Harnacks Ungleichung – Wikipedia

In Mathematik, Harnacks Ungleichung ist eine Ungleichung, die die Werte einer positiven harmonischen Funktion an zwei Punkten in Beziehung setzt, eingeführt von A. Harnack (1887). J. Serrin (1955) und J. Moser (1961, 1964) verallgemeinerten Harnacks Ungleichung auf Lösungen elliptischer oder parabolischer partieller Differentialgleichungen. Perelmans Lösung der Poincaré-Vermutung verwendet eine Version der von R. Hamilton (1993) gefundenen Harnack-Ungleichung für den Ricci-Fluss. Harnacks Ungleichung wird verwendet, um Harnacks Theorem über die Konvergenz von Sequenzen harmonischer Funktionen zu beweisen. Harnacks Ungleichung kann auch verwendet werden, um die innere Regelmäßigkeit schwacher Lösungen partieller Differentialgleichungen zu zeigen.

Die Aussage[edit]

Eine harmonische Funktion (grün) über einer Scheibe (blau) wird von oben durch eine Funktion (rot) begrenzt, die mit der harmonischen Funktion in der Plattenmitte übereinstimmt und sich der Unendlichkeit zur Scheibengrenze nähert.

Harnacks Ungleichung gilt für eine nicht negative Funktion f definiert auf einem geschlossenen Ball in R.n mit Radius R. und zentrieren x0. Es heißt, wenn f ist kontinuierlich auf der geschlossenen Kugel und harmonisch auf ihrem Inneren, dann für jeden Punkt x mit |x – – x0| = r < R.,

1– –((r/.R.)[1+(r/R)]n– –1f((x0)≤f((x)≤1+((r/.R.)[1−(r/R)]n– –1f((x0).{ displaystyle { frac {1- (r / R)} {[1+(r/R)]^ {n-1}}} f (x_ {0}) leq f (x) leq {1+ (r / R) over [1-(r/R)]^ {n-1}} f (x_ {0}).}

Im Flugzeug R.2 ((n = 2) Die Ungleichung kann geschrieben werden:

R.– –rR.+rf((x0)≤f((x)≤R.+rR.– –rf((x0).{ displaystyle {Rr über R + r} f (x_ {0}) leq f (x) leq {R + r über Rr} f (x_ {0}).}

Für allgemeine Domänen

Ω{ displaystyle Omega}

im

R.n{ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}

Die Ungleichung kann wie folgt angegeben werden: Wenn

ω{ displaystyle omega}

ist eine begrenzte Domain mit

ω¯⊂Ω{ displaystyle { bar { omega}} subset Omega}

dann gibt es eine Konstante

C.{ displaystyle C}

so dass

supx∈ωu((x)≤C.infx∈ωu((x){ displaystyle sup _ {x in omega} u (x) leq C inf _ {x in omega} u (x)}

für jede zweimal differenzierbare, harmonische und nichtnegative Funktion

u((x){ displaystyle u (x)}

. Die Konstante

C.{ displaystyle C}

ist unabhängig von

u{ displaystyle u}

;; es hängt nur von den Domänen ab

Ω{ displaystyle Omega}

und

ω{ displaystyle omega}

.

Beweis für Harnacks Ungleichheit in einem Ball[edit]

Nach Poissons Formel

f((x)=1ωn– –1∫|y– –x0|=R.R.2– –r2R.|x– –y|n⋅f((y)dy,{ displaystyle f (x) = { frac {1} { omega _ {n-1}}} int _ {| y-x_ {0} | = R} { frac {R ^ {2} – r ^ {2}} {R | xy | ^ {n}}} cdot f (y) , dy,}

wo ωn – 1 ist die Fläche der Einheitskugel in R.n und r = |x – – x0|.

Schon seit

R.– –r≤|x– –y|≤R.+r,{ displaystyle Rr leq | xy | leq R + r,}

Der Kernel im Integranden erfüllt

R.– –rR.((R.+r)n– –1≤R.2– –r2R.|x– –y|n≤R.+rR.((R.– –r)n– –1.{ displaystyle { frac {Rr} {R (R + r) ^ {n-1}}} leq { frac {R ^ {2} -r ^ {2}} {R | xy | ^ {n }}} leq { frac {R + r} {R (Rr) ^ {n-1}}}.}

Harnacks Ungleichung folgt, indem diese Ungleichung in das obige Integral eingesetzt wird und die Tatsache verwendet wird, dass der Durchschnitt einer harmonischen Funktion über einer Kugel ihrem Wert im Zentrum der Kugel entspricht:

f((x0)=1R.n– –1ωn– –1∫|y– –x0|=R.f((y)dy.{ displaystyle f (x_ {0}) = { frac {1} {R ^ {n-1} omega _ {n-1}}} int _ {| y-x_ {0} | = R} f (y) , dy.}

Elliptische partielle Differentialgleichungen[edit]

Für elliptische partielle Differentialgleichungen besagt Harnacks Ungleichung, dass das Supremum einer positiven Lösung in einem verbundenen offenen Bereich durch einige konstante Zeiten des Infimums begrenzt ist, möglicherweise mit einem zusätzlichen Term, der eine funktionale Norm der Daten enthält:

supu≤C.((infu+‖f‖){ displaystyle supu leq C ( infu + | f |)}

Die Konstante hängt von der Elliptizität der Gleichung und dem verbundenen offenen Bereich ab.

