[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/wahrscheinlichkeitsraum-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/wahrscheinlichkeitsraum-wikipedia\/","headline":"Wahrscheinlichkeitsraum – Wikipedia","name":"Wahrscheinlichkeitsraum – Wikipedia","description":"In der Wahrscheinlichkeitstheorie a Wahrscheinlichkeitsraum oder ein Wahrscheinlichkeit dreifach ((\u03a9,F.,P.){ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} ist ein mathematisches","datePublished":"2020-12-24","dateModified":"2020-12-24","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d77104a5c3c49cc0634dcf6908db7ad45f738d2","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d77104a5c3c49cc0634dcf6908db7ad45f738d2","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/wahrscheinlichkeitsraum-wikipedia\/","wordCount":15948,"articleBody":"In der Wahrscheinlichkeitstheorie a Wahrscheinlichkeitsraum oder ein Wahrscheinlichkeit dreifach ((\u03a9,F.,P.){ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} ist ein mathematisches Konstrukt, das ein formales Modell eines zuf\u00e4lligen Prozesses oder “Experiments” liefert. Zum Beispiel kann man einen Wahrscheinlichkeitsraum definieren, der das Werfen eines W\u00fcrfels modelliert.Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus drei Elementen:[1][2]EIN Probenraum, \u03a9{ displaystyle Omega}Dies ist die Menge aller m\u00f6glichen Ergebnisse.Ein Veranstaltungsfl\u00e4cheDies ist eine Reihe von Ereignissen F.{ displaystyle { mathcal {F}}}Ein Ereignis ist eine Reihe von Ergebnissen im Probenraum.EIN Wahrscheinlichkeitsfunktion, die jedem Ereignis im Ereignisraum eine Wahrscheinlichkeit zuweist, die eine Zahl zwischen 0 und 1 ist.Um ein vern\u00fcnftiges Wahrscheinlichkeitsmodell bereitzustellen, m\u00fcssen diese Elemente eine Reihe von Axiomen erf\u00fcllen, die im Artikel beschrieben werden. Im Beispiel des Wurfs eines Standardw\u00fcrfels w\u00fcrden wir den Probenraum annehmen {1,2,3,4,5,6}}{ displaystyle {1,2,3,4,5,6 }}. F\u00fcr den Ereignisraum k\u00f6nnten wir einfach die Menge aller Teilmengen des Beispielraums verwenden, die dann einfache Ereignisse wie z {5}}{ displaystyle {5 }} (“der W\u00fcrfel landet auf 5”) sowie komplexe Ereignisse wie {2,4,6}}{ displaystyle {2,4,6 }} (“Der W\u00fcrfel landet auf einer geraden Zahl”). Schlie\u00dflich w\u00fcrden wir f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsfunktion jedes Ereignis auf die Anzahl der Ergebnisse in diesem Ereignis geteilt durch 6 abbilden – so zum Beispiel {5}}{ displaystyle {5 }} w\u00fcrde zugeordnet werden 1\/.6{ displaystyle 1\/6}, und {2,4,6}}{ displaystyle {2,4,6 }} w\u00fcrde zugeordnet werden 3\/.6=1\/.2{ displaystyle 3\/6 = 1\/2}.Wenn ein Experiment durchgef\u00fchrt wird, stellen wir uns vor, dass “Natur” ein einzelnes Ergebnis “ausw\u00e4hlt”, \u03c9{ displaystyle omega}aus dem Probenraum \u03a9{ displaystyle Omega}. Alle Ereignisse im Veranstaltungsraum F.{ displaystyle { mathcal {F}}} die das ausgew\u00e4hlte Ergebnis enthalten \u03c9{ displaystyle omega} sollen “aufgetreten sein”. Diese “Auswahl” erfolgt so, dass bei mehrmaliger Wiederholung des Experiments die Anzahl der Vorkommen jedes Ereignisses als Bruchteil der Gesamtzahl der Experimente zu der Wahrscheinlichkeit tendiert, die diesem Ereignis durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion zugewiesen wird P.