[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/18\/kontinuumsmechanik-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/18\/kontinuumsmechanik-wikipedia\/","headline":"Kontinuumsmechanik – Wikipedia","name":"Kontinuumsmechanik – Wikipedia","description":"Zweig der Mechanik, der sich mit der Analyse der Kinematik und des mechanischen Verhaltens von Materialien befasst, die eher als","datePublished":"2020-12-18","dateModified":"2020-12-18","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/18\/kontinuumsmechanik-wikipedia\/","wordCount":36289,"articleBody":"Zweig der Mechanik, der sich mit der Analyse der Kinematik und des mechanischen Verhaltens von Materialien befasst, die eher als kontinuierliche Masse als als diskrete Partikel modelliert werden  Kontinuumsmechanik ist ein Zweig der Mechanik, der sich mit dem mechanischen Verhalten von Materialien befasst, die als kontinuierliche Masse und nicht als diskrete Partikel modelliert werden.  Der franz\u00f6sische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy war der erste, der solche Modelle im 19. Jahrhundert formulierte.Table of ContentsErl\u00e4uterung[edit]Konzept eines Kontinuums[edit]Autoverkehr als einleitendes Beispiel[edit]Die Erhaltung leitet eine PDE (Partial Differential Equation) ab.[edit]Beobachtung schlie\u00dft das Problem[edit]Hauptbereiche[edit]Formulierung von Modellen[edit]Kr\u00e4fte in einem Kontinuum[edit]Oberfl\u00e4chenkr\u00e4fte[edit]K\u00f6rperkr\u00e4fte[edit]Kinematik: Bewegung und Verformung[edit]Lagrange-Beschreibung[edit]Eulersche Beschreibung[edit]Verschiebungsfeld[edit]Gleichungen regeln[edit]Gleichgewichtsgesetze[edit]Clausius-Duhem-Ungleichung[edit]Anwendungen[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Zitierte Werke[edit]Allgemeine Hinweise[edit]Externe Links[edit]Erl\u00e4uterung[edit]Die Modellierung eines Objekts als Kontinuum setzt voraus, dass die Substanz des Objekts den Raum, den es einnimmt, vollst\u00e4ndig ausf\u00fcllt.  Das Modellieren von Objekten auf diese Weise ignoriert die Tatsache, dass Materie aus Atomen besteht und daher nicht kontinuierlich ist.  Auf L\u00e4ngenskalen, die viel gr\u00f6\u00dfer sind als die zwischenatomaren Abst\u00e4nde, sind solche Modelle jedoch sehr genau.  Grundlegende physikalische Gesetze wie die Erhaltung der Masse, die Erhaltung des Impulses und die Erhaltung der Energie k\u00f6nnen auf solche Modelle angewendet werden, um Differentialgleichungen abzuleiten, die das Verhalten solcher Objekte beschreiben, und einige Informationen \u00fcber das untersuchte Material werden durch konstitutive Beziehungen hinzugef\u00fcgt .  Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit physikalischen Eigenschaften von Festk\u00f6rpern und Fl\u00fcssigkeiten, die unabh\u00e4ngig von einem bestimmten Koordinatensystem sind, in dem sie beobachtet werden.  Diese physikalischen Eigenschaften werden dann durch Tensoren dargestellt, bei denen es sich um mathematische Objekte handelt, die die erforderliche Eigenschaft haben, vom Koordinatensystem unabh\u00e4ngig zu sein.  Diese Tensoren k\u00f6nnen zur Vereinfachung der Berechnung in Koordinatensystemen ausgedr\u00fcckt werden.Konzept eines Kontinuums[edit]Materialien wie Feststoffe, Fl\u00fcssigkeiten und Gase bestehen aus durch den Raum getrennten Molek\u00fclen.  Im mikroskopischen Ma\u00dfstab weisen Materialien Risse und Diskontinuit\u00e4ten auf.  