[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/hahn-banach-theorem-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/hahn-banach-theorem-wikipedia\/","headline":"Hahn-Banach-Theorem – Wikipedia","name":"Hahn-Banach-Theorem – Wikipedia","description":"before-content-x4 Satz zur Erweiterung begrenzter linearer Funktionale after-content-x4 Das Hahn-Banach-Theorem ist ein zentrales Werkzeug in der Funktionsanalyse (ein Bereich der","datePublished":"2020-12-24","dateModified":"2020-12-24","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a4992f633c2f6603dba35020244b690ebdbd52c4","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a4992f633c2f6603dba35020244b690ebdbd52c4","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/hahn-banach-theorem-wikipedia\/","wordCount":16062,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Satz zur Erweiterung begrenzter linearer Funktionale       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Das Hahn-Banach-Theorem ist ein zentrales Werkzeug in der Funktionsanalyse (ein Bereich der Mathematik).  Es erm\u00f6glicht die Erweiterung von begrenzten linearen Funktionalen, die in einem Unterraum eines Vektorraums definiert sind, auf den gesamten Raum und zeigt auch, dass in jedem normierten Vektorraum “gen\u00fcgend” kontinuierliche lineare Funktionale definiert sind, um das Studium des dualen Raums interessant zu machen “.  Eine andere Version des Hahn-Banach-Theorems ist als bekannt Hahn-Banach-Trennungssatz oder der Hyperebenentrennungssatz und hat zahlreiche Verwendungen in der konvexen Geometrie.Table of ContentsGeschichte[edit]Hahn-Banach-Theorem[edit]Beweis[edit]In lokal konvexen R\u00e4umen[edit]Beziehung zum Axiom der Wahl[edit]“Geometrischer Hahn-Banach” (die Hahn-Banach-Trennungss\u00e4tze)[edit]Unterst\u00fctzende Hyperebenen[edit]Ausgewogene oder disked Nachbarschaften[edit]Anwendungen[edit]Partielle Differentialgleichungen[edit]Charakterisierung reflexiver Banachr\u00e4ume[edit]Beispiel aus der Fredholm-Theorie[edit]Verallgemeinerungen[edit]F\u00fcr Seminorms[edit]Geometrische Trennung[edit]Maximale lineare Ausdehnung[edit]Vektor bewertet Hahn-Banach[edit]F\u00fcr nichtlineare Funktionen[edit]Umgekehrt[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Geschichte[edit]Der Satz ist nach den Mathematikern Hans Hahn und Stefan Banach benannt, die ihn Ende der 1920er Jahre unabh\u00e4ngig voneinander bewiesen haben.  Der Sonderfall des Satzes f\u00fcr den Raum        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4C.[a,b]{ displaystyle {C} { left[a,bright]}}  von kontinuierlichen Funktionen in einem Intervall wurde fr\u00fcher (1912) von Eduard Helly bewiesen,[1]  und ein allgemeinerer Erweiterungssatz, der M. Riesz-Erweiterungssatz, aus dem der Hahn-Banach-Satz abgeleitet werden kann, wurde 1923 von Marcel Riesz bewiesen.[2]Das erste Hahn-Banach-Theorem wurde 1921 von Eduard Helly bewiesen, der zeigte, dass bestimmte lineare Funktionale in einem Unterraum eines bestimmten Typs eines normierten Raums definiert sind (C.N.{ displaystyle  mathbb {C} ^ { mathbb {N}}}) hatte eine Erweiterung der gleichen Norm.  Helly tat dies durch die Technik, zuerst zu beweisen, dass eine eindimensionale Erweiterung existiert (wobei die Dom\u00e4ne der linearen Funktion um eine Dimension erweitert ist) und dann Induktion zu verwenden.  1927 definierte Hahn allgemeine Banach-R\u00e4ume und verwendete Hellys Technik, um eine normbewahrende Version des Hahn-Banach-Theorems f\u00fcr Banach-R\u00e4ume zu beweisen (wobei eine begrenzte lineare Funktion in einem Unterraum eine begrenzte lineare Ausdehnung derselben Norm auf den gesamten Raum hat).  