math>

các hàm liên tục sao cho

<math>f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)</math>

tồn tại với mọi <math>x\in I</math>, khi đó hàm <math>f(x)</math> là giới hạn từng điểm của hãy <math>(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}</math>, hàm <math>f</math> không nhất thiết liên tục cho dù <math>f_n</math> là liên tục.

Tuy nhiên nếu <math>f</math> liên tục, khi đó dãy <math>(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}</math> hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi[1]

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho <math>c</math> và <math>d</math> là hai số thực(thường lấy <math>c=1</math> và <math>d=0</math>), định nghĩa bởi

<math>D(x)=\begin{cases}

c, x\in \mathbb{Q}\\ d, x\notin \mathbb{Q} \end{cases}</math> là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

<math>D(x)=\underset{m\rightarrow\infty}{\lim}\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\cos^{2n}(m!\pi x)</math> Nếu <math>E</math> là tập con bất kì của không gian tô pô <math>X</math> sao cho cả <math>E</math> và phần bù của <math>E</math> trù mật trong <math>X</math> sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[2]

Liên tục trên không gian mêtric

Định nghĩa

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho <math>(X,d_1)</math> và <math>(Y,d_2)</math> là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ <math>f\,\,:\, (X,d_1)\,\rightarrow\, (Y,d_2)</math> liên tục tại <math>x \in X</math> nếu

<math>\forall\varepsilon>0,\,\exists\sigma>0,\, d_{1}(x,y)\,<\,\sigma\,\Rightarrow d_{2}(f(y),f(x))\,<\varepsilon</math>

hay với mọi <math>B(f(x),\varepsilon)</math> tâm tại <math>f(x)</math> khi đó <math>\exists B(x,\sigma)</math> tâm tại <math>x</math> sao cho

<math>f(B(x,\sigma))\subset B(f(x),\varepsilon)</math>.

Tính chất

  • Cho <math>(X,\, d)</math> là không gian mêtric, <math>A</math> là tập con của <math>X</math> thì <math>f_{A}\,:\, X\rightarrow\mathbb{R}</math> với <math>f_{A}(x)=d(\{x\},\, A)</math> là liên tục.

Liên tục Lipchitz[3]

Cho hai không gian mêtric <math>(X,d_{X})</math> và <math>(Y,d_{Y})</math> với <math>d_{X}</math> là mêtric trên <math>X</math> và <math>d_{Y}</math> là mêtric trên <math>Y</math>.

<math>f\,:\, X\rightarrow Y</math> là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số <math>K\geq0</math> sao cho với mọi <math>x_{1},\, x_{2}\in X</math>

<math>d_{Y}(f(x_{1}),\, f(x_{2}))\leq K\, d_{X}(x_{1},\, x_{2})</math>

Ví dụ

Hàm <math>f(x)=\sqrt{x^{2}}+5</math> liên tục Lipchitz với <math>K=1</math>.

Liên tục Holder[3]

Cho hai không gian mêtric <math>(X,d_{X})</math> và <math>(Y,d_{Y})</math> với <math>d_{X}</math> là mêtric trên <math>X</math> và <math>d_{Y}</math> là mêtric trên <math>Y</math>, với <math>\alpha</math> là số thực.

<math>f\,:\, X\rightarrow Y</math> là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số <math>K\geq0</math> sao cho với mọi <math>x_{1},\, x_{2}\in X</math>

<math>d_{Y}(f(x_{1}),\, f(x_{2}))\leq K(\, d_{X}(x_{1},\, x_{2}))^{\alpha}</math>

Ví dụ

<math>f(x)=\sqrt{x}</math> là liên tục Holder với <math>\alpha\leq\frac{1}{2}</math>, nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy[4]

Cho <math>X</math> và <math>Y</math> là hai không gian mêtric, <math>f</math> là hàm từ <math>X</math> vào <math>Y</math>.

Hàm <math>f</math> là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì <math>(x_{1},x_{2},...)</math> trong <math>X</math>, dãy <math>(f(x_{1}),\, f(x_{2}),\,...)</math> là dãy Cauchy trong <math>Y</math>.