{ displaystyle P}.Der russische Mathematiker Andrey Kolmogorov f\u00fchrte in den 1930er Jahren den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums zusammen mit anderen Axiomen der Wahrscheinlichkeit ein. In der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es eine Reihe alternativer Ans\u00e4tze zur Axiomatisierung – zum Beispiel die Algebra von Zufallsvariablen.Table of ContentsEinf\u00fchrung[edit]Definition[edit]Diskreter Fall[edit]Omega[edit]\u03c9[edit] scriptstyle { mathcal {F}}[edit]{ displaystyle A ; in ; { mathcal {F}}}[edit]. Oft beschr\u00e4nkt sich das Studium von Wahrscheinlichkeitsr\u00e4umen auf vollst\u00e4ndige Wahrscheinlichkeitsr\u00e4ume.[edit]Beispiele[edit]{ displaystyle P ( {{ text {H}}, { text {T}} }) = 1}[edit]\u03a9[edit]n[edit]ist die Anzahl aller potenziellen W\u00e4hler in Kalifornien.[edit]), die das Lebesgue-Ma\u00df am generiert[edit]und[edit]jedoch: Es ist ein Isomorphismus-Modulo-Nullpunkt, der es erm\u00f6glicht, die beiden Wahrscheinlichkeitsr\u00e4ume als zwei Formen desselben Wahrscheinlichkeitsraums zu behandeln. Tats\u00e4chlich sind alle nicht pathologischen nichtatomaren Wahrscheinlichkeitsr\u00e4ume in diesem Sinne gleich. Sie sind sogenannte Standardwahrscheinlichkeitsr\u00e4ume. Grundlegende Anwendungen von Wahrscheinlichkeitsr\u00e4umen sind unempfindlich gegen\u00fcber Standardit\u00e4t. Eine nicht diskrete Konditionierung ist jedoch in Standardwahrscheinlichkeitsr\u00e4umen einfach und nat\u00fcrlich, da sie sonst dunkel wird.[edit]Wahrscheinlichkeitsverteilung[edit]EIN[edit] scriptstyle { mathcal {F}}[edit]EIN[edit]H.[edit]B.[edit]\u201d.[edit]^[edit]Wahrscheinlichkeit mit Martingalen[edit]Einf\u00fchrung[edit]Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein mathematisches Triplett ((\u03a9,F.,P.){ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} das pr\u00e4sentiert ein Modell f\u00fcr eine bestimmte Klasse von realen Situationen. Wie bei anderen Modellen definiert der Autor letztendlich, welche Elemente \u03a9{ displaystyle Omega}, F.{ displaystyle { mathcal {F}}}, und P.{ displaystyle P} wird beinhalten.Der Probenraum \u03a9{ displaystyle Omega} ist die Menge aller m\u00f6glichen Ergebnisse. Ein Ergebnis ist das Ergebnis einer einzelnen Ausf\u00fchrung des Modells. Ergebnisse k\u00f6nnen Naturzust\u00e4nde, M\u00f6glichkeiten, experimentelle Ergebnisse und dergleichen sein. Jede Instanz der realen Situation (oder der Ablauf des Experiments) muss genau ein Ergebnis liefern. Wenn sich die Ergebnisse verschiedener Versuchsl\u00e4ufe in irgendeiner wichtigen Weise unterscheiden, handelt es sich um unterschiedliche Ergebnisse. Welche Unterschiede wichtig sind, h\u00e4ngt von der Art der Analyse ab, die wir durchf\u00fchren m\u00f6chten. Dies f\u00fchrt zu unterschiedlichen Auswahlm\u00f6glichkeiten des Probenraums.Die \u03c3-Algebra F.