[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/25\/kovarianz-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/25\/kovarianz-wikipedia\/","headline":"Kovarianz – Wikipedia","name":"Kovarianz – Wikipedia","description":"before-content-x4 Das Vorzeichen der Kovarianz zweier Zufallsvariablen X. und Y. 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Das Vorzeichen der Kovarianz zeigt daher die Tendenz in der linearen Beziehung zwischen den Variablen.  Die Gr\u00f6\u00dfe der Kovarianz ist nicht leicht zu interpretieren, da sie nicht normalisiert ist und daher von den Gr\u00f6\u00dfen der Variablen abh\u00e4ngt.  Die normalisierte Version der Kovarianz, der Korrelationskoeffizient, zeigt jedoch durch ihre Gr\u00f6\u00dfe die St\u00e4rke der linearen Beziehung.  Es muss unterschieden werden zwischen (1) der Kovarianz zweier Zufallsvariablen, die ein Populationsparameter ist, der als Eigenschaft der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angesehen werden kann, und (2) der Stichproben-Kovarianz, die zus\u00e4tzlich als Deskriptor dient der Stichprobe dient auch als gesch\u00e4tzter Wert des Populationsparameters.Table of Contents  Definition[edit]Definition f\u00fcr komplexe Zufallsvariablen[edit]Diskrete Zufallsvariablen[edit]Beispiel[edit]Eigenschaften[edit]Kovarianz mit sich selbst[edit]Kovarianz linearer Kombinationen[edit]Hoeffdings Kovarianzidentit\u00e4t[edit]Unkorrelation und Unabh\u00e4ngigkeit[edit]Beziehung zu inneren Produkten[edit]Berechnung der Stichproben-Kovarianz[edit]Verallgemeinerungen[edit]Autokovarianzmatrix von realen Zufallsvektoren[edit]Kreuzkovarianzmatrix realer Zufallsvektoren[edit]Numerische Berechnung[edit]Anwendungen[edit]In der Genetik und Molekularbiologie[edit]In der Finanz\u00f6konomie[edit]Bei der Assimilation meteorologischer und ozeanographischer Daten[edit]In der Mikrometeorologie[edit]In der Signalverarbeitung[edit]In Statistik und Bildverarbeitung[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Definition[edit]F\u00fcr zwei gemeinsam verteilte reelle Zufallsvariablen X.{ displaystyle X}  und Y.{ displaystyle Y}  Bei endlichen zweiten Momenten wird die Kovarianz als der erwartete Wert (oder Mittelwert) des Produkts ihrer Abweichungen von ihren individuellen erwarteten Werten definiert:[3][4]::p.  119  cov\u2061((X.,Y.)=E.\u2061[(X\u2212E\u2061[X])((Y.– –E.\u2061[Y])]]{ displaystyle  operatorname {cov} (X, Y) =  operatorname {E} {{ big [}(X-operatorname {E} [X]) (Y-  operatorname {E} [Y]){gro\u00df ]}}}((Gl.1)wo E.\u2061[X]{ displaystyle  operatorname {E} [X]}}  ist der erwartete Wert von X.{ displaystyle X}, auch bekannt als Mittelwert von X.{ displaystyle X}.  Die Kovarianz wird manchmal auch bezeichnet \u03c3X.Y.{ displaystyle  sigma _ {XY}}  oder \u03c3((X.,Y.){ displaystyle  sigma (X, Y)}in Analogie zur Varianz.  Durch Verwendung der Linearit\u00e4tseigenschaft der Erwartungen kann dies auf den erwarteten Wert ihres Produkts abz\u00fcglich des Produkts ihrer erwarteten Werte vereinfacht werden:cov\u2061((X.,Y.)=E.\u2061[(X\u2212E\u2061[X])((Y.– –E.\u2061[Y])]]=E.