Bestimmte physikalische Ph\u00e4nomene k\u00f6nnen jedoch unter der Annahme modelliert werden, dass die Materialien als a existieren Kontinuum, dh die Materie im K\u00f6rper ist kontinuierlich verteilt und f\u00fcllt den gesamten Raumbereich aus, den sie einnimmt.  Ein Kontinuum ist ein K\u00f6rper, der kontinuierlich in infinitesimale Elemente unterteilt werden kann, wobei die Eigenschaften die des Sch\u00fcttguts sind.Die G\u00fcltigkeit der Kontinuumsannahme kann durch eine theoretische Analyse \u00fcberpr\u00fcft werden, bei der entweder eine eindeutige Periodizit\u00e4t festgestellt wird oder statistische Homogenit\u00e4t und Ergodizit\u00e4t der Mikrostruktur vorliegt.  Insbesondere h\u00e4ngt die Kontinuumshypothese \/ -annahme von den Konzepten eines repr\u00e4sentativen Elementarvolumens und der Trennung von Skalen basierend auf der Hill-Mandel-Bedingung ab.  Diese Bedingung stellt eine Verbindung zwischen dem Standpunkt eines Experimentators und eines Theoretikers zu konstitutiven Gleichungen (lineare und nichtlineare elastische \/ unelastische oder gekoppelte Felder) sowie eine M\u00f6glichkeit zur r\u00e4umlichen und statistischen Mittelung der Mikrostruktur her.[page\u00a0needed]Wenn die Skalentrennung nicht zutrifft oder wenn man ein Kontinuum mit einer feineren Aufl\u00f6sung als der Gr\u00f6\u00dfe des repr\u00e4sentativen Volumenelements (RVE) erstellen m\u00f6chte, verwendet man a statistisches Volumenelement (SVE), was wiederum zu zuf\u00e4lligen Kontinuumsfeldern f\u00fchrt.  Letztere bieten dann eine mikromechanische Grundlage f\u00fcr stochastische finite Elemente (SFE).  Die Ebenen von SVE und RVE verbinden die Kontinuumsmechanik mit der statistischen Mechanik.  Die RVE kann nur in begrenztem Umfang durch experimentelle Tests bewertet werden: wenn die konstitutive Reaktion r\u00e4umlich homogen wird.  Speziell f\u00fcr Fl\u00fcssigkeiten wird anhand der Knudsen-Zahl beurteilt, inwieweit die Ann\u00e4herung an die Kontinuit\u00e4t erfolgen kann.Autoverkehr als einleitendes Beispiel[edit]Betrachten Sie der Einfachheit halber den Autoverkehr auf einer Autobahn mit nur einer Spur.  Etwas \u00fcberraschend und als Hommage an seine Wirksamkeit modelliert die Kontinuumsmechanik die Bewegung von Autos effektiv \u00fcber eine partielle Differentialgleichung (PDE) f\u00fcr die Dichte von Autos.  Die Vertrautheit mit dieser Situation erm\u00f6glicht es uns, ein wenig von der kontinuumsdiskreten Dichotomie zu verstehen, die der Kontinuumsmodellierung im Allgemeinen zugrunde liegt.Um mit der Modellierung zu beginnen, definieren Sie Folgendes: x{ displaystyle x}  misst die Entfernung (in km) entlang der Autobahn; t{ displaystyle t}  ist Zeit (in Minuten); \u03c1((x,t){ displaystyle  rho (x, t)}  ist die Dichte der Autos auf der Autobahn (in Autos \/ km auf der Fahrspur);  und u((x,t){ displaystyle u (x, t)}  ist die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) dieser Autos an der Position x{ displaystyle x}.Die Erhaltung leitet eine PDE (Partial Differential Equation) ab.[edit]Autos erscheinen und verschwinden nicht.  Betrachten Sie eine beliebige Gruppe von Autos: von dem bestimmten Auto auf der R\u00fcckseite der Gruppe, die sich bei befindet \u2202t+\u2202\u2202x((\u03c1u)=0{ displaystyle { frac { partiell  rho} { partiell t}} + { frac { partiell} { partiell x}} ( rho u) = 0}f\u00fcr alle Positionen auf der Autobahn.Diese Schutz-PDE gilt nicht nur f\u00fcr den Autoverkehr, sondern auch f\u00fcr Fl\u00fcssigkeiten, Feststoffe, Menschenmengen, Tiere, Pflanzen, Buschfeuer, Finanzh\u00e4ndler usw.Beobachtung schlie\u00dft das Problem[edit]Die vorherige PDE ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten, daher wird eine andere Gleichung ben\u00f6tigt, um ein gut gestelltes Problem zu bilden.  