[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/26\/bogenlange-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/26\/bogenlange-wikipedia\/","headline":"Bogenl\u00e4nge – Wikipedia","name":"Bogenl\u00e4nge – Wikipedia","description":"before-content-x4 Entfernung entlang einer Kurve Bei Gleichrichtung ergibt die Kurve ein gerades Liniensegment mit der gleichen L\u00e4nge wie die Bogenl\u00e4nge","datePublished":"2020-12-26","dateModified":"2020-12-26","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/dc\/Arc_length.gif","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/dc\/Arc_length.gif","height":"100","width":"400"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/26\/bogenlange-wikipedia\/","wordCount":16736,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Entfernung entlang einer Kurve    Bei Gleichrichtung ergibt die Kurve ein gerades Liniensegment mit der gleichen L\u00e4nge wie die Bogenl\u00e4nge der Kurve.  Bogenl\u00e4nge ist der Abstand zwischen zwei Punkten entlang eines Kurvenabschnitts.  Das Bestimmen der L\u00e4nge eines unregelm\u00e4\u00dfigen Bogensegments wird auch genannt Berichtigung einer Kurve.  Das Aufkommen der Infinitesimalrechnung f\u00fchrte zu einer allgemeinen Formel, die in einigen F\u00e4llen geschlossene L\u00f6sungen liefert.Table of ContentsAllgemeiner Ansatz[edit]Definition f\u00fcr eine glatte Kurve[edit]Numerische Integration[edit]Kurve auf einer Oberfl\u00e4che[edit]Andere Koordinatensysteme[edit]Einfache F\u00e4lle[edit]Kreisb\u00f6gen[edit]B\u00f6gen gro\u00dfer Kreise auf der Erde[edit]L\u00e4nge eines Parabelbogens[edit]Historische Methoden[edit]Antike[edit]17. Jahrhundert[edit]Integrale Form[edit]Kurven mit unendlicher L\u00e4nge[edit]Verallgemeinerung auf (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Quellen[edit]Externe Links[edit]Allgemeiner Ansatz[edit]  Approximation durch mehrere lineare SegmenteEine Kurve in der Ebene kann durch Verbinden von a angen\u00e4hert werden endlich Anzahl der Punkte auf der Kurve mithilfe von Liniensegmenten, um einen polygonalen Pfad zu erstellen.  Da es einfach ist, die L\u00e4nge jedes linearen Segments zu berechnen (z. B. unter Verwendung des Satzes von Pythagoras im euklidischen Raum), kann die Gesamtl\u00e4nge der Approximation durch Summieren der L\u00e4ngen jedes linearen Segments ermittelt werden. Diese Ann\u00e4herung ist bekannt als die (kumulative) Akkordentfernung.[1]  Wenn die Kurve noch kein polygonaler Pfad ist, f\u00fchrt die Verwendung einer zunehmend gr\u00f6\u00dferen Anzahl von Segmenten kleinerer L\u00e4nge zu besseren Ann\u00e4herungen.  Die L\u00e4ngen der aufeinanderfolgenden N\u00e4herungen nehmen nicht ab und k\u00f6nnen unbegrenzt weiter zunehmen, aber f\u00fcr glatte Kurven tendieren sie zu einer endlichen Grenze, wenn die L\u00e4ngen der Segmente beliebig klein werden.F\u00fcr einige Kurven gibt es eine kleinste Zahl L.{ displaystyle L}  das ist eine Obergrenze f\u00fcr die L\u00e4nge einer polygonalen N\u00e4herung.  Diese Kurven werden aufgerufen behebbar und die Nummer L.{ displaystyle L}  ist definiert als die Bogenl\u00e4nge.Definition f\u00fcr eine glatte Kurve[edit]Lassen f::[a,b]\u2192R.n{ displaystyle f  Doppelpunkt [a,b] to  mathbb {R} ^ {n}}  eine kontinuierlich differenzierbare Funktion sein.  Die L\u00e4nge der Kurve definiert durch f{ displaystyle f}  kann als die Grenze der Summe der Liniensegmentl\u00e4ngen f\u00fcr eine regul\u00e4re Partition von definiert werden [a,b]{ displaystyle [a,b]}}  wenn sich die Anzahl der Segmente der Unendlichkeit n\u00e4hert.  Das heisstL.((f)=limN.\u2192\u221e\u2211ich=1N.|f((tich)– –f((tich– –1)|{ displaystyle L (f) =  lim _ {N  to  infty}  sum _ {i = 1} ^ {N} { bigg |} f (t_ {i}) – f (t_ {i-1 }) { bigg |}}wo tich=ein+ich((b– –ein)\/.N.=ein+ich\u0394t{ displaystyle t_ {i} = a + i (ba) \/ N = a + i  Delta t}  zum ich=0,1,\u2026,N..{ displaystyle i = 0,1,  dotsc, N.}  Diese Definition entspricht der Standarddefinition der Bogenl\u00e4nge als Integral:"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki10\/2020\/12\/26\/bogenlange-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Bogenl\u00e4nge – Wikipedia"}}]}]