Kovarianz – Wikipedia

before-content-x4

Das Vorzeichen der Kovarianz zweier Zufallsvariablen X. und Y.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Kovarianz ist ein Maß für die gemeinsame Variabilität zweier Zufallsvariablen.[1] Wenn die größeren Werte einer Variablen hauptsächlich den größeren Werten der anderen Variablen entsprechen und dasselbe für die kleineren Werte gilt (dh die Variablen zeigen tendenziell ein ähnliches Verhalten), ist die Kovarianz positiv.[2] Im umgekehrten Fall ist die Kovarianz negativ, wenn die größeren Werte einer Variablen hauptsächlich den kleineren Werten der anderen Variablen entsprechen (dh die Variablen neigen dazu, ein entgegengesetztes Verhalten zu zeigen). Das Vorzeichen der Kovarianz zeigt daher die Tendenz in der linearen Beziehung zwischen den Variablen. Die Größe der Kovarianz ist nicht leicht zu interpretieren, da sie nicht normalisiert ist und daher von den Größen der Variablen abhängt. Die normalisierte Version der Kovarianz, der Korrelationskoeffizient, zeigt jedoch durch ihre Größe die Stärke der linearen Beziehung.

Es muss unterschieden werden zwischen (1) der Kovarianz zweier Zufallsvariablen, die ein Populationsparameter ist, der als Eigenschaft der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angesehen werden kann, und (2) der Stichproben-Kovarianz, die zusätzlich als Deskriptor dient der Stichprobe dient auch als geschätzter Wert des Populationsparameters.

Definition[edit]

Für zwei gemeinsam verteilte reelle Zufallsvariablen

X.{ displaystyle X}

und

Y.{ displaystyle Y}

Bei endlichen zweiten Momenten wird die Kovarianz als der erwartete Wert (oder Mittelwert) des Produkts ihrer Abweichungen von ihren individuellen erwarteten Werten definiert:[3][4]::p. 119

((Gl.1)

wo

E.[X]{ displaystyle operatorname {E} [X]}}

ist der erwartete Wert von

X.{ displaystyle X}

, auch bekannt als Mittelwert von

X.{ displaystyle X}

. Die Kovarianz wird manchmal auch bezeichnet

σX.Y.{ displaystyle sigma _ {XY}}

oder

σ((X.,Y.){ displaystyle sigma (X, Y)}

in Analogie zur Varianz. Durch Verwendung der Linearitätseigenschaft der Erwartungen kann dies auf den erwarteten Wert ihres Produkts abzüglich des Produkts ihrer erwarteten Werte vereinfacht werden:

Diese Gleichung kann jedoch katastrophal aufgehoben werden (siehe Abschnitt über numerische Berechnungen weiter unten).

Die Maßeinheiten der Kovarianz

cov((X.,Y.){ displaystyle operatorname {cov} (X, Y)}

sind die von

X.{ displaystyle X}

mal die von

Y.{ displaystyle Y}

. Im Gegensatz dazu sind Korrelationskoeffizienten, die von der Kovarianz abhängen, ein dimensionsloses Maß für die lineare Abhängigkeit. (Tatsächlich können Korrelationskoeffizienten einfach als normalisierte Version der Kovarianz verstanden werden.)

Definition für komplexe Zufallsvariablen[edit]

Die Kovarianz zwischen zwei komplexen Zufallsvariablen

Z.,W.{ displaystyle Z, W}

ist definiert als[4]::p. 119

Beachten Sie die komplexe Konjugation des zweiten Faktors in der Definition.

Diskrete Zufallsvariablen[edit]

Wenn das Zufallsvariablenpaar

((X.,Y.){ displaystyle (X, Y)}

kann die Werte annehmen

((xich,yich){ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}

zum

ich=1,,n{ displaystyle i = 1, ldots, n}

mit gleichen Wahrscheinlichkeiten

pich=1/.n{ displaystyle p_ {i} = 1 / n}

dann kann die Kovarianz in Bezug auf die Mittel gleichwertig geschrieben werden

E.[X]{ displaystyle operatorname {E} [X]}}

und

E.[Y]{ displaystyle operatorname {E} [Y]}}

wie

Es kann auch äquivalent ausgedrückt werden, ohne sich direkt auf die Mittel zu beziehen, als[5]

after-content-x4