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu <math>X</math> là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên <math>X</math> là liên tục Cauchy.

ví dụ

Trên đường thẳng thực <math>\mathbb{R}</math> liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm <math>f(x)=0</math> khi <math>x^{2}<2</math> và <math>f(x)=1</math> khi <math>x^{2}>2</math> với mọi số hữu tỉ <math>x</math>. Hàm này liên tục trên <math>\mathbb{Q}</math> nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa

nhỏ|300px|Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X

  • Cho <math>X</math> và <math>Y</math> là hai không gian tô pô. Ánh xạ <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> là liên tục tại điểm <math>x</math> trong <math>X</math> nếu mọi tập mở <math>V</math> trong <math>Y</math> chứa <math>f(x)</math> thì có tập mở <math>U</math> của <math>X</math> chứa <math>x</math> sao cho <math>f(U)</math> chứa trong <math>V</math>. Ta nói <math>f</math> liên tục trên <math>X</math> nếu nó liên tục tại mọi điểm trên <math>X</math>.
  • Lân cận của điểm <math>x \in X</math> là tập con của <math>X</math> chứa tập mở chứa <math>x</math>. Lân cận không cần phải mở.
  • <math>f</math> liên tục tại <math>x</math> nếu mọi tập mở <math>V</math> chứa <math>f(x)</math> thì tập <math>f^{-1}(V)</math> là lân cận của <math>x</math>.[5]

Định lý

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [6] của tập mở là tập mở. Hay <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> liên tục khi và chỉ khi với mọi <math>V</math> mở trong <math>Y</math> thì <math>f^{-1}(V)</math> mở trong <math>X</math>.
Chứng minh
(<math>\Rightarrow</math>) Giả sử rằng <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> là liên tục. Cho <math>U</math> là tập mở trong <math>Y</math>. Cho <math>x \in f^{-1}(U)</math>. Vì <math>f</math> liên tục tại <math>x</math> và <math>U</math> là lân cận mở của <math>f(x)</math> thì có mở <math>V_x</math> chứa <math>x</math> sao cho <math>V_x</math> chứa trong <math>f^{-1}(U)</math>. Do đó <math>f^{-1}(U)=\cup_{x\in f^{-1}(U)}V_{x}</math> là mở.
(<math>\Leftarrow</math>) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho <math>x \in X</math>, <math>U</math> là lân cận mở của <math>f(x)</math>. Khi đó <math>V=f^{-1}(U)</math> là tập mở chứa <math>x</math>, và <math>f(V)</math> chứa trong <math>U</math>. Vì thế <math>f</math> liên tục tại <math>x</math>.

Một số tính chất và mệnh đề[7]

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
  • Cho <math>X</math> và <math>Y</math> là hai không gian tô pô và <math>\mathbb{B} </math> là cơ sở của tô pô trên <math>Y</math>. Khi đó <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> liên tục nếu và chỉ nếu <math>f^{-1}(B)</math> là mở trong <math>X</math> với mọi <math>B \in \mathbb{B}</math>.
  • Cho <math>\mathbb{R}</math> với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức <math>p\,:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}</math> với <math>p(x)\,=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a+0</math> là liên tục.
  • Giả sử <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> là liên tục. Nếu dãy <math>(x_{1},\, x_{2},\,...)</math> trong <math>X</math> hội tụ về <math>x</math> khi đó dãy <math>(f(x_{1}),\, f(x_{2}),\,...)</math> trong <math>Y</math> hội tụ về <math>f(x)</math>.
  • Cho <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> và <math>g\,\,:\, Y\,\rightarrow\, Z</math> liên tục. Khi đó hàm hợp <math>g\,\circ\, f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Z</math> là liên tục.
  • Cho <math>X, Y</math> là hai không gian tô pô, <math>A</math> là không gian con của <math>X</math>. Cho <math>f\,:\, X\rightarrow Y</math> liên tục. Khi đó <math>f|_{A}\,:\, A\rightarrow Y</math> liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông[7]

Liên tục trong không gian tô pô compact[7]

