Kristallographische Punktgruppe – Wikipedia

In der Kristallographie a kristallographische Punktgruppe ist eine Reihe von Symmetrieoperationen, die einer der Punktgruppen in drei Dimensionen entsprechen, so dass jede Operation die Struktur eines Kristalls unverändert lassen würde, dh die gleichen Arten von Atomen würden an ähnlichen Positionen wie vor der Transformation platziert. Beispielsweise ist in einem primitiven kubischen Kristallsystem eine Drehung der Einheitszelle um 90 Grad um eine Achse, die senkrecht zu zwei parallelen Flächen des Würfels verläuft und sich in seiner Mitte schneidet, eine Symmetrieoperation, die jedes Atom an den Ort von projiziert einer seiner Nachbarn lässt die Gesamtstruktur des Kristalls unberührt.

Bei der Klassifizierung von Kristallen definiert jede Punktgruppe eine sogenannte (geometrische) Kristallklasse. Es gibt unendlich viele dreidimensionale Punktgruppen. Die kristallographische Beschränkung der allgemeinen Punktgruppen führt jedoch dazu, dass es nur 32 kristallographische Punktgruppen gibt. Diese 32 Punktgruppen sind ein und dasselbe wie die 32 Arten morphologischer (externer) kristalliner Symmetrien, die Johann Friedrich Christian Hessel 1830 aus der Betrachtung beobachteter Kristallformen ableitete.

Die Punktgruppe eines Kristalls bestimmt unter anderem die Richtungsänderung physikalischer Eigenschaften, die sich aus seiner Struktur ergeben, einschließlich optischer Eigenschaften wie Doppelbrechung oder elektrooptischer Merkmale wie des Pockels-Effekts. Für einen periodischen Kristall (im Gegensatz zu einem Quasikristall) muss die Gruppe die dreidimensionale Translationssymmetrie beibehalten, die die Kristallinität definiert.

Notation[edit]

Die Punktgruppen werden nach ihren Komponentensymmetrien benannt. Es gibt verschiedene Standardnotationen, die von Kristallographen, Mineralogisten und Physikern verwendet werden.

Zur Entsprechung der beiden folgenden Systeme siehe Kristallsystem.

Schönflies Notation[edit]

In der Schönflies-Notation werden Punktgruppen durch ein Buchstabensymbol mit einem Index gekennzeichnet. Die in der Kristallographie verwendeten Symbole bedeuten Folgendes:

  • C.n (für zyklisch) gibt an, dass die Gruppe eine hat n-Faltrotationsachse. C.nh ist C.n mit der Hinzufügung einer Spiegelebene (Reflexionsebene) senkrecht zur Rotationsachse. C.nv ist C.n mit der Hinzufügung von n Spiegelebenen parallel zur Rotationsachse.
  • S.2n (zum Spiegel, Deutsch für Spiegel) bezeichnet eine Gruppe mit nur a 2n-Falte Rotationsreflexionsachse.
  • D.n (für Dieder oder zweiseitig) gibt an, dass die Gruppe eine hat n-Faltrotationsachse plus n zweifache Achsen senkrecht zu dieser Achse. D.nh hat zusätzlich eine Spiegelebene senkrecht zur n-Falte Achse. D.nd hat zusätzlich zu den Elementen von D.nSpiegelebenen parallel zum n-Falte Achse.
  • Der Buchstabe T. (für Tetraeder) gibt an, dass die Gruppe die Symmetrie eines Tetraeders hat. T.d beinhaltet unsachgemäße Rotationsvorgänge, T. schließt unsachgemäße Rotationsvorgänge aus und T.h ist T. mit der Hinzufügung einer Inversion.
  • Der Buchstabe Ö (für Oktaeder) gibt an, dass die Gruppe die Symmetrie eines Oktaeders (oder Würfels) mit (Öh) oder ohne (Ö) unsachgemäße Operationen (solche, die die Händigkeit ändern).

Aufgrund des kristallographischen Restriktionssatzes n = 1, 2, 3, 4 oder 6 im 2- oder 3-dimensionalen Raum.

n 1 2 3 4 6
C.n C.1 C.2 C.3 C.4 C.6
C.nv C.1v=C.1h C.2v C.3v C.4v C.6v
C.nh C.1h C.2h C.3h C.4h C.6h
D.n D.1=C.2 D.2 D.3 D.4 D.6
D.nh D.1h=C.2v D.2h D.3h D.4h D.6h
D.nd D.1d=C.2h D.2d D.3d D.4d D.6d
S.2n S.2 S.4 S.6 S.8 S.12

D.4d und D.6d sind eigentlich verboten, weil sie falsche Drehungen mit n = 8 bzw. 12 enthalten. Die 27 Punktgruppen in der Tabelle plus T., T.d, T.h, Ö und Öh bilden 32 kristallographische Punktgruppen.

Hermann-Mauguin-Notation[edit]

Eine abgekürzte Form der Hermann-Mauguin-Notation, die üblicherweise für Raumgruppen verwendet wird, dient auch zur Beschreibung kristallographischer Punktgruppen. Gruppennamen sind

Klasse Gruppennamen
Kubisch 23 m3 432 43m m3m
Sechseckig 6 6 6m 622 6mm 6m2 6 / mmm
Trigonal 3 3 32 3m 3m
Tetragonal 4 4 4m 422 4mm 42m 4 / mmm
Orthorhombisch 222 mm2 mmm
Monoklin 2 2m m
Triklinisch 1 1 Untergruppenbeziehungen der 32 kristallographischen Punktgruppen
(Zeilen stellen Gruppenreihenfolgen von unten nach oben dar als: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 und 48.)