1929 verallgemeinerte Banach, der Hahns Ergebnis nicht kannte, es, indem er die normbewahrende Version durch die dominierte Erweiterungsversion ersetzte, die sublineare Funktionen verwendet.  W\u00e4hrend Hellys Beweis die mathematische Induktion verwendete, verwendeten Hahn und Banach beide die transfinite Induktion.Das Hahn-Banach-Theorem entstand aus Versuchen, unendliche lineare Gleichungssysteme zu l\u00f6sen.  Dies ist erforderlich, um Probleme wie das Momentproblem zu l\u00f6sen, wobei bei allen m\u00f6glichen Momenten einer Funktion festgestellt werden muss, ob eine Funktion mit diesen Momenten existiert, und wenn ja, anhand dieser Momente gefunden werden muss.  Ein weiteres solches Problem ist das Fourier-Cosinus-Reihenproblem, bei dem man bei allen m\u00f6glichen Fourier-Cosinus-Koeffizienten bestimmen muss, ob eine Funktion mit diesen Koeffizienten existiert, und sie erneut finden muss, wenn dies der Fall ist.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Riesz und Helly l\u00f6sten das Problem f\u00fcr bestimmte Raumklassen (wie z. B. L.p(([0, 1]) und C([a, b])) wo sie entdeckten, dass die Existenz einer L\u00f6sung der Existenz und Kontinuit\u00e4t bestimmter linearer Funktionale entspricht.  Tats\u00e4chlich mussten sie das folgende Problem l\u00f6sen:((Das Vektorproblem) Eine Sammlung gegeben ((fich)ich\u2208ich{ displaystyle  left (f_ {i}  right) _ {i  in I}}  von begrenzten linearen Funktionalen auf einem normierten Raum X. und eine Sammlung von Skalaren ((cich)ich\u2208ich{ displaystyle  left (c_ {i}  right) _ {i  in I}}, stellen Sie fest, ob es eine gibt x \u2208 X.  so dass fich((x) = cich  f\u00fcr alle ich \u2208 ich.Um dies zu l\u00f6sen, wenn X. ist reflexiv, dann reicht es aus, das folgende doppelte Problem zu l\u00f6sen:((Das Funktionsproblem) Eine Sammlung gegeben ((xich)ich\u2208ich{ displaystyle  left (x_ {i}  right) _ {i  in I}}  von Vektoren in einem normierten Raum X. und eine Sammlung von Skalaren ((cich)ich\u2208ich{ displaystyle  left (c_ {i}  right) _ {i  in I}}, bestimmen, ob es eine begrenzte lineare Funktion gibt f auf X. so dass f((xich) = cich  f\u00fcr alle ich \u2208 ich.Riesz fuhr fort zu definieren L.p(([0, 1]) ((1 p  0 so dass f\u00fcr jede Wahl von Skalaren ((sich)ich \u2208 ich  wo alle aber endlich viele sich  sind 0, haben wir unbedingt|\u2211ich\u2208ichsichcich|\u2264K.\u2016\u2211ich\u2208ichsichxich\u2016.{ displaystyle  left |  sum _ {i  in I} s_ {i} c_ {i}  right |  leq K  left  |  sum _ {i  in I} s_ {i} x_ {i}  right  |.}Man kann den obigen Satz verwenden, um den Hahn-Banach-Satz abzuleiten.  Wenn X. ist reflexiv, dann l\u00f6st dieser Satz das Vektorproblem.Hahn-Banach-Theorem[edit]Satz (Hahn-Banach)[4] – – einstellen \ud835\udd42 entweder sein \u211d oder \u2102 und lass X. sei ein \ud835\udd42-Vektorraum.  Wenn f :: M. \u2192 \ud835\udd42 ist ein \ud835\udd42-lineare Funktion auf a \ud835\udd42-linearer Unterraum M. und p :: X. \u2192 \u211d eine nichtnegative, sublineare Funktion, so dass|f((m)|  \u2264 p((m)     f\u00fcr alle m \u2208 M..dann gibt es eine \ud835\udd42-linear  F. :: X. \u2192 \ud835\udd42 so dassF.((m) = f((m)     f\u00fcr alle m \u2208 M.,|F.