{ displaystyle { mathcal {F}}} ist eine Sammlung aller Ereignisse, die wir ber\u00fccksichtigen m\u00f6chten. Diese Sammlung kann jedes der Elementarereignisse enthalten oder nicht. Hier ist ein “Ereignis” eine Menge von null oder mehr Ergebnissen, dh eine Teilmenge des Probenraums. Es wird angenommen, dass ein Ereignis w\u00e4hrend eines Experiments “passiert” ist, wenn dessen Ergebnis ein Element des Ereignisses ist. Da dasselbe Ergebnis Mitglied vieler Ereignisse sein kann, ist es m\u00f6glich, dass viele Ereignisse bei einem einzigen Ergebnis stattgefunden haben. Wenn der Versuch beispielsweise darin besteht, zwei W\u00fcrfel zu werfen, kann die Menge aller Ergebnisse mit einer Summe von 7 Pips ein Ereignis darstellen, w\u00e4hrend Ergebnisse mit einer ungeraden Anzahl von Pips ein anderes Ereignis darstellen k\u00f6nnen. Wenn das Ergebnis das Element des Elementarereignisses von zwei Pips auf dem ersten W\u00fcrfel und f\u00fcnf auf dem zweiten W\u00fcrfel ist, dann sollen beide Ereignisse, “7 Pips” und “ungerade Anzahl von Pips”, stattgefunden haben.Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df P.{ displaystyle P} ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zur\u00fcckgibt. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine reelle Zahl zwischen Null (unm\u00f6gliche Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit von Null, obwohl Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null nicht unbedingt unm\u00f6glich sind) und Eins (das Ereignis tritt fast sicher mit fast vollst\u00e4ndiger Sicherheit ein). So P.{ displaystyle P} ist eine Funktion P.::F.\u2192[0,1]{ displaystyle P: { mathcal {F}} rightarrow [0,1]}}. Die Wahrscheinlichkeitsma\u00dffunktion muss zwei einfache Anforderungen erf\u00fcllen: Erstens muss die Wahrscheinlichkeit einer z\u00e4hlbaren Vereinigung sich gegenseitig ausschlie\u00dfender Ereignisse gleich der z\u00e4hlbaren Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse sein. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der sich gegenseitig ausschlie\u00dfenden Ereignisse Kopf{ displaystyle { text {Head}}} und Schwanz{ displaystyle { text {Tail}}} im zuf\u00e4lligen Experiment eines M\u00fcnzwurfs, P.((Kopf\u222aSchwanz){ displaystyle P ({ text {Head}} cup { text {Tail}})}ist die Summe der Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Kopf{ displaystyle { text {Head}}} und die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Schwanz{ displaystyle { text {Tail}}}, P.((Kopf)+P.((Schwanz){ displaystyle P ({ text {Head}}) + P ({ text {Tail}})}. Zweitens die Wahrscheinlichkeit des Probenraums \u03a9{ displaystyle Omega} muss gleich 1 sein (was die Tatsache ber\u00fccksichtigt, dass bei einer Ausf\u00fchrung des Modells ein gewisses Ergebnis erzielt werden muss). Im vorherigen Beispiel die Wahrscheinlichkeit der Menge der Ergebnisse P.(({Kopf,Schwanz}}){ displaystyle P ( {{ text {Head}}, { text {Tail}} })} muss gleich eins sein, da es v\u00f6llig sicher ist, dass das Ergebnis entweder sein wird Kopf{ displaystyle { text {Head}}} oder Schwanz{ displaystyle { text {Tail}}} (das Modell vernachl\u00e4ssigt jede andere M\u00f6glichkeit) in einem einzigen M\u00fcnzwurf.Nicht jede Teilmenge des Probenraums \u03a9{ displaystyle Omega} muss unbedingt als Ereignis betrachtet werden: Einige der Teilmengen sind einfach nicht von Interesse, andere k\u00f6nnen nicht “gemessen” werden. Dies ist in einem Fall wie einem M\u00fcnzwurf nicht so offensichtlich. In einem anderen Beispiel k\u00f6nnte man Speerwurfl\u00e4ngen betrachten, bei denen die Ereignisse typischerweise Intervalle wie “zwischen 60 und 65 Metern” und Vereinigungen solcher