Không gian định chuẩn

Template:Tầm nhìn hẹp Template:Cần biên tập

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.

Sơ lược về không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn

Cho Ekhông gian vectơ trên trường số <math>D</math> và ánh xạ <math>\left\Vert. \right\Vert: E \to \mathbb{R}</math>

Ta nói <math>\left\Vert. \right\Vert </math> là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:

<math>(1).||x||\geq0\quad x\in E;</math>,
<math>(2).||x||=0\Leftrightarrow x=\mathbf{0}</math> nếu x là 1 vector.
<math>(3).||kx||=|k|.||x||;\quad\forall x\in E,k\in\mathbb{R} </math>
<math>(4).||x+y||\leq||x||+||y||,\quad\forall x,y\in E </math>

Nếu <math>\left\Vert. \right\Vert </math> là chuẩn trên E, ta nói <math> (E,\left\Vert. \right\Vert)</math> là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn). [1]

Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức: <math>\left\Vert x \right\Vert:= \sup_{x\in E, \left\vert x \right\vert=1} \left \{|x_i|\right\}</math> và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.

Một số ví dụ về chuẩn

  • Không gian <math>\R^2</math> với các metric:
    <math>d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|</math>
    <math>d_2(x,y) = [(x_1 - y_1)</math>2<math> + (x_2 - y_2)</math>2<math>]</math>1/2
    <math>d_{\infty}(x,y) = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}</math>

lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

<math>\left\Vert x-y \right\Vert _1 = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|</math>
<math>\left\Vert x-y \right\Vert _2 = [(x_1 - y_1)</math>2<math> + (x_2 - y_2)</math>2<math>]</math>1/2
<math>\left\Vert x-y \right\Vert _{\infty} = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}</math>
  • Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn <math>\left\Vert \right\Vert _p</math> sau;

Khi p=1;

<math> \|f\|_p = \left(\int_0^1 |f(t)| dt\right)</math>

Khi <math> 1 < p < \infty </math>;

<math> \|f\|_p = \left(\int_0^1 |f(t)|^p dt\right)^{1/p}</math>

Khi <math> p = \infty </math>;

<math> \|f\|_p = \inf \lbrace{ \lambda: |f(x)|\leq \lambda \qquad h.k.n \rbrace}</math>
  • Không gian các hàm liên tục f từ <math>\mathbb{R}^m</math> vào <math>\mathbb{R}^n</math> và khả tích với chuẩn <math>\left\Vert \right\Vert</math> sau;

Khi n=1;

<math> \|f\| = \left(\int_0^1 |f(t)| dt\right)</math>

Khi <math> 1 < n < \infty </math>;

<math> \|f\| = \left(\int_0^1 \sum_{k=1}^n(f_{k}(t))^2 dt\right)^{1/2}</math>

Khi <math> n = \infty </math>;

<math> \|f\|= \sup \lbrace{ |f_{k}(x)|: x\in \mathbb{R}^m, k\in \mathbb{N} \rbrace}</math>

Trong đó

<math> x=(x_1,...,x_m), f=(f_1(x),...,f_n(x))</math>
<math>\lbrace{f_i(x) \rbrace}_{1\leq i \leq n}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math>,
<math>x_i \in \mathbb{R}, \qquad \forall i \in \overline{1,..,m}</math>

Các định nghĩa, định lý liên quan khác

Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric

Cho <math>(E,d(.,.))</math> là không gian mêtric, ta nói chuẩn <math>\left\Vert \right\Vert </math> tạo bởi metric <math>d(.,.)</math> tức là:

<math>\left\Vert x-y \right\Vert = d(x,y)</math>,<math>\qquad</math> <math>\forall x,y \in E</math>

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóng

Cho <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> là không gian định chuẩn; <math>a\in E </math> và <math> r>0</math>.

<math>B(a,r)=\left\{ x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert <r\right\} </math>

<math>B'(a,r)=\left\{ x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert \leq r\right\} </math>

Khi đó ta gọi <math>B(a,r)</math> và <math>B'(a,r)</math> lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm <math>a</math> bán kính r trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> [2]

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật

Cho <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> là không gian định chuẩn; <math>a\in E </math> và <math> A \subset E</math>.

Ta nói:

<math>A</math> là tập mở trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> nếu có họ các quả cầu mở <math>\lbrace{ B(a_i,r_i) \rbrace}_{i\in I}</math> trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> sao cho:

<math> A=\cup_{i \in I}B(a_i,r_i) </math>.