((x)|  \u2264 p((x)     f\u00fcr alle x \u2208 X..Die Erweiterung F. wird im Allgemeinen nicht eindeutig durch angegeben f und der Beweis gibt keine explizite Methode, wie man findet F..Es ist m\u00f6glich, die Subadditivit\u00e4tsbedingung ein wenig zu lockern pund erfordert nur das f\u00fcr alle x, y \u2208 X.  und alle Skalare ein und b befriedigend |ein|  + |b|  \u2264 1,p((Axt + durch) \u2264 |ein| p((x) + |b| p((y) .Es ist weiterhin m\u00f6glich, die positive Homogenit\u00e4t und die Subadditivit\u00e4tsbedingungen weiter zu lockern p, nur das erforderlich p ist konvex.Das Mizar-Projekt hat den Beweis des Hahn-Banach-Theorems in der HAHNBAN-Datei vollst\u00e4ndig formalisiert und automatisch \u00fcberpr\u00fcft.[7]Beweis[edit]In dem komplexen Fall ist die \u2102-linearit\u00e4tsannahmen verlangen das M.=N.+Ni  f\u00fcr einen realen Vektorraum N..  Dar\u00fcber hinaus f\u00fcr jeden Vektor x \u2208 N., f((ix) = wenn((x).  Somit bestimmt der Realteil einer linearen Funktion bereits das Verhalten der linearen Funktion als Ganzes, und es wird ausreichen, den Realfall zu beweisen.Zuerst notieren wir Hellys erstes Ergebnis: wenn M. hat Codimension 1, dann ist Hahn-Banach einfach.Lemma (Eindimensional dominierter Erweiterungssatz) – – Lassen X. sei ein realer Vektorraum, p :: X. \u2192 \u211d eine sublineare Funktion, f :: M. \u2192 \u211d eine lineare Funktion auf einem geeigneten Vektorunterraum M. \u2286 X.  so dass f \u2264 p  auf M. (dh f((m) \u2264 p((m) f\u00fcr alle m \u2208 M.), und x \u2208 X.  ein Vektor nicht im M..  Es gibt eine lineare Erweiterung F. :: M. \u2295 \u211dx \u2192 \u211d von f zu M. \u2295 \u211dx = span { M., x} so dass F. \u2264 p  auf M. \u2295 \u211dx.Beweis – – Um dieses Lemma zu beweisen, lassen Sie m, n \u2208 M..  Durch die Linearit\u00e4tseigenschaften unserer Funktionen,– –p(-x – – n) – f((n) \u2264 p((m + x) – f((m).Insbesondere lassenein = supn\u2208M.{ displaystyle  sup _ {n  in M}} [  \u2212p(\u2212x \u2212 n) \u2212 f(n)], und b = infm\u2208M.{ displaystyle  inf _ {m  in M}} [p(m + x) \u2212 f(m)]Dann schlie\u00dfen wir “die entscheidende Ungleichung”, die f\u00fcr jeden ein\u2264b.  Also lass c \u2208 [a, b]  und definieren F.((m + rx) =f((m) + rc;;  dannF.((m + rx) \u2264p((m) + rc\u2264p((m+rx)Die umgekehrte Ungleichung ist \u00e4hnlich.Wenden Sie nun Zorns Lemma an: die m\u00f6glichen Erweiterungen von f sind teilweise durch Erweiterung voneinander geordnet, so dass es eine maximale Erweiterung gibt F..  Durch das Codimension-1-Ergebnis, wenn F. ist nicht f\u00fcr alle definiert X., dann kann es weiter ausgebaut werden.  So F. muss \u00fcberall definiert werden, wie behauptet.In lokal konvexen R\u00e4umen[edit]In der obigen Form muss die zu erweiternde Funktion bereits durch eine sublineare Funktion begrenzt sein.  In einigen Anwendungen k\u00f6nnte dies nahe daran sein, die Frage zu stellen.  In lokal konvexen R\u00e4umen ist jedoch jede kontinuierliche Funktion bereits durch die Norm begrenzt, die sublinear ist.  Man hat alsoKontinuierliche Erweiterungen auf lokal konvexen R\u00e4umen – – Lassen X. lokal konvexer topologischer Vektorraum \u00fcber \ud835\udd42 (entweder \u211d oder \u2102) sein, M. ein Vektor-Unterraum von X., und f eine kontinuierliche lineare Funktion auf M..  Dort f hat eine kontinuierliche lineare Ausdehnung auf alle X..  Wenn die Topologie aktiviert ist X. ergibt sich aus einer Norm, dann der Norm von f wird durch diese Erweiterung erhalten.In kategorietheoretischen Begriffen das Feld \ud835\udd42 ist ein injektives Objekt in der Kategorie lokal konvexer Vektorr\u00e4ume.Beziehung zum Axiom der Wahl[edit]Der obige Beweis verwendet Zorns Lemma, das dem Axiom der Wahl entspricht.  