Intervalle sind, aber keine S\u00e4tze wie die “irrationalen Zahlen zwischen 60 und 65 Metern”.Definition[edit]Kurz gesagt, ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Messraum, so dass das Ma\u00df des gesamten Raums gleich eins ist.Die erweiterte Definition lautet wie folgt: Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel ((\u03a9,F.,P.){ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)} bestehend aus:der Probenraum \u03a9{ displaystyle Omega} – eine beliebige nicht leere Menge,die \u03c3-Algebra F.\u22862\u03a9{ displaystyle { mathcal {F}} subseteq 2 ^ { Omega}} (auch \u03c3-Feld genannt) – eine Menge von Teilmengen von \u03a9{ displaystyle Omega}, Ereignisse genannt, so dass:F.{ displaystyle { mathcal {F}}} enth\u00e4lt den Probenraum: \u03a9\u2208F.{ displaystyle Omega in { mathcal {F}}},F.{ displaystyle { mathcal {F}}} wird unter Erg\u00e4nzungen geschlossen: wenn EIN\u2208F.{ displaystyle A in { mathcal {F}}}dann auch ((\u03a9\u2216EIN)\u2208F.{ displaystyle ( Omega setminus A) in { mathcal {F}}},F.{ displaystyle { mathcal {F}}} ist unter z\u00e4hlbaren Gewerkschaften geschlossen: wenn EINich\u2208F.{ displaystyle A_ {i} in { mathcal {F}}} zum ich=1,2,\u2026{ displaystyle i = 1,2, dots}dann auch ((\u22c3ich=1\u221eEINich)\u2208F.{ displaystyle textstyle ( bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}) in { mathcal {F}}}Die Konsequenz aus den beiden vorhergehenden Eigenschaften und dem Gesetz von De Morgan ist die folgende F.{ displaystyle { mathcal {F}}} wird auch unter z\u00e4hlbaren Kreuzungen geschlossen: wenn EINich\u2208F.{ displaystyle A_ {i} in { mathcal {F}}} zum ich=1,2,\u2026{ displaystyle i = 1,2, dots}dann auch ((\u22c2ich=1\u221eEINich)\u2208F.{ displaystyle textstyle ( bigcap _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}) in { mathcal {F}}}das Wahrscheinlichkeitsma\u00df P.::F.\u2192[0,1]{ displaystyle P: { mathcal {F}} to [0,1]}} – eine Funktion an F.{ displaystyle { mathcal {F}}} so dass:P. ist z\u00e4hlbar additiv (auch \u03c3-additiv genannt): wenn {EINich}}ich=1\u221e\u2286F.{ displaystyle {A_ {i} } _ {i = 1} ^ { infty} subseteq { mathcal {F}}} ist also eine z\u00e4hlbare Sammlung von paarweise disjunkten Mengen P.((\u22c3ich=1\u221eEINich)=\u2211ich=1\u221eP.((EINich),{ displaystyle textstyle P ( bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}) = sum _ {i = 1} ^ { infty} P (A_ {i}),}Das Ma\u00df des gesamten Probenraums ist gleich eins: P.((\u03a9)=1{ displaystyle P ( Omega) = 1}.Diskreter Fall[edit]Die diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie ben\u00f6tigt nur h\u00f6chstens z\u00e4hlbare Probenr\u00e4ume \u03a9{ displaystyle Omega}. Wahrscheinlichkeiten k\u00f6nnen Punkten von zugeordnet werden \u03a9{ displaystyle Omega} durch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion p::\u03a9\u2192[0,1]{ displaystyle p: Omega to [0,1]}} so dass \u2211{\u03c9\u2208\u03a9}}p((\u03c9)=1{ displaystyle textstyle sum _ { left { omega in Omega right }} p ( omega) = 1}. Alle Teilmengen von \u03a9{ displaystyle Omega} kann als Ereignisse behandelt werden (also F.=2\u03a9{ displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}} ist die Leistung eingestellt). Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df hat die einfache Form((\u2217)P.