Eine solche zus\u00e4tzliche Gleichung wird typischerweise in der Kontinuumsmechanik ben\u00f6tigt und stammt typischerweise aus Experimenten.  F\u00fcr den Autoverkehr ist bekannt, dass Autos in der Regel mit einer Geschwindigkeit fahren, die von der Dichte abh\u00e4ngt. u=V.((\u03c1){ displaystyle u = V ( rho)}  f\u00fcr eine experimentell bestimmte Funktion V.{ displaystyle V}  das ist eine abnehmende Funktion der Dichte.  Zum Beispiel fanden Experimente im Lincoln Tunnel, dass eine gute Anpassung (au\u00dfer bei geringer Dichte) durch erhalten wird u=V.((\u03c1)=27.5ln\u2061((142\/.\u03c1){ displaystyle u = V ( rho) = 27,5  ln (142 \/  rho)}  (km \/ h f\u00fcr die Dichte in Autos \/ km).[page\u00a0needed]Das grundlegende Kontinuumsmodell f\u00fcr den Autoverkehr ist daher die PDE\u2202\u03c1\u2202t+\u2202\u2202x[\u03c1V(\u03c1)]=0{ displaystyle { frac { partiell  rho} { partiell t}} + { frac { partiell} { partiell x}}[rho V(rho )]= 0}f\u00fcr die Autodichte \u03c1((x,t){ displaystyle  rho (x, t)}  auf der Autobahn.Hauptbereiche[edit]KontinuumsmechanikDas Studium der Physik kontinuierlicher MaterialienFeste MechanikDas Studium der Physik kontinuierlicher Materialien mit definierter Ruheform.Elastizit\u00e4tBeschreibt Materialien, die nach dem Entfernen der angelegten Spannungen wieder in ihre Ruheform zur\u00fcckkehren.Plastizit\u00e4tBeschreibt Materialien, die sich nach einer ausreichenden Belastung dauerhaft verformen.RheologieDie Untersuchung von Materialien mit festen und fl\u00fcssigen Eigenschaften.Str\u00f6mungsmechanikDas Studium der Physik kontinuierlicher Materialien, die sich bei Krafteinwirkung verformen.Nicht-Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten unterliegen keinen Dehnungsraten, die proportional zur angelegten Scherspannung sind.Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten unterliegen Dehnungsraten, die proportional zur angelegten Scherspannung sind.Ein weiterer Bereich der Kontinuumsmechanik sind Elastomersch\u00e4ume, die eine merkw\u00fcrdige hyperbolische Spannungs-Dehnungs-Beziehung aufweisen.  Das Elastomer ist ein echtes Kontinuum, aber eine homogene Verteilung der Hohlr\u00e4ume verleiht ihm ungew\u00f6hnliche Eigenschaften.Formulierung von Modellen[edit]  Abbildung 1. Konfiguration eines Kontinuumsk\u00f6rpersModelle der Kontinuumsmechanik beginnen damit, dem materiellen K\u00f6rper eine Region im dreidimensionalen euklidischen Raum zuzuweisen B.{ displaystyle { mathcal {B}}}  modelliert werden.  Die Punkte in diesem Bereich werden als Partikel oder Materialpunkte bezeichnet.  Anders Konfigurationen oder Zust\u00e4nde des K\u00f6rpers entsprechen verschiedenen Regionen im euklidischen Raum.  Die Region, die der Konfiguration des K\u00f6rpers zum Zeitpunkt entspricht  t{ displaystyle  t}  ist beschriftet  \u03bat((B.){ displaystyle   kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}.Ein bestimmtes Teilchen im K\u00f6rper in einer bestimmten Konfiguration ist durch einen Positionsvektor gekennzeichnet  x=\u2211ich=13xicheich,{ displaystyle   mathbf {x} =  sum _ {i = 1} ^ {3} x_ {i}  mathbf {e} _ {i},}wo eich{ displaystyle  mathbf {e} _ {i}}  sind die Koordinatenvektoren in einem Referenzrahmen, die f\u00fcr das Problem ausgew\u00e4hlt wurden (siehe Abbildung 1).  