Bogenlänge – Wikipedia

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Entfernung entlang einer Kurve

Bei Gleichrichtung ergibt die Kurve ein gerades Liniensegment mit der gleichen Länge wie die Bogenlänge der Kurve.

Bogenlänge ist der Abstand zwischen zwei Punkten entlang eines Kurvenabschnitts.

Das Bestimmen der Länge eines unregelmäßigen Bogensegments wird auch genannt Berichtigung einer Kurve. Das Aufkommen der Infinitesimalrechnung führte zu einer allgemeinen Formel, die in einigen Fällen geschlossene Lösungen liefert.

Allgemeiner Ansatz[edit]

Approximation durch mehrere lineare Segmente

Eine Kurve in der Ebene kann durch Verbinden von a angenähert werden endlich Anzahl der Punkte auf der Kurve mithilfe von Liniensegmenten, um einen polygonalen Pfad zu erstellen. Da es einfach ist, die Länge jedes linearen Segments zu berechnen (z. B. unter Verwendung des Satzes von Pythagoras im euklidischen Raum), kann die Gesamtlänge der Approximation durch Summieren der Längen jedes linearen Segments ermittelt werden. Diese Annäherung ist bekannt als die (kumulative) Akkordentfernung.[1]

Wenn die Kurve noch kein polygonaler Pfad ist, führt die Verwendung einer zunehmend größeren Anzahl von Segmenten kleinerer Länge zu besseren Annäherungen. Die Längen der aufeinanderfolgenden Näherungen nehmen nicht ab und können unbegrenzt weiter zunehmen, aber für glatte Kurven tendieren sie zu einer endlichen Grenze, wenn die Längen der Segmente beliebig klein werden.

Für einige Kurven gibt es eine kleinste Zahl

L.{ displaystyle L}

das ist eine Obergrenze für die Länge einer polygonalen Näherung. Diese Kurven werden aufgerufen behebbar und die Nummer

L.{ displaystyle L}

ist definiert als die Bogenlänge.

Definition für eine glatte Kurve[edit]

Lassen

f::[a,b]R.n{ displaystyle f Doppelpunkt [a,b] to mathbb {R} ^ {n}}

eine kontinuierlich differenzierbare Funktion sein. Die Länge der Kurve definiert durch

f{ displaystyle f}

kann als die Grenze der Summe der Liniensegmentlängen für eine reguläre Partition von definiert werden

[a,b]{ displaystyle [a,b]}}

wenn sich die Anzahl der Segmente der Unendlichkeit nähert. Das heisst

wo

tich=ein+ich((b– –ein)/.N.=ein+ichΔt{ displaystyle t_ {i} = a + i (ba) / N = a + i Delta t}

zum

ich=0,1,,N..{ displaystyle i = 0,1, dotsc, N.}

Diese Definition entspricht der Standarddefinition der Bogenlänge als Integral:

hat einen absoluten Wert kleiner als

ϵ((b– –ein){ displaystyle epsilon (ba)}

zum

N.>((b– –ein)/.δ((ϵ).{ displaystyle N> (ba) / delta ( epsilon).}

N.,{ displaystyle N rightarrow infty,}

Der linke Term oben entspricht dem rechten Term, der nur das Riemannsche Integral von ist

Wenn eine planare Kurve in

R.2{ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}

wird durch die Gleichung definiert

y=f((x),{ displaystyle y = f (x),}

wo

f{ displaystyle f}

ist kontinuierlich differenzierbar, dann ist es einfach ein Sonderfall einer parametrischen Gleichung wo

x=t{ displaystyle x = t}

und

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