((EIN)=\u2211\u03c9\u2208EINp((\u03c9)f\u00fcr alle EIN\u2286\u03a9.{ displaystyle{ displaystyle qquad P (A) = sum _ { omega in A} p ( omega) quad { text {f\u00fcr alle}} A subseteq Omega.}Die gr\u00f6\u00dfte \u03c3-AlgebraF.=2 { displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}} { displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}}beschreibt die vollst\u00e4ndigen Informationen. Im Allgemeinen eine \u03c3-AlgebraF.\u22862 { displaystyle { mathcal {F}} subseteq 2 ^ { Omega}} { displaystyle { mathcal {F}} subseteq 2 ^ { Omega}}entspricht einer endlichen oder z\u00e4hlbaren Partition\u03a9=B.1\u222aB.2\u222a{ displaystyle Omega = B_ {1} cup B_ {2} cup dots} { displaystyle Omega = B_ {1} cup B_ {2} cup dots}, die allgemeine Form eines EreignissesEIN\u2208 { displaystyle A in { mathcal {F}}} A in mathcal {F}SeinEIN=B.k1\u222aB.k2\u222a{ displaystyle A = B_ {k_ {1}} cup B_ {k_ {2}} cup dots}{ displaystyle A = B_ {k_ {1}} cup B_ {k_ {2}} cup dots} . Siehe auch die Beispiele.Der Fallp((\u03c9)= { displaystyle p ( omega) = 0} { displaystyle p ( omega) = 0}ist nach der Definition zul\u00e4ssig, wird aber selten verwendet, da solche { displaystyle omega}Omega[edit]kann sicher aus dem Probenraum ausgeschlossen werden. Allgemeiner FallWenn \u03a9 dennoch unz\u00e4hlig ist, kann dies passierenp(( \u03c9) \u2260 0 f\u00fcr einige \u03c9 ;; eine solche\u03c9[edit]werden Atome genannt. Sie sind h\u00f6chstens eine z\u00e4hlbare (m\u00f6glicherweise leere) Menge, deren Wahrscheinlichkeit die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Atome ist. Wenn diese Summe gleich 1 ist, k\u00f6nnen alle anderen Punkte sicher aus dem Probenraum ausgeschlossen werden, was uns zum diskreten Fall zur\u00fcckf\u00fchrt. Wenn andernfalls die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Atome zwischen 0 und 1 liegt, zerf\u00e4llt der Wahrscheinlichkeitsraum in einen diskreten (atomaren) Teil (m\u00f6glicherweise leer) und einen nichtatomaren Teil. Nichtatomarer FallWennp(( \u03c9) = 0 f\u00fcr alle \u03c9\u2208\u03a9 (in diesem Fall muss \u03a9 unz\u00e4hlbar sein, da sonst P (\u03a9) = 1 nicht erf\u00fcllt werden k\u00f6nnte), dann schl\u00e4gt Gleichung (\u2217) fehl: Die Wahrscheinlichkeit einer Menge ist nicht unbedingt die Summe \u00fcber die Wahrscheinlichkeiten ihrer Elemente, als Summation wird nur f\u00fcr z\u00e4hlbare Anzahlen von Elementen definiert. Dies macht die Wahrscheinlichkeitsraumtheorie viel technischer. Eine Formulierung, die st\u00e4rker als die Summation ist, ist anwendbar. Zun\u00e4chst werden die Wahrscheinlichkeiten einigen \u201eGenerators\u00e4tzen\u201c zugeordnet (siehe Beispiele). Dann erm\u00f6glicht eine Begrenzungsprozedur das Zuweisen von Wahrscheinlichkeiten zu Mengen, die Grenzen von Sequenzen von Generators\u00e4tzen oder Grenzen von Grenzen usw. sind. Alle diese Mengen sind die \u03c3-Algebra{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}. F\u00fcr technische Details siehe Carath\u00e9odorys Erweiterungssatz. Sets, die zu geh\u00f6ren { displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}[edit]werden als messbar bezeichnet. Im Allgemeinen sind sie viel komplizierter als Generators\u00e4tze, aber viel besser als nicht messbare S\u00e4tze. Kompletter WahrscheinlichkeitsraumEin Wahrscheinlichkeitsraum((\u03a9,F.,P. { displaystyle ( Omega, ; { mathcal {F}}, ; P)} { displaystyle ( Omega, ; { mathcal {F}}, ; P)}soll ein vollst\u00e4ndiger Wahrscheinlichkeitsraum sein, wenn f\u00fcr alleB.