Số thực
Trong toán học, các số thực (tiếng Anh: real numbers) có thể được mô tả một cách không chính thức theo nhiều cách. Số thực bao gồm cả số dương, số 0 và số âm, số hữu tỉ, chẳng hạn <math>42</math> và <math>-\,\frac{23}{129}</math>, và số vô tỉ, chẳng hạn số pi và căn bậc hai của <math>2</math>; số thực có thể được xem là các điểm nằm trên một trục số dài vô hạn.[1]
Như vậy, số thực là số được định nghĩa từ các thành phần của chính nó, trong đó tập hợp số thực được coi như là hợp của tập hợp các số vô tỉ với tập hợp số hữu tỉ. Số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt. Tập hợp số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp số phức.
Contents
Tính chất
Tập hợp số thực là tập hợp của số hữu tỉ (bao gồm số nguyên và số thập phân): <math>1;\,-\,1;\,0,1;\,21,2323232323\,...</math> (số thập phân vô hạn tuần hoàn) và số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn): <math>\pi \left (3,141592\,...\right),\,\sqrt{2} \left (1,414213\,...\right)</math>. Như vậy, số thực chỉ là tên gọi chung của những số trên. Có thể coi số thực là đại số, số siêu việt,....Phân biệt số thực với Số phức.[2]
Các phép toán
- <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\mapsto\,\mathbb{R}</math>: Phép cộng là đóng trên <math>\mathbb{R}</math>
- <math>\left (a,\,b \right)\,\mapsto\,a+ b</math>
Sao cho:
- <math>\forall\,\,a\,\in\,\mathbb{R}: a+ 0= a</math>
- <math>\forall\,\,a,\,b\,\in\,\mathbb{R}: a+ b= \left(a+ b \right)</math>
Có thể thấy phép cộng xác định như trên là tồn tại và duy nhất.
Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh được rằng:
- <math>\forall\,\,a,\,b\,\in\,\mathbb{R}: a+ b= b+ a</math>
- <math>\forall\,\,a,\,b,\,c\,\in\,\mathbb{R}: \left (a+ b \right)+ c= a+ \left (b+ c \right)</math>
- <math>\forall\,\,a,\,b,\,c\,\in\,\mathbb{R}: a+ c= b+ c\,\Rightarrow\,a= b </math>
Giá trị tuyệt đối
Các tập hợp số
- <math>\mathbb{N} </math>: Tập hợp số tự nhiên (Natural numbers)
- <math>\mathbb{Z} </math>: Tập hợp số nguyên (Integers)
- <math>\mathbb{Q} </math>: Tập hợp số hữu tỉ (Rational numbers)
- <math>\mathbb{I}= \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} </math>: Tập hợp số vô tỉ (Irrational numbers)
- <math>\mathbb{R} </math>: Tập hợp số thực (Real numbers)
Ngoài ra, một số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt.
Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức <math>x = a + bi</math>, khi hệ số <math>b = 0</math>
Các tập hợp con trên Tập hợp các số thực
Khoảng:
<math>\mathbb{R}= \left (- \infty,\, \infty \right) </math>
Ví dụ:
<math>x \in \mathbb{N}^{*} \Leftrightarrow\,x \in \left (0,\,\infty \right) </math>
Đoạn:
<math>\text{A}= \left [3,\,5 \right ]\,\Leftrightarrow\,\text{A}= \left \{x \mid 3\leq x\leq 5\right \} </math>
Nửa khoảng:
<math>x \in \mathbb{N}\,\Leftrightarrow\,x \in \left [0,\,\infty \right) </math>
Chú ý:
∞ đọc là vô cực.
Xem thêm
Tham khảo
- ↑ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1.
- ↑ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, p. 127, ISBN 9781400866793,
Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work
Liên kết ngoài
- Số thực tại MathWorld.Template:Hệ thống số
Template:Kiểm soát tính nhất quán
Thể loại:Lý thuyết tập hợp Thể loại:Toán học sơ cấp
.svg&action=edit&redlink=1){kind=link}