Parabolische partielle Differentialgleichungen[edit]

Es gibt eine Version von Harnacks Ungleichung für lineare parabolische PDEs wie die Wärmegleichung.

Lassen

M.{ displaystyle { mathcal {M}}}

eine glatte (begrenzte) Domäne sein in

R.n{ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}

und betrachten Sie den linearen elliptischen Operator

L.u=∑ich,j=1neinichj((t,x)∂2u∂xich∂xj+∑ich=1nbich((t,x)∂u∂xich+c((t,x)u{ displaystyle { mathcal {L}} u = sum _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {ij} (t, x) { frac { partiell ^ {2} u} { partiell x_ {i} , partielle x_ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} (t, x) { frac { partielle u} { partielle x_ {i }}} + c (t, x) u}

mit glatten und begrenzten Koeffizienten und einer positiven bestimmten Matrix

((einichj){ displaystyle (a_ {ij})}

. Nehme an, dass

u((t,x)∈C.2((((0,T.)×M.){ displaystyle u (t, x) in C ^ {2} ((0, T) times { mathcal {M}})}

ist eine Lösung von

∂u∂t– –L.u=0{ displaystyle { frac { partielles u} { partielles t}} – { mathcal {L}} u = 0}

im ((0,T.)×M.{ displaystyle (0, T) times { mathcal {M}}}

so dass

u((t,x)≥0 im ((0,T.)×M..{ displaystyle quadu (t, x) geq 0 { text {in}} (0, T) times { mathcal {M}}.}

Lassen

K.{ displaystyle K}

kompakt enthalten sein in

M.{ displaystyle { mathcal {M}}}

und wähle

τ∈((0,T.){ displaystyle tau in (0, T)}

. Dann existiert eine Konstante C. > 0 (nur abhängig von K.,

τ{ displaystyle tau}

,

t– –τ{ displaystyle t- tau}

und die Koeffizienten von

L.{ displaystyle { mathcal {L}}}

) so, dass für jeden

t∈((τ,T.){ displaystyle t in ( tau, T)}

,

supK.u((t– –τ,⋅)≤C.infK.u((t,⋅).{ displaystyle sup _ {K} u (t- tau, cdot) leq C inf _ {K} u (t, cdot).}

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  • Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Vollständig nichtlineare elliptische Gleichungen, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, S. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5
  • Folland, Gerald B. (1995), Einführung in partielle Differentialgleichungen (2. Aufl.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
  • Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Springer, ISBN 3-540-41160-7
  • Hamilton, Richard S. (1993), “Die Harnack-Schätzung für den Ricci-Fluss”, Zeitschrift für Differentialgeometrie, 37 (1): 225–243, doi:10.4310 / jdg / 1214453430, ISSN 0022-040X, HERR 1198607
  • Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentials und der potenziellen Potentialfunktion in der Ebene, Leipzig: VG Teubner
  • John, Fritz (1982), Partielle Differentialgleichungen, Angewandte Mathematik, 1 (4. Aufl.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
  • Kamynin, LI (2001) [1994], “Harnack-Theorem”, Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press
  • Kassmann, Moritz (2007), “Harnack-Ungleichungen: Eine Einführung” Grenzwertprobleme 2007: 081415, doi: 10.1155 / 2007/81415, HERR 2291922
  • Moser, Jürgen (1961), “Über Harnacks Satz für elliptische Differentialgleichungen”, Mitteilungen über reine und angewandte Mathematik, 14 (3): 577–591, doi:10.1002 / cpa.3160140329, HERR 0159138
  • Moser, Jürgen (1964), “Eine Harnack-Ungleichung für parabolische Differentialgleichungen”, Mitteilungen über reine und angewandte Mathematik, 17 (1): 101–134, doi:10.1002 / cpa.3160170106, HERR 0159139
  • Serrin, James (1955), “Über die Harnack-Ungleichung für lineare elliptische Gleichungen”, Journal d’Analyse Mathématique, 4 (1): 292–308, doi:10.1007 / BF02787725, HERR 0081415
  • LC Evans (1998), Partielle Differentialgleichungen. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, USA. Für elliptische PDEs siehe Satz 5, S. 334 und für parabolische PDEs siehe Satz 10, S. 370.