\u2208 { displaystyle B , in , { mathcal {F}}} { displaystyle B , in , { mathcal {F}}}mitP.((B.)= { displaystyle P (B) , = ; 0} { displaystyle P (B) , = ; 0}und allesEIN\u2282 { displaystyle A ; subset ; B} { displaystyle A ; subset ; B}hat manEIN\u2208{ displaystyle A ; in ; { mathcal {F}}}{ displaystyle A ; in ; { mathcal {F}}}[edit]. Oft beschr\u00e4nkt sich das Studium von Wahrscheinlichkeitsr\u00e4umen auf vollst\u00e4ndige Wahrscheinlichkeitsr\u00e4ume.[edit]Beispiele[edit]Diskrete Beispiele Beispiel 1Wenn das Experiment nur aus einem fairen M\u00fcnzwurf besteht, ist das Ergebnis entweder Kopf oder Zahl:\u03a9={H.,T.{ displaystyle Omega = {{ text {H}}, { text {T}} }} { displaystyle Omega = {{ text {H}}, { text {T}} }}. Die \u03c3-AlgebraF.=2 { displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}} { displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}}enth\u00e4lt22= { displaystyle 2 ^ {2} = 4} { displaystyle 2 ^ {2} = 4}Ereignisse, n\u00e4mlich:{H. { displaystyle {{ text {H}} }} { displaystyle {{ text {H}} }}(“K\u00f6pfe”),{T. { displaystyle {{ text {T}} }} { displaystyle {{ text {T}} }}(“Schw\u00e4nze”),{ { displaystyle {}} {}(“Weder Kopf noch Schwanz”) und{H.,T. { displaystyle {{ text {H}}, { text {T}} }} { displaystyle {{ text {H}}, { text {T}} }}(“Entweder Kopf oder Zahl”); mit anderen Worten,F.={{}},{H.}},{T.}},{H.,T.}}{ displaystyle { mathcal {F}} = { {}, {{ text {H}} }, {{ text {T}} }, {{ text {H} }, { text {T}} } }} { displaystyle { mathcal {F}} = { {}, {{ text {H}} }, {{ text {T}} }, {{ text {H} }, { text {T}} } }}. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von f\u00fcnfzig Prozent, K\u00f6pfe zu werfen, und eine Wahrscheinlichkeit von f\u00fcnfzig Prozent f\u00fcr Schw\u00e4nze, daher ist das Wahrscheinlichkeitsma\u00df in diesem BeispielP.(({}})={ displaystyle P ( {}) = 0} { displaystyle P ( {}) = 0},P.(({H.}})={ displaystyle P ( {{ text {H}} }) = 0,5} { displaystyle P ( {{ text {H}} }) = 0,5},P.(({T.}})={ displaystyle P ( {{ text {T}} }) = 0,5} { displaystyle P ( {{ text {T}} }) = 0,5},P.(({H.,T.}})={ displaystyle P ( {{ text {H}}, { text {T}} }) = 1}{ displaystyle P ( {{ text {H}}, { text {T}} }) = 1}[edit]. Beispiel 2Die sch\u00f6ne M\u00fcnze wird dreimal geworfen. Es gibt 8 m\u00f6gliche Ergebnisse: \u03a9 = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} (hier bedeutet \u201eHTH\u201c zum Beispiel, dass die M\u00fcnze zum ersten Mal K\u00f6pfe landete, zum zweiten Mal Schw\u00e4nze und zum letzten Mal K\u00f6pfe wieder). Die vollst\u00e4ndige Information wird durch die \u03c3-Algebra beschrieben { displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} = 2\u03a9 von 28= 256 Ereignisse, wobei jedes der Ereignisse eine Teilmenge von \u03a9 ist. Alice kennt nur das Ergebnis des zweiten Wurfs. Somit wird ihre unvollst\u00e4ndige Information durch die Partition \u03a9 = A beschrieben1 \u2294 A. 2= {HHH, HHT, THH, THT} \u2294 {HTH, HTT, TTH, TTT}, wobei \u2294 das ist disjunkte Vereinigungund die entsprechende \u03c3-Algebra{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}Alice= {{}, A.1, EIN2 , \u03a9}. Bryan kennt nur die Gesamtzahl der Schw\u00e4nze. Seine Partition besteht aus vier Teilen: \u03a9 = B.0 \u2294 B.1 \u2294 B.2 \u2294 B. 3= {HHH} \u2294 {HHT, HTH, THH} \u2294 {TTH, THT, HTT} \u2294 {TTT}; dementsprechend seine \u03c3-Algebra{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}Bryan enth\u00e4lt 24 = 16 Ereignisse.Die beiden \u03c3-Algebren sind unvergleichlich: keine{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} Alice\u2286{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} BryanNoch{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} Bryan\u2286{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}Alice;; beide sind Sub-\u03c3-Algebren von 2\u03a9[edit]. Beispiel 3 Wenn 100 W\u00e4hler zuf\u00e4llig aus allen W\u00e4hlern in Kalifornien gezogen und gefragt werden sollen, wen sie f\u00fcr den Gouverneur stimmen sollen, w\u00e4re die Menge aller Sequenzen von 100 kalifornischen W\u00e4hlern der Stichprobenraum \u03a9. Wir gehen davon aus, dass ersatzlose Stichproben verwendet werden: nur Sequenzen von 100anders W\u00e4hler sind erlaubt. Der Einfachheit halber wird eine geordnete Stichprobe betrachtet, dh eine Sequenz {Alice, Bryan} unterscheidet sich von {Bryan, Alice}. Wir gehen auch davon aus, dass jeder potenzielle W\u00e4hler seine zuk\u00fcnftige Wahl genau kennt, dh er \/ sie w\u00e4hlt nicht zuf\u00e4llig.Alice wei\u00df nur, ob Arnold Schwarzenegger mindestens 60 Stimmen erhalten hat oder nicht. Ihre unvollst\u00e4ndigen Informationen werden durch die \u03c3-Algebra beschrieben{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}Alicedas enth\u00e4lt: (1) die Menge aller Sequenzen in \u03a9, bei denen mindestens 60 Personen f\u00fcr Schwarzenegger stimmen; (2) die Menge aller Sequenzen, in denen weniger als 60 f\u00fcr Schwarzenegger stimmen; (3) der gesamte Probenraum \u03a9; und (4) die leere Menge \u2205. Bryan kennt die genaue Anzahl der W\u00e4hler, die f\u00fcr Schwarzenegger stimmen werden. Seine unvollst\u00e4ndige Information wird durch die entsprechende Partition \u03a9 = B beschrieben0 \u2294 B.1 … \u2294 B. 100und die \u03c3-Algebra{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}Bryan besteht aus 2101 Veranstaltungen.In diesem Fall ist Alices \u03c3-Algebra eine Teilmenge von Bryans:{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} Alice\u2282{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}}Bryan . Bryans \u03c3-Algebra ist wiederum eine Teilmenge der viel gr\u00f6\u00dferen \u03c3-Algebra 2 mit \u201evollst\u00e4ndiger Information\u201c \u03a9bestehend aus2n((n\u22121) … ( n \u221299) Ereignisse, won[edit]ist die Anzahl aller potenziellen W\u00e4hler in Kalifornien.[edit]Nichtatomare Beispiele [0,1]Beispiel 4 Eine Zahl zwischen 0 und 1 wird zuf\u00e4llig und gleichm\u00e4\u00dfig gew\u00e4hlt. Hier ist \u03a9 =, { displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} ist die \u03c3-Algebra von Borel-Mengen auf \u03a9, und [0,1]P.ist die Lebesgue-Ma\u00dfnahme auf.In diesem Fall die offenen Intervalle des Formulars (ein, b ), wobei 0 < ein < b 0) definiert ein anderes Wahrscheinlichkeitsma\u00dfP.((B.|EIN)=P.((B.\u2229EIN)P.