Số thực

Kí hiệu tập hợp số thực (ℝ)

Trong toán học, các số thực (tiếng Anh: real numbers) có thể được mô tả một cách không chính thức theo nhiều cách. Số thực bao gồm cả số dương, số 0số âm, số hữu tỉ, chẳng hạn <math>42</math> và <math>-\,\frac{23}{129}</math>, và số vô tỉ, chẳng hạn số picăn bậc hai của <math>2</math>; số thực có thể được xem là các điểm nằm trên một trục số dài vô hạn.[1]

Như vậy, số thựcsố được định nghĩa từ các thành phần của chính nó, trong đó tập hợp số thực được coi như là hợp của tập hợp các số vô tỉ với tập hợp số hữu tỉ. Số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt. Tập hợp số thực được đặt làm đối trọng với tập hợp số phức.

Số thực có thể được coi là một điểm trên một dòng dài vô cực

Tính chất

Tập hợp số thực là tập hợp của số hữu tỉ (bao gồm số nguyên và số thập phân): <math>1;\,-\,1;\,0,1;\,21,2323232323\,...</math> (số thập phân vô hạn tuần hoàn) và số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn): <math>\pi \left (3,141592\,...\right),\,\sqrt{2} \left (1,414213\,...\right)</math>. Như vậy, số thực chỉ là tên gọi chung của những số trên. Có thể coi số thực là đại số, số siêu việt,....Phân biệt số thực với Số phức.[2]

Các phép toán

<math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,\mapsto\,\mathbb{R}</math>: Phép cộng là đóng trên <math>\mathbb{R}</math>
<math>\left (a,\,b \right)\,\mapsto\,a+ b</math>

Sao cho:

<math>\forall\,\,a\,\in\,\mathbb{R}: a+ 0= a</math>
<math>\forall\,\,a,\,b\,\in\,\mathbb{R}: a+ b= \left(a+ b \right)</math>

Có thể thấy phép cộng xác định như trên là tồn tại và duy nhất.

Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh được rằng:

  1. <math>\forall\,\,a,\,b\,\in\,\mathbb{R}: a+ b= b+ a</math>
  2. <math>\forall\,\,a,\,b,\,c\,\in\,\mathbb{R}: \left (a+ b \right)+ c= a+ \left (b+ c \right)</math>
  3. <math>\forall\,\,a,\,b,\,c\,\in\,\mathbb{R}: a+ c= b+ c\,\Rightarrow\,a= b </math>

Giá trị tuyệt đối

Template:Chính

Các tập hợp số

phải|khung|Tập hợp số thực

<math>\mathbb{N} </math>: Tập hợp số tự nhiên (Natural numbers)
<math>\mathbb{Z} </math>: Tập hợp số nguyên (Integers)
<math>\mathbb{Q} </math>: Tập hợp số hữu tỉ (Rational numbers)
<math>\mathbb{I}= \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} </math>: Tập hợp số vô tỉ (Irrational numbers)
<math>\mathbb{R} </math>: Tập hợp số thực (Real numbers)

Ngoài ra, một số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt.

Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức <math>x = a + bi</math>, khi hệ số <math>b = 0</math>

Các tập hợp con trên Tập hợp các số thực

Khoảng:

<math>\mathbb{R}= \left (- \infty,\, \infty \right) </math>

Ví dụ:

<math>x \in \mathbb{N}^{*} \Leftrightarrow\,x \in \left (0,\,\infty \right) </math>

Đoạn:

<math>\text{A}= \left [3,\,5 \right ]\,\Leftrightarrow\,\text{A}= \left \{x \mid 3\leq x\leq 5\right \} </math>

Nửa khoảng:

<math>x \in \mathbb{N}\,\Leftrightarrow\,x \in \left [0,\,\infty \right) </math>

Chú ý:

∞ đọc là vô cực.

Xem thêm

Tham khảo

  1. T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–1. 
  2. Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, p. 127, ISBN 9781400866793Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work

Liên kết ngoài

Template:Thể loại Commons

Template:Kiểm soát tính nhất quán

Thể loại:Lý thuyết tập hợp Thể loại:Toán học sơ cấp