Es ist jetzt bekannt (siehe unten), dass das Ultrafilter-Lemma (oder gleichwertig das Boolesche Primideal-Theorem), das etwas schw\u00e4cher als das Axiom der Wahl ist, tats\u00e4chlich stark genug ist.Das Hahn-Banach-Theorem entspricht dem Folgenden:[8](\u2217): Auf jeder Booleschen Algebra B. es existiert eine “Wahrscheinlichkeitsladung”, dh: eine nicht konstante endlich additive Karte aus B. in [0, 1].(Der Idealsatz der Booleschen Primzahl entspricht der Aussage, dass es immer nicht konstante Wahrscheinlichkeitsladungen gibt, die nur die Werte 0 und 1 annehmen.)In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre kann man zeigen, dass das Hahn-Banach-Theorem ausreicht, um die Existenz einer nicht-Lebesgue-messbaren Menge abzuleiten.[9]    Dar\u00fcber hinaus impliziert der Hahn-Banach-Satz das Banach-Tarski-Paradoxon.[10]F\u00fcr trennbare Banach-R\u00e4ume haben DK Brown und SG Simpson bewiesen, dass der Hahn-Banach-Satz aus WKL folgt0, ein schwaches Subsystem der Arithmetik zweiter Ordnung, das eine Form von K\u0151nigs Lemma annimmt, das als Axiom auf bin\u00e4re B\u00e4ume beschr\u00e4nkt ist.  Tats\u00e4chlich beweisen sie, dass unter schwachen Annahmen beide \u00e4quivalent sind, ein Beispiel f\u00fcr umgekehrte Mathematik.[11][12]“Geometrischer Hahn-Banach” (die Hahn-Banach-Trennungss\u00e4tze)[edit]Das Schl\u00fcsselelement des Hahn-Banach-Theorems ist im Wesentlichen ein Ergebnis der Trennung zweier konvexer Mengen: {-p(-x – – n) – f((n): n\u2208M. }, und {p((m + x) – f((m): m\u2208M. }.  Diese Art von Argumenten ist in der konvexen Geometrie weit verbreitet.[13]Optimierungstheorie und Wirtschaft.  Zu diesem Zweck abgeleitete Lemmas, die aus dem urspr\u00fcnglichen Hahn-Banach-Theorem abgeleitet wurden, sind als die bekannt Hahn-Banach-Trennungss\u00e4tze.[14][15]Satz[14] – – Lassen X. sei ein realer lokal konvexer topologischer Vektorraum und lass EIN und B. nicht leere konvexe Teilmengen sein.  Wenn Int EIN \u2260 \u2260 und B. \u2229 Int EIN = \u2205 dann existiert eine kontinuierliche lineare Funktion f auf X. so dass sup f((EIN) \u2264 inf f((B.) und f((ein)  0 auf U.Unterst\u00fctzende Hyperebenen[edit]Da Punkte trivial konvex sind, impliziert das geometrische Hahn-Banach, dass Funktionale die Grenze einer Menge erkennen k\u00f6nnen.  Insbesondere lassen X. ein realer topologischer Vektorraum sein und EIN \u2286 X.  konvex sein mit Int EIN \u2260 \u2260.  Wenn ein0\u2208EIN\u2216Int\u2061EIN{ displaystyle a_ {0}  in A  setminus  operatorname {Int} A}  dann gibt es eine Funktion, die bei verschwindet ein0, aber auf der Innenseite von unterst\u00fctzt EIN.[14]Nennen Sie einen normierten Raum X. glatt wenn an jedem Punkt x In seiner Einheitskugel existiert eine einzigartige geschlossene Hyperebene zur Einheitskugel bei x.  K\u00f6the zeigte 1983, dass ein normierter Raum an einem Punkt glatt ist x genau dann, wenn die Norm Gateaux zu diesem Zeitpunkt differenzierbar ist.Ausgewogene oder disked Nachbarschaften[edit]Lassen U. eine konvex ausgeglichene Nachbarschaft von 0 in einem lokal konvexen topologischen Vektorraum sein X. und nehmen an x \u2208 X.  ist kein Element von U..  Dann gibt es eine kontinuierliche lineare Funktion f auf X. so dasssup |f((U.)|  \u2264 |f((x)|.Anwendungen[edit]Das Hahn-Banach-Theorem ist das erste Zeichen einer wichtigen Philosophie in der Funktionsanalyse: Um einen Raum zu verstehen, sollte man seine stetigen Funktionen verstehen.Beispielsweise sind lineare Teilr\u00e4ume durch Funktionale gekennzeichnet: if X. ist ein normierter Vektorraum mit linearem Unterraum M. (nicht unbedingt geschlossen) und wenn z ist ein Element von X. nicht in der Schlie\u00dfung von M.dann existiert eine kontinuierliche lineare Karte f :: X. \u2192 \ud835\udd42 mit f((x) = 0 f\u00fcr alle x im M., f((z) = 1, und ||f||  = dist (z, M.)