Trường (đại số)

(Redirected from Trường (toán học))

Template:Chú thích trong bài Template:Bài cùng tên Template:Cấu trúc đại số Trường cùng với nhómvành là các cấu trúc đại số cơ bản trong đại số trừu tượng.

Khái niệm

Trường (đại số) là một tập <math>F</math> trên đó có hai phép toán cộngnhân thỏa mãn:

  1. <math>F</math> là nhóm giao hoán với phép cộng
  2. <math>F</math> là nhóm giao hoán với phép nhân
  3. Trên <math>F</math>, phép nhân phân phối với phép cộng

Chi tiết hơn các điều kiện trên, ta có thể kể ra các tiên đề của trường như sau:

Trường là một tập hợp <math>F \ne \emptyset</math> trên đó xác định hai phép toán cộng và nhân:

Phép cộng (+): <math>F \times F \to F: (a,b) \mapsto a+b</math>
Phép nhân (×): <math>F \times F \to F: (a,b) \mapsto a \cdot b</math>
thoả mãn các tiên đề sau:
  1. Phép cộng có tính kết hợp: <math>\forall a,b,c \in F, (a+b)+c = a+(b+c)</math>;
  2. Phép cộng có tính giao hoán: <math>\forall a,b \in F, a+b=b+a</math>;
  3. Tồn tại phần tử 0: <math>\exists 0 \in F, \forall a\in F, a+0=0+a=a</math>;
  4. Tồn tại phần tử đối: <math>\forall a \in F, \exists (-a) \in F, a+(-a)=(-a)+a=0</math>;
  5. Phép nhân có tính kết hợp: <math>\forall a,b,c \in F, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>;
  6. Phép nhân có tính giao hoán: <math>\forall a, b \in F, a \cdot b = b \cdot a</math>;
  7. Tồn tại phần tử đơn vị: <math>\exists 1 \in F, 1 \ne 0, \forall a \in F, a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>;
  8. Tồn tại phần tử nghịch đảo: <math>\forall a \in F, a \ne 0, \exists a^{-1} \in F, a^{-1} \cdot a = a \cdot a^{-1} = 1</math>;
  9. Phép nhân phân phối với phép cộng: <math>\forall a,b,c \in F, a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c</math>.

Ví dụ

Các trường hữu hạn có vai trò to lớn trong lý thuyết Galois.
  • Trường có ít phần tử nhất là trường chỉ gồm duy nhất một phần tử 0. Tiếp theo là trường chỉ gồm hai phần tử 0 và 1 với phép cộng và phép nhân modulo 2.

Các trường hợp không phải là trường

  • Mọi tập <math>{\mathbb Z}_n</math> với phép cộng và phép nhân module n trong đó n là hợp số không là một trường.

Trường con

Giả sử F là một trường. Tập con E <math>\subset</math> F được gọi là trường con của F nếu chính E là một trường với cùng phép toán trong F. Định lý: Cho F là một trường và tập con E <math>\subset</math> F có nhiều hơn một phần tử. Các điều kiện sau là tương đương.

  1. E là trường con của F
  2. <math>\forall a,b \in E: a+b \in E, a.b \in E, -a \in E</math> và nếu <math>a \ne 0: a^{-1} \in E</math>
  3. <math>\forall a,b \in E: a-b \in E</math> và nếu <math>b \ne 0: a.b^{-1} \in E</math>
  • Ví dụ:
    • Trường số hữu tỷ <math>\mathbb Q</math> là trường con của trường số thực, <math>\mathbb R</math> trường số thực là trường con của trường số phức <math>\mathbb C</math>.
    • Tập A <math>\subset \mathbb R</math>
A= <math>\left \{ a + b.\sqrt 2 \;|\; a,b \in \mathbb Q \right \}</math>
là trường con của <math>\mathbb R</math>.
    • Tập các ma trận cấp 2 dạng
<math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math>
với phép cộng và nhân ma trận là một trường và tập các ma trận dạng
<math>\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}</math> là trường con của nó.

Nhưng đôi khi E không phải là trường con của F nếu <math>E\subset \mathbb{Z}</math> và F là một trường.

Trường các thương

Xem thêm

Tham khảo

Liên kết ngoài

Template:Sơ thảo toán học Template:Toán học Template:Đại số Template:Kiểm soát tính nhất quán

Thể loại:Lý thuyết trường Thể loại:Cấu trúc đại số