Die Entsprechung zwischen verschiedenen Notationen[edit]

Kristallsystem Hermann-Mauguin Shubnikov[1] Schönflies Orbifold Coxeter Auftrag
(voll) (kurz)
Triklinisch 1 1 1 { displaystyle 1 }

C.1 11 [ ]+ 1
1 1 2~{ displaystyle { tilde {2}}}

C.ich = S.2 × [2+,2+] 2
Monoklin 2 2 2 { displaystyle 2 }

C.2 22 [2]+ 2
m m m { displaystyle m }

C.s = C.1h * * [ ] 2
2m{ displaystyle { tfrac {2} {m}}}

2 / m 2::m { displaystyle 2: m }

C.2h 2 * [2,2+] 4
Orthorhombisch 222 222 2::2 { displaystyle 2: 2 }

D.2 = V. 222 [2,2]+ 4
mm2 mm2 2⋅m { displaystyle 2 cdot m }

C.2v * 22 [2] 4
2m2m2m{ displaystyle { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}}}

mmm m⋅2::m { displaystyle m cdot 2: m }

D.2h = V.h * 222 [2,2] 8
Tetragonal 4 4 4 { displaystyle 4 }

C.4 44 [4]+ 4
4 4 4~{ displaystyle { tilde {4}}}

S.4 2 × [2+,4+] 4
4m{ displaystyle { tfrac {4} {m}}}

4 / m 4::m { displaystyle 4: m }

C.4h 4 * [2,4+] 8
422 422 4::2 { displaystyle 4: 2 }

D.4 422 [4,2]+ 8
4mm 4mm 4⋅m { displaystyle 4 cdot m }

C.4v * 44 [4] 8
42m 42m 4~⋅m{ displaystyle { tilde {4}} cdot m}

D.2d = V.d 2 * 2 [2+,4] 8
4m2m2m{ displaystyle { tfrac {4} {m}} { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}}}

4 / mmm m⋅4::m { displaystyle m cdot 4: m }

D.4h * 422 [4,2] 16
Trigonal 3 3 3 { displaystyle 3 }

C.3 33 [3]+ 3
3 3 6~{ displaystyle { tilde {6}}}

C.3i = S.6 3 × [2+,6+] 6
32 32 3::2 { displaystyle 3: 2 }

D.3 322 [3,2]+ 6
3m 3m 3⋅m { displaystyle 3 cdot m }

C.3v * 33 [3] 6
3 2m{ displaystyle { tfrac {2} {m}}}

3m 6~⋅m{ displaystyle { tilde {6}} cdot m}

D.3d 2 * 3 [2+,6] 12
Sechseckig 6 6 6 { displaystyle 6 }

C.6 66 [6]+ 6
6 6 3::m { displaystyle 3: m }

C.3h 3* [2,3+] 6
6m{ displaystyle { tfrac {6} {m}}}

6 / m 6::m { displaystyle 6: m }

C.6h 6 * [2,6+] 12
622 622 6::2 { displaystyle 6: 2 }

D.6 622 [6,2]+ 12
6mm 6mm 6⋅m { displaystyle 6 cdot m }

C.6v * 66 [6] 12
6m2 6m2 m⋅3::m { displaystyle m cdot 3: m }

D.3h * 322 [3,2] 12
6m2m2m{ displaystyle { tfrac {6} {m}} { tfrac {2} {m}} { tfrac {2} {m}}}

6 / mmm m⋅6::m { displaystyle m cdot 6: m }

D.6h * 622 [6,2] 24
Kubisch 23 23 3/.2 { displaystyle 3/2 }

T. 332 [3,3]+ 12
2m{ displaystyle { tfrac {2} {m}}}

3
m3 6~/.2{ displaystyle { tilde {6}} / 2}

T.h 3 * 2 [3+,4] 24
432 432 3/.4 { displaystyle 3/4 }

Ö 432 [4,3]+ 24
43m 43m 3/.4~{ displaystyle 3 / { tilde {4}}}

T.d * 332 [3,3] 24
4m{ displaystyle { tfrac {4} {m}}}

3 2m{ displaystyle { tfrac {2} {m}}}

m3m 6~/.4{ displaystyle { tilde {6}} / 4}

Öh * 432 [4,3] 48

Isomorphismen[edit]

Viele der kristallographischen Punktgruppen haben dieselbe innere Struktur. Zum Beispiel die Punktgruppen 1, 2 und m enthalten unterschiedliche geometrische Symmetrieoperationen (Inversion, Rotation bzw. Reflexion), teilen jedoch alle die Struktur der zyklischen Gruppe Z.2. Alle isomorphen Gruppen haben dieselbe Ordnung, aber nicht alle Gruppen derselben Ordnung sind isomorph. Die isomorphen Punktgruppen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:[2]

Diese Tabelle verwendet zyklische Gruppen (Z.1, Z.2, Z.3, Z.4, Z.6), Diedergruppen (D.2, D.3, D.4, D.6), eine der alternierenden Gruppen (A.4) und eine der symmetrischen Gruppen (S.4). Hier kennzeichnet das Symbol “×” ein direktes Produkt.

Ableiten der kristallographischen Punktgruppe (Kristallklasse) aus der Raumgruppe[edit]

  1. Lassen Sie den Bravais-Typ weg
  2. Konvertieren Sie alle Symmetrieelemente mit Translationskomponenten in ihre jeweiligen Symmetrieelemente ohne Translationssymmetrie (Gleitebenen werden in einfache Spiegelebenen konvertiert; Schraubenachsen werden in einfache Rotationsachsen konvertiert)
  3. Rotationsachsen, Rotoinversionsachsen und Spiegelebenen bleiben unverändert.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]