\u22121.  (Um dies zu sehen, beachten Sie das dist (\u00b7, M) ist eine sublineare Funktion.) Dar\u00fcber hinaus, wenn z ist ein Element von X.dann existiert eine kontinuierliche lineare Karte f :: X. \u2192 \ud835\udd42 so dass f((z) = ||z|| und ||f||  \u2264 1.  Dies impliziert, dass die nat\u00fcrliche Injektion J. aus einem normierten Raum X. in sein doppeltes dual V ”  ist isometrisch.Dieses letzte Ergebnis legt auch nahe, dass das Hahn-Banach-Theorem h\u00e4ufig verwendet werden kann, um eine “sch\u00f6nere” Topologie zu finden, in der gearbeitet werden kann.  Beispielsweise gehen viele Ergebnisse in der Funktionsanalyse davon aus, dass ein Raum Hausdorff oder lokal konvex ist.  Nehmen wir jedoch an X. ist ein topologischer Vektorraum, nicht unbedingt Hausdorff oder lokal konvex, sondern mit einer nicht leeren, richtigen, konvexen, offenen Menge M..  Dann impliziert das geometrische Hahn-Banach, dass sich eine Hyperebene trennt M. von jedem anderen Punkt.  Insbesondere muss eine Funktion ungleich Null vorhanden sein X. – das hei\u00dft, der kontinuierliche duale Raum X.* * ist nicht trivial.  In Anbetracht X. mit der schwachen Topologie induziert durch X.* *, dann X. wird lokal konvex;  Durch die zweite Kugel des geometrischen Hahn-Banach trennt die schwache Topologie dieses neuen Raums Punkte.  So X. mit dieser schwachen Topologie wird Hausdorff.  Dies erm\u00f6glicht manchmal, dass einige Ergebnisse von lokal konvexen topologischen Vektorr\u00e4umen auf nicht-Hausdorff- und nicht-lokal konvexe R\u00e4ume angewendet werden.Partielle Differentialgleichungen[edit]Das Hahn-Banach-Theorem ist oft n\u00fctzlich, wenn man die Methode der a priori-Sch\u00e4tzungen anwenden m\u00f6chte.  Angenommen, wir m\u00f6chten die lineare Differentialgleichung l\u00f6sen Pu = f  zum umit f in einigen Banach Raum gegeben X..  Wenn wir die Gr\u00f6\u00dfe kontrollieren k\u00f6nnen u bez\u00fcglich \u2016F.\u2016X.{ displaystyle  | F  | _ {X}}  und wir k\u00f6nnen daran denken u als begrenzte lineare Funktion auf einem geeigneten Raum von Testfunktionen G, dann k\u00f6nnen wir sehen f als lineare Funktion durch Adjunktion: ((f,G)=((u,P.\u2217G){ displaystyle (f, g) = (u, P ^ {*} g)}.  Diese Funktion wird zun\u00e4chst nur auf dem Bild von definiert P.Mit dem Hahn-Banach-Theorem k\u00f6nnen wir jedoch versuchen, es auf die gesamte Codom\u00e4ne auszudehnen X..  Die resultierende Funktion wird oft als schwache L\u00f6sung der Gleichung definiert.Charakterisierung reflexiver Banachr\u00e4ume[edit]Satz – – Ein realer Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn jedes Paar nicht leerer disjunkter geschlossener konvexer Teilmengen, von denen eine begrenzt ist, durch eine Hyperebene streng getrennt werden kann.Beispiel aus der Fredholm-Theorie[edit]Um eine tats\u00e4chliche Anwendung des Hahn-Banach-Theorems zu veranschaulichen, werden wir nun ein Ergebnis beweisen, das fast vollst\u00e4ndig aus dem Hahn-Banach-Theorem folgt.Vorschlag – – Annehmen X. ist ein lokal konvexes Hausdorff-Fernsehger\u00e4t \u00fcber dem Feld \ud835\udd42 und Y. ist ein Vektorunterraum von X. das ist TVS-isomorph zu \ud835\udd42ich  f\u00fcr einige Set ich.  