  • Cho <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> liên tục, nếu <math>X</math> compact thì <math>f(X)</math> compact.
  • Cho <math>X</math> compact và <math>f\,:\, X\rightarrow\mathbb{R}</math> là liên tục, khi đó <math>f</math> có giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên <math>X</math>, hay tồn tại <math>a,\, b\in X</math> sao cho <math>f(a)\leq f(x)\leq f(b)</math> với mọi <math>x\in X</math>.
  • Cho <math>[a,\, b]</math> là khoảng đóngbị chặn trong <math>\mathbb{R}</math>. Giả sử <math>f\,:\,[a,\, b]\rightarrow\mathbb{R}</math> là liên tục. Khi đó ảnh của <math>f</math> là khoảng đóngbị chặn trong <math>\mathbb{R}</math>.

nhỏ|400px|Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ <math>f, g, h</math> đi từ không gian tô pô <math>X</math> vào không gian tô pô <math>Y</math>

nhỏ|400px|Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví Dụ

Ví dụ 1: Cho <math>X=\{a,b,c,d\}</math> và <math>Y=\{1,2,3\}</math> là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với <math>f,g,h\,:\, X\,\rightarrow Y</math> xác định:
<math>f(a)=1,\, f(b)=1,\, f(c)=2,\, f(d)=2</math>
<math>g(a)=2,\, g(b)=2,\, g(c)=1,\, g(d)=3</math>
<math>h(a)=1,\, h(b)=2,\, h(c)=2,\, h(d)=3</math>
Có <math>f, g</math> liên tục và <math>h</math> không liên tục.
Ví dụ 2: Xét <math>(a,b)</math> với <math>a<b</math> và <math>a,b\in\mathbb{R}</math>, có <math>\mathbb{B}=\{(x,b)|x\in(a,b)\}</math> và <math>\mathbb{B}^{'}=\{(a,y)|y\in(a,b)\}</math> là hai cơ sở. Ánh xạ
<math>f\,:\, z\rightarrow b-z+a</math> với <math>z\in(a,x),x\in(a,b)</math>biến mỗi phần tử trong <math>\mathbb{B}^{'}</math> thành một phần tử trong <math>\mathbb{B}</math> là ánh xạ ngược của ánh xạ
<math>g\,:\, z^{'}\rightarrow b-z^{'}+a</math> với <math>z^{'}\in(x,b),x\in(a,b)</math>
Ánh xạ <math>g</math> liên tục.

Xem thêm

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)

Cho <math>X</math> là không gian tô pô, <math>A, B</math> là hai tập con đóng của <math>X</math> sao cho <math>A \cup B = X</math>. Giả sử rẳng <math>f\,\,:\, A\,\rightarrow\, Y</math> và <math>g\,\,:\, Y\,\rightarrow\, Y</math> là liên tục và <math>f(x)=g(x)\,\,\,\forall x\,\in\, A\cap B</math>. Khi đó <math>h\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> xác định bởi:
<math>h(x)=\begin{cases}

f(x), x\in A\\ g(x), x\in B \end{cases}</math> thì <math>h</math> liên tục trên <math>X</math>.

Liên tục thông qua lưới

Cho <math>X, Y</math> là 2 không gian tô pô. Khi đó <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> là liên tục tại <math>x</math> nếu và chỉ nếu khi nào có lưới <math>n</math> trong <math>X</math> hội tụ về <math>x</math>, thì lưới <math>f\circ n</math> hội tụ về <math>f(x)</math>.
Viết theo ký hiệu quen thuộc: <math>f</math> liên tục tại <math>x</math> nếu và chỉ nếu với mọi lưới <math>x_{i}\rightarrow x\,\Rightarrow f(x_{i})\,\rightarrow\, f(x)</math>.