\u2061[XY\u2212XE\u2061[Y]– –E.\u2061[X]Y.+E.\u2061[X]E.\u2061[Y]]]=E.\u2061[XY]– –E.\u2061[X]E.\u2061[Y]– –E.\u2061[X]E.\u2061[Y]+E.\u2061[X]E.\u2061[Y]=E.\u2061[XY]– –E.\u2061[X]E.\u2061[Y],{ displaystyle { begin {align}  operatorname {cov} (X, Y) & =  operatorname {E}  left[left(X-operatorname {E} left[Xright] right)  left (Y-  operatorname {E}  left[Yright] right)  right]\\ & =  operatorname {E}  left[XY-Xoperatorname {E} left[Yright]-  operatorname {E}  left[Xright]Y +  operatorname {E}  left[Xright] operatorname {E}  left[Yright] right]\\ & =  operatorname {E}  left[XYright]-  operatorname {E}  left[Xright] operatorname {E}  left[Yright]-  operatorname {E}  left[Xright] operatorname {E}  left[Yright]+  operatorname {E}  left[Xright] operatorname {E}  left[Yright]\\ & =  operatorname {E}  left[XYright]-  operatorname {E}  left[Xright] operatorname {E}  left[Yright],  end {align}}}Diese Gleichung kann jedoch katastrophal aufgehoben werden (siehe Abschnitt \u00fcber numerische Berechnungen weiter unten).Die Ma\u00dfeinheiten der Kovarianz cov\u2061((X.,Y.){ displaystyle  operatorname {cov} (X, Y)}  sind die von X.{ displaystyle X}  mal die von Y.{ displaystyle Y}.  Im Gegensatz dazu sind Korrelationskoeffizienten, die von der Kovarianz abh\u00e4ngen, ein dimensionsloses Ma\u00df f\u00fcr die lineare Abh\u00e4ngigkeit.  (Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen Korrelationskoeffizienten einfach als normalisierte Version der Kovarianz verstanden werden.)Definition f\u00fcr komplexe Zufallsvariablen[edit]Die Kovarianz zwischen zwei komplexen Zufallsvariablen Z.,W.{ displaystyle Z, W}  ist definiert als[4]::p.  119cov\u2061((Z.,W.)=E.\u2061[(Z\u2212E\u2061[Z])((W.– –E.\u2061[W])\u00af]]=E.\u2061[ZW\u00af]– –E.\u2061[Z]E.\u2061[W\u00af]{ displaystyle  operatorname {cov} (Z, W) =  operatorname {E}  left[(Z-operatorname {E} [Z]) { overline {(W-  operatorname {E} [W])}}  right]=  operatorname {E}  left[Z{overline {W}}right]-  operatorname {E} [Z] operatorname {E}  left[{overline {W}}right]}}Beachten Sie die komplexe Konjugation des zweiten Faktors in der Definition.Diskrete Zufallsvariablen[edit]Wenn das Zufallsvariablenpaar ((X.,Y.){ displaystyle (X, Y)}  kann die Werte annehmen ((xich,yich){ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}  zum ich=1,\u2026,n{ displaystyle i = 1,  ldots, n}mit gleichen Wahrscheinlichkeiten pich=1\/.n{ displaystyle p_ {i} = 1 \/ n}dann kann die Kovarianz in Bezug auf die Mittel gleichwertig geschrieben werden E.\u2061[X]{ displaystyle  operatorname {E} [X]}}  und E.\u2061[Y]{ displaystyle  operatorname {E} [Y]}}  wiecov\u2061((X.,Y.)=1n\u2211ich=1n((xich– –E.((X.))((yich– –E.((Y.)).{ displaystyle  operatorname {cov} (X, Y) = { frac {1} {n}}  sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -E (X)) (y_ { i} -E (Y)).}Es kann auch \u00e4quivalent ausgedr\u00fcckt werden, ohne sich direkt auf die Mittel zu beziehen, als[5]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/25\/kovarianz-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Kovarianz – Wikipedia"}}]}]