Dann Y. ist ein geschlossener und komplementierter Vektorunterraum von X..Beweis – – Schon seit \ud835\udd42ich  ist ein komplettes TVS so ist Y.und da jede vollst\u00e4ndige Teilmenge eines Hausdorff-TVS geschlossen ist, Y. ist eine geschlossene Teilmenge von X..  Lassen f = (fich)ich\u2208ich :: Y. \u2192 \ud835\udd42ich  sei ein TVS-Isomorphismus, so dass jeder fich :: Y. \u2192 \ud835\udd42 ist eine kontinuierliche surjektive lineare Funktion.  Nach dem Hahn-Banach-Theorem k\u00f6nnen wir jedes erweitern fich  zu einer kontinuierlichen linearen Funktion F.ich :: X. \u2192 \ud835\udd42 auf X..  Lassen F. : = (F.ich)ich\u2208ich :: X. \u2192 \ud835\udd42ich  damit F. ist eine kontinuierliche lineare Surjektion, so dass ihre Beschr\u00e4nkung auf Y. istF.\u2009|Y.  = (F.ich\u2009|Y.)ich\u2208ich  = (fich)ich\u2208ich  = f.  Daraus folgt, wenn wir definieren P. : = f\u22121 \u2218 F. :: X. \u2192 Y.  dann die Einschr\u00e4nkung auf Y. dieser kontinuierlichen linearen Karte P.\u2009|Y. :: Y. \u2192 Y.  ist die Identit\u00e4tskarte \ud835\udfd9Y.  auf Y., zum P.\u2009|Y.  = f\u22121 \u2218 F.|Y.  = f\u22121 \u2218 f = \ud835\udfd9Y..  Also insbesondere P. ist eine kontinuierliche lineare Projektion auf Y. (dh P. \u2218 P. = P.).  So Y. wird erg\u00e4nzt in X. und X. = Y. Er ker P.  in der Kategorie TVS.  \u220eMan kann das obige Ergebnis verwenden, um zu zeigen, dass jeder geschlossene Vektor-Unterraum von \u211d\u2115  ist erg\u00e4nzt und entweder endlichdimensional oder TVS-isomorph zu \u211d\u2115.Verallgemeinerungen[edit]Allgemeine VorlageEs gibt jetzt viele andere Versionen des Hahn-Banach-Theorems.  Die allgemeine Vorlage f\u00fcr die verschiedenen Versionen des in diesem Artikel vorgestellten Hahn-Banach-Theorems lautet wie folgt:X. ist ein Vektorraum, p ist eine sublineare Funktion auf X. (m\u00f6glicherweise ein Seminar), M. ist ein Vektorunterraum von X. (m\u00f6glicherweise geschlossen) und f ist eine lineare Funktion auf M. befriedigend |f|  \u2264 p  auf M. (und m\u00f6glicherweise einige andere Bedingungen).  Man kommt dann zu dem Schluss, dass es eine lineare Erweiterung gibt F. von f zu X. so dass |F.|  \u2264 p  auf X. (m\u00f6glicherweise mit zus\u00e4tzlichen Eigenschaften).F\u00fcr Seminorms[edit]Hahn-Banach f\u00fcr Seminorms – – Wenn M. ist ein Vektorunterraum von X., p ist ein seminorm auf M., und q ist ein seminorm auf X. so dass p \u2264 q|M., dann gibt es ein Seminorm P. auf X. so dass P.|M.  = p  und P. \u2264 q.Ein Beweis l\u00e4uft wie folgt ab: Lemma – – Lassen M. ein Vektorunterraum eines realen oder komplexen Vektorraums sein X., Lassen D. eine absorbierende Scheibe sein X., und lass f eine lineare Funktion auf sein M. so dass |f|  \u2264 1 auf M. \u2229 D..  Dann gibt es eine lineare Funktion F. auf X. Ausdehnung f so dass |F.|  \u2264 1 auf D..Lassen S. sei die konvexe H\u00fclle von { m \u2208 M. :: p((x) \u2264 1} \u222a { x \u2208 X. :: q((x) \u2264 1}.  Beachten Sie, dass S. ist eine absorbierende Scheibe in X.und nennen seine Minkowski-Funktion q.  Dann p = P.  auf M. und P. \u2264 q  auf X..Geometrische Trennung[edit]Hahn-Banach-Sandwich-Theorem – – Lassen S. sei eine beliebige Teilmenge eines realen Vektorraums X., Lassen p eine sublineare Funktion sein X., und lass f :: S. \u2192 \u211d Sein irgendein Karte.  Wenn es positive Zahlen gibt ein und b so dass f\u00fcr alle x, y \u2208 S.,0\u2265infs\u2208S.