<math>A</math> là tập đóng trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> nếu <math> E - A </math> là tập mở trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math>.

<math>A</math> là tập bị chận trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> nếu có quả cầu đóng <math> B'(a_i,r_i)</math> trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> sao cho:

<math> A \subset B'(a_i,r_i) </math>.[3]

<math>A</math> là tập trù mật trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> nếu <math> cl(A) = E </math> [4]

Liên tục

Cho <math>A</math> là tập con trong không gian định chuẩn <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert_{E} \right)</math> <math>x\in A</math> và <math>f: A\rightarrow\left(F,\left\Vert.\right\Vert _{F}\right)</math>.

Ta nói:

<math>f</math> liên tục tại <math>x</math> nếu <math>\forall \epsilon >0</math>, <math>\exists \delta >0</math> sao cho <math>\left\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\Vert <\epsilon</math>,<math>\qquad \forall y\in A</math>, <math>y\in B(x,\delta)</math>

<math>f</math> liên tục trên <math>A</math> nếu <math>f</math> liên tục tại mọi <math>y \in A</math> [5]

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

<math>f</math> liên tục trên <math>A</math> nếu và chỉ nếu với mọi tập mở <math>V</math> trong <math>F</math> có tập mở <math>U</math> trong <math>E</math> sao cho

<math>f^{-1}(V)=A \cap U</math> [6]

Dãy hội tụ, Cauchy

Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt <math>x_n=f(n)</math>; <math>\forall n \in \mathbb{N} </math> và cho <math>a \in E</math>.

Khi đó <math>\lbrace{x_n \rbrace} </math> là dãy trong <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math>.

Dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> là dãy hội tụ về <math>a</math> trong <math>E</math> nếu và chỉ nếu:

<math>\forall \epsilon > 0 </math>, ta tìm được <math> N (\epsilon) \in \mathbb{N} </math> sao cho <math> \left\Vert x_n - a \right\Vert < \epsilon; \qquad \forall n > N (\epsilon) </math>

Lúc đó, <math>a</math> là giới hạn của dãy <math>\lbrace{x_n \rbrace} </math>.

Dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> là dãy Cauchy trong <math>E</math> nếu và chỉ nếu:

<math>\forall \epsilon > 0 </math>, ta tìm được <math> N (\epsilon) \in \mathbb{N} </math> sao cho <math> \left\Vert x_n - x_m \right\Vert < \epsilon; \qquad \forall n >m> N (\epsilon) </math>

Nếu dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> là dãy hội tụ trong <math>E</math> thì nó sẽ Cauchy trong <math>E</math>.

Nếu mọi dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> thì <math>E</math> là không gian Banach.[7]

Ví dụ:

Dãy <math> \lbrace{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\rbrace}</math> trong <math>\mathbb{R}</math> \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong <math>\mathbb{R}</math>\ 0 với không gian định chuẩn <math>\left(\mathbb{R},\left\Vert \right\Vert \right)</math> (<math>\left\Vert x-y \right\Vert = |x-y|</math>).

Chuẩn tương đương

Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau: Cho 2 chuẩn <math> \left\Vert.\right\Vert _{1},\left\Vert.\right\Vert _{2}</math> trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại <math>\alpha, \beta >0 </math> sao cho:

<math> \alpha\left\Vert u\right\Vert _{1}\leq\left\Vert u\right\Vert _{2}\leq\beta\left\Vert u\right\Vert _{1} </math>

với mọi <math> u \in E </math> [8]

Ví dụ Với các chuẩn sau trên <math>\mathbb{R}^{n}</math> sau:

<math> \left\Vert x\right\Vert _{2}=\left(\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}x_{k}^{2}\right)^{1/2} </math>
<math> \left\Vert x\right\Vert _{1}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\left|x_{k}\right| </math>
<math> \left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\underset{k=1,2,...,n}{\max}\left|x_{k}\right| </math>

trong đó <math>x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n} </math>. Ta có:

<math> \left\Vert x\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert x\right\Vert _{2}\leq\left\Vert x\right\Vert _{1}\leq n\left\Vert x\right\Vert _{\infty} </math>

Xem thêm

Chú thích

  1. Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, trang 9
  2. Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.8, trang 11
  3. Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 11
  4. Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 12
  5. Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.11, trang 13
  6. Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 13
  7. ương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 10
  8. Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008, trang 55

Tham khảo

  • Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008
  • Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005
  • Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology [1]. Ho Chi Minh city University of Science

Thể loại:Đại số tuyến tính Thể loại:Giải tích Thể loại:Toán học tô pô