Liên tục trên không gian tích

  • Cho <math>f_{j}\,:\, X_{j}\rightarrow Y_{j}</math>, <math>j\in J</math> là tập chỉ số. Khi đó

<math>\prod f_{j}\,:\,\prod X_{j}\rightarrow\prod Y_{j}</math> là liên tục khi và chỉ khi <math>f_{j}\,:\, X_{j}\rightarrow Y_{j}</math> liên tục với mọi <math>j</math> thuộc <math>J</math>

  • Ánh xạ chiếu <math>\pi_{j}\,:\,\prod X_{j}\rightarrow X_{j}</math> liên tục.
  • Ánh xạ <math>f\,:\, Y\rightarrow\prod_{j\in J}X_{j}</math> liên tục khi và chỉ khi mỗi ánh xạ thành phần <math>f_{j}=\pi_{j}\circ f</math> liên tục.

Ví dụ

Cho hàm <math>h\,:\,\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>, cho bởi:
<math>h(x)=|x|=\begin{cases}

x, x \geq 0\\ -x, x \leq 0 \end{cases}</math>

Mở rộng

Tô pô sinh bởi ánh xạ

  • Cho <math>(X,\tau_{X})</math> là không gian tô pô, <math>Y</math> là một tập, và <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên <math>Y</math> sao cho <math>f</math> liên tục.
Yêu cầu của <math>\tau_{Y}</math> là nếu <math>U \in \tau_{Y}</math> thì <math>f^{-1}(U) \in \tau_{X}</math>
Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy)[8] trên <math>Y</math> thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm <math>f</math> liên tục.
Mặt khác, họ <math>\{U\subset Y\,|\,\, f^{-1}(U)\in\tau_{X}\}</math> là tô pô thực sự trên <math>Y</math>. Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.
  • Cho <math>X</math> là một tập, <math>(Y,\tau_{Y})</math> là không gian tô pô, và <math>f\,\,:\, X\,\rightarrow\, Y</math> là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên <math>X</math> sao cho <math>f</math> liên tục.
Yêu cầu của <math>\tau_{X}</math> là nếu <math>U \in \tau_{Y}</math> thì <math>f^{-1}(U) \in \tau_{X}</math>.
Tôpô rời rạc trên <math>X</math> là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.
Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ <math>S_Y</math> sinh ra <math>\tau_{Y}</math> thì <math>\tau_{X}</math> được sinh bởi họ <math>\{f^{-1}(U)\,|\,\, U\in S_{Y}\}</math>.

Đồng phôi

nhỏ|250px|Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn

  • Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
  • Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là <math>X\approx Y</math>, nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luân

nhỏ|250px|Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân

  • Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục <math>f</math> và <math>g</math> từ không gian tô pô <math>X</math> vào không gian tô pô <math>Y</math> được định nghĩa là ánh xạ <math>H:\, X\times[0,1]\rightarrow Y</math> từ tích của không gian <math>X</math> với đoạn đơn vị <math>[0,1]</math> vào <math>Y</math> sao cho với mỗi <math>x</math> thuộc <math>X</math> ta có <math>H(x,0)=f(x)</math> và <math>H(x,1)=g(x)</math>.
  • Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của <math>H</math> như là "thời gian", khi đó <math>H</math> mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ <math>f</math> thành ánh xạ <math>g</math>: tại thời điểm <math>0</math> ta có ánh xạ <math>f</math> và tại thời điểm <math>1</math> ta có ánh xạ <math>g</math>.
  • Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ <math>X</math> vào <math>Y</math>. Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu <math>f_{1},\, g_{1}\,:\, X\rightarrow Y</math> là đồng luân và <math>f_{2},\, g_{2}\,:\, Y\rightarrow Z</math> là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng <math>f_{2}\circ f_{1}</math> và <math>g_{2}\circ g_{1}</math>:<math>Y\rightarrow Z</math> là đồng luân

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho <math>f\,:\,(\mathbb{R},\tau)\rightarrow(\mathbb{R}, \text{Euclid})</math> là ánh xạ biến
<math>f\,:\, x\rightarrow x^{2}</math>
Ta thấy <math>\tau=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> là tô pô mịn nhất sao cho <math>f</math> liên tục.
Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân

Tham khảo

Liên kết ngoài

Template:Dẫn chứng trong bài

Thể loại:Toán học tô pô Thể loại:Không gian tô pô Thể loại:Giải tích Thể loại:Loại hàm số