[p(s\u2212ax\u2212by)\u2212f(s)\u2212af(x)\u2212bf(y)]{ displaystyle 0  geq  inf _ {s  in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]}}dann existiert eine lineare Funktion F. auf X. so dass F. \u2264 p  auf X. und f \u2264 F.  auf S..Maximale lineare Ausdehnung[edit]Satz (Andenaes, 1970) – – Lassen M. sei ein Vektorunterraum eines realen Vektorraums X., p eine sublineare Funktion sein X., f eine lineare Funktion auf sein M. so dass f \u2264 p  auf M., und lass S. sei eine beliebige Teilmenge von X..  Dann gibt es eine lineare Funktion F. auf X. das erstreckt sich fbefriedigt F. \u2264 p on X.und ist (punktuell) maximal im folgenden Sinne: if G ist eine lineare Funktion auf X. Ausdehnung f und befriedigend G \u2264 p  auf X., dann G \u2265 F.  impliziert, dass G = F.  auf S..Vektor bewertet Hahn-Banach[edit]Satz – – Lassen X. und Y. Vektorr\u00e4ume \u00fcber demselben Feld sein, M. sei ein Vektor-Unterraum von X., und f :: M. \u2192 Y.  sei eine lineare Karte.  Dann existiert eine lineare Karte F. :: X. \u2192 Y.  das erstreckt sich f.F\u00fcr nichtlineare Funktionen[edit]Der folgende Satz von Mazur-Orlicz (1953) entspricht dem Satz von Hahn-Banach.Satz von Mazur-Orlicz – – Lassen T. sei irgendein Satz, r :: T. \u2192 \u211d sei eine Karte mit echtem Wert, X. ein realer oder komplexer Vektorraum sein, v :: T. \u2192 X.  sei eine beliebige Karte und p eine sublineare Funktion sein X..  Dann sind folgende \u00e4quivalent:es existiert eine reelle lineare Funktion F. auf X. so dass F. \u2264 p  auf X. und r \u2264 F. \u2218 v  auf T.;;f\u00fcr jede positive ganze Zahl n, jede Sequenz s1, …, sn  von nicht negativen reellen Zahlen und einer beliebigen Folge t1, …, tn  von Elementen von T., \u2211ich=1nsichr((tich)\u2264p((\u2211ich=1nsichv((tich)){ displaystyle  sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i} r (t_ {i})  leq p  left ( sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i} v ( t_ {i})  right)}.Der folgende Satz charakterisiert wann irgendein Skalarfunktion ein X. (nicht unbedingt linear) hat eine kontinuierliche lineare Ausdehnung auf alle X..Satz (Das Erweiterungsprinzip) – – Lassen f eine skalarwertige Funktion f\u00fcr eine Teilmenge S. eines topologischen Vektorraums X..  Dann gibt es eine kontinuierliche lineare Funktion F. auf X. Ausdehnung f genau dann, wenn es ein kontinuierliches Seminorm gibt p auf X. so dass|\u2211ich=1neinichf((sich)|\u2264p((\u2211ich=1neinichsich){ displaystyle  left |  sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} f (s_ {i})  right |  leq p  left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} s_ {i}  right)}f\u00fcr alle positiven ganzen Zahlen n und alle endlichen Folgen ((einich)nich= 1  von Skalaren und Elementen ((sich)nich= 1  von S..Umgekehrt[edit]Lassen X. sei ein topologischer Vektorraum.  Ein Vektorunterraum M. von X. hat die Erweiterungseigenschaft wenn eine kontinuierliche lineare Funktion eingeschaltet ist M. kann auf eine kontinuierliche lineare Funktion erweitert werden X.und das sagen wir X. hat die Hahn-Banach-Erweiterungsgrundst\u00fcck ((HBEP) wenn jeder Vektorunterraum von X. hat die Erweiterungseigenschaft.Das Hahn-Banach-Theorem garantiert, dass jeder lokal konvexe Hausdorff-Raum das HBEP hat.  F\u00fcr vollst\u00e4ndig messbare topologische Vektorr\u00e4ume gibt es aufgrund von Kalton eine Umkehrung: Jedes vollst\u00e4ndige messbare Fernsehger\u00e4t mit der Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft ist lokal konvex.  