((EIN{ Anzeigestil P (B | A) = {P (B Kappe A) \u00fcber P (A)}} P (B | A) = {P (B Kappe A) \u00fcber P (A)} auf dem Raum. Dies wird normalerweise als \u201eWahrscheinlichkeit von B.gegebenEIN \u201d. F\u00fcr jede Veranstaltung B.so dassP.(( B. )> 0 die Funktion Q.definiert vonQ.(( EIN) =P.((EIN| B. ) f\u00fcr alle VeranstaltungenEIN[edit]ist selbst ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df. Unabh\u00e4ngigkeit Zwei Ereignisse, EIN und B.sollen unabh\u00e4ngig sein, wennP.((EIN\u2229B.) =P.((EIN)P.((B. ). Zwei Zufallsvariablen, X.und Y. , gelten als unabh\u00e4ngig, wenn ein Ereignis im Sinne von definiert ist X.ist unabh\u00e4ngig von Ereignissen, die in Bezug auf definiert sind Y. . Formal erzeugen sie unabh\u00e4ngige \u03c3-Algebren, wobei zwei \u03c3-Algebren Gund H. , die Teilmengen von sind F. sollen unabh\u00e4ngig sein, wenn irgendein Element von Gist unabh\u00e4ngig von jedem Element vonH.[edit]. Gegenseitige Ausschlie\u00dflichkeit Zwei Ereignisse, EIN und B. sollen sich gegenseitig ausschlie\u00dfen oderdisjunkt Wenn das Auftreten des einen das Nicht-Auftreten des anderen impliziert, dh ihr Schnittpunkt ist leer. Dies ist eine st\u00e4rkere Bedingung als die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Schnittpunkt Null ist. Wenn EIN und B.sind also disjunkte EreignisseP.((EIN\u222a B.) =P.(( EIN) +P.(( B. ). Dies erstreckt sich auf eine (endliche oder z\u00e4hlbar unendliche) Folge von Ereignissen. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung einer unz\u00e4hligen Menge von Ereignissen ist jedoch nicht die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Zum Beispiel wenn Z.ist also eine normalverteilte ZufallsvariableP.((Z.= x) ist 0 f\u00fcr jede x, aberP.((Z.\u2208R. ) = 1.Das EreignisEIN \u2229B. wird bezeichnet als ” EINund B.Und das EreignisEIN \u222aB. wie ” EINoderB.[edit]\u201d.[edit]Siehe auch Verweise^ Lo\u00e8ve, Michel. Probability Theory, Band 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.^[edit]Stroock, DW (1999). Wahrscheinlichkeitstheorie: eine analytische Sicht. Cambridge University Press. LiteraturverzeichnisDie erste gro\u00dfe Abhandlung, die Kalk\u00fcl mit Wahrscheinlichkeitstheorie mischt, urspr\u00fcnglich auf Franz\u00f6sisch:Th\u00e9orie Analytique des Probabilit\u00e9s.Die moderne messungstheoretische Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie; die deutsche Originalversion (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung) erschien 1933. Ein empiristischer Bayes’scher Ansatz zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie.Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie basierend auf nicht standardm\u00e4\u00dfigen Analysen. Herunterladbar. http:\/\/www.math.princeton.edu\/~nelson\/books.htmlPatrick Billingsley:Wahrscheinlichkeit und Ma\u00df John Wiley und S\u00f6hne, New York, Toronto, London, 1979. Henk Tijms (2004)Wahrscheinlichkeit verstehen Eine lebendige Einf\u00fchrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie f\u00fcr den Anf\u00e4nger Cambridge Univ. Dr\u00fccken Sie.David Williams (1991)Wahrscheinlichkeit mit Martingalen[edit]Eine Einf\u00fchrung in die messungstheoretische Wahrscheinlichkeit, Cambridge Univ. Dr\u00fccken Sie.Externe Links"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/24\/wahrscheinlichkeitsraum-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Wahrscheinlichkeitsraum – Wikipedia"}}]}]