Auf der anderen Seite ein Vektorraum X. von unz\u00e4hliger Dimension, ausgestattet mit der feinsten Vektortopologie, dann ist dies ein topologischer Vektorraum mit der Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft, der weder lokal konvex noch messbar ist.Ein Vektorunterraum M. eines Fernsehger\u00e4ts X. hat die Trennungseigenschaft wenn f\u00fcr jedes Element von X. so dass x \u2209 M.gibt es eine kontinuierliche lineare Funktion f auf X. so dass f((x) \u2260 0 und f((m) = 0 f\u00fcr alle m \u2208 M..  Klar, der durchgehende Doppelraum eines TVS X. trennt Punkte auf X. dann und nur dann, wenn {0 } hat die Separationseigenschaft.  Im Jahr 1992 bewies Kakol, dass jeder unendlich dimensionale Vektorraum X.gibt es TVS-Topologien auf X. die nicht \u00fcber den HBEP verf\u00fcgen, obwohl gen\u00fcgend kontinuierliche lineare Funktionen vorhanden sind, damit der kontinuierliche duale Raum Punkte trennen kann X..  wie auch immer, falls X. ist dann ein TVS jeder Vektor-Unterraum von X. hat die Erweiterungseigenschaft genau dann, wenn jeder Vektor-Unterraum von X. hat die Trennungseigenschaft.Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ O’Connor, John J.;  Robertson, Edmund F., “Hahn-Banach-Theorem”, MacTutor Archiv zur Geschichte der Mathematik, Universit\u00e4t von St. Andrews.^ Siehe M. Riesz-Erweiterungssatz.  Gem\u00e4\u00df G\u00f6rding, L. (1970). “Marcel Riesz in memoriam”. Acta Math. 124 (1): I – XI.  doi:10.1007 \/ bf02394565.  HERR 0256837.Das Argument war Riesz bereits 1918 bekannt.^ Rudin 1991, Th.  3.2^ HAHNBAN-Datei^ Schechter, Eric. Handbuch der Analyse und ihre Grundlagen.  p.  620.^ Foreman, M.;  Wehrung, F. (1991). “Das Hahn-Banach-Theorem impliziert die Existenz einer nicht-Lebesgue-messbaren Menge” (PDF). Fundamenta Mathematicae. 138: 13-19.  doi:10.4064 \/ fm-138-1-13-19.^ Pawlikowski, Janusz (1991).  “Das Hahn-Banach-Theorem impliziert das Banach-Tarski-Paradoxon”. Fundamenta Mathematicae. 138: 21\u201322.  doi:10.4064 \/ fm-138-1-21-22.^ Brown, DK;  Simpson, SG (1986). “Welche Axiome der Mengenexistenz werden ben\u00f6tigt, um den trennbaren Hahn-Banach-Satz zu beweisen?”. Annalen der reinen und angewandten Logik. 31: 123\u2013144.  doi:10.1016 \/ 0168-0072 (86) 90066-7.Zitierquelle.^ Simpson, Stephen G. (2009), Subsysteme der Arithmetik zweiter Ordnung, Perspectives in Logic (2. Aufl.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88439-6, MR2517689^ Harvey, R.;  Lawson, HB (1983).  “Eine intrinsische Charakterisierung von K\u00e4hler-Mannigfaltigkeiten”. Erfinden.  Mathematik. 74 (2): 169\u2013198.  doi:10.1007 \/ BF01394312.  S2CID 124399104.^ ein b c Z\u0103linescu, C. (2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorr\u00e4umen.  River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., S. 5\u20137.  ISBN 981-238-067-1.  HERR 1921556.^ Gabriel Nagy, Echte Analyse Vorlesungsnotizen^ Brezis, Haim (2011). Funktionsanalyse, Sobolev-R\u00e4ume und partielle Differentialgleichungen.  New York: Springer.  S. 6\u20137.Literaturverzeichnis[edit]ISBN 0-12-622760-8.“Hahn-Banach-Theorem”, Enzyklop\u00e4die der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]Adasch, Norbert;  Ernst, Bruno;  Keim, Dieter (1978). Topologische Vektorr\u00e4ume: Die Theorie ohne Konvexit\u00e4tsbedingungen.  Vorlesungsunterlagen in Mathematik. 639.  Berlin New York: Springer-Verlag.  ISBN 978-3-540-08662-8.  OCLC 297140003.Banach, Stefan (1932). Th\u00e9orie des Op\u00e9rations Lin\u00e9aires [Theory of Linear Operations] (PDF).  Monografie Matematyczne (auf Franz\u00f6sisch). 1.  Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej.  Zbl 0005.20901.  Archiviert von das Original (PDF) am 11.01.2014.  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