Dieser Vektor kann als Funktion der Partikelposition ausgedr\u00fcckt werden X.{ displaystyle  mathbf {X}}  in einigen Referenzkonfiguration, zum Beispiel die Konfiguration zum ersten Mal, so dassx=\u03bat((X.).{ displaystyle  mathbf {x} =  kappa _ {t} ( mathbf {X}).}Diese Funktion muss verschiedene Eigenschaften haben, damit das Modell physikalisch sinnvoll ist. \u03bat((\u22c5){ displaystyle  kappa _ {t} ( cdot)}  muss sein:zeitlich kontinuierlich, so dass sich der K\u00f6rper auf realistische Weise ver\u00e4ndert,jederzeit global invertierbar, so dass sich der K\u00f6rper nicht selbst schneiden kann,Orientierungserhaltung, da Transformationen, die Spiegelreflexionen erzeugen, in der Natur nicht m\u00f6glich sind.F\u00fcr die mathematische Formulierung des Modells  \u03bat((\u22c5){ displaystyle   kappa _ {t} ( cdot)}  wird auch als zweimal kontinuierlich differenzierbar angenommen, so dass Differentialgleichungen formuliert werden k\u00f6nnen, die die Bewegung beschreiben.Kr\u00e4fte in einem Kontinuum[edit]Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit verformbaren K\u00f6rpern im Gegensatz zu starren K\u00f6rpern.  Ein Feststoff ist ein verformbarer K\u00f6rper, der Scherfestigkeit besitzt. sc. Ein Festk\u00f6rper kann Scherkr\u00e4fte aufnehmen (Kr\u00e4fte parallel zur Materialoberfl\u00e4che, auf die sie wirken).  Fl\u00fcssigkeiten hingegen halten keine Scherkr\u00e4fte aus.  F\u00fcr die Untersuchung des mechanischen Verhaltens von Festk\u00f6rpern und Fl\u00fcssigkeiten wird angenommen, dass es sich um kontinuierliche K\u00f6rper handelt. Dies bedeutet, dass die Materie den gesamten Raumbereich ausf\u00fcllt, den sie einnimmt, obwohl Materie aus Atomen besteht, Hohlr\u00e4ume aufweist und diskret ist.  Wenn sich die Kontinuumsmechanik auf einen Punkt oder ein Teilchen in einem kontinuierlichen K\u00f6rper bezieht, beschreibt sie daher keinen Punkt im interatomaren Raum oder ein Atomteilchen, sondern einen idealisierten Teil des K\u00f6rpers, der diesen Punkt einnimmt.In Anlehnung an die klassische Dynamik von Newton und Euler wird die Bewegung eines materiellen K\u00f6rpers durch die Einwirkung von von au\u00dfen aufgebrachten Kr\u00e4ften erzeugt, von denen angenommen wird, dass es zwei Arten gibt: Oberfl\u00e4chenkr\u00e4fte F.C.{ displaystyle  mathbf {F} _ {C}}  und K\u00f6rperkr\u00e4fte F.B.{ displaystyle  mathbf {F} _ {B}}.[full citation needed]  Somit ist die Gesamtkraft F.{ displaystyle { mathcal {F}}}  angewendet auf einen K\u00f6rper oder auf einen Teil des K\u00f6rpers kann ausgedr\u00fcckt werden als:F.=F.C.+F.B.{ displaystyle { mathcal {F}} =  mathbf {F} _ {C} +  mathbf {F} _ {B}}Oberfl\u00e4chenkr\u00e4fte[edit]Oberfl\u00e4chenkr\u00e4fte oder Kontaktkr\u00e4fte, ausgedr\u00fcckt als Kraft pro Fl\u00e4cheneinheit, kann entweder auf die Begrenzungsfl\u00e4che des K\u00f6rpers als Ergebnis eines mechanischen Kontakts mit anderen K\u00f6rpern oder auf imagin\u00e4re innere Oberfl\u00e4chen wirken, die Teile des K\u00f6rpers infolge der mechanischen Wechselwirkung zwischen den K\u00f6rpern binden K\u00f6rperteile zu beiden Seiten der Oberfl\u00e4che (Euler-Cauchys Spannungsprinzip).  Wenn ein K\u00f6rper von externen Kontaktkr\u00e4ften beaufschlagt wird, werden interne Kontaktkr\u00e4fte von Punkt zu Punkt innerhalb des K\u00f6rpers \u00fcbertragen, um ihre Wirkung gem\u00e4\u00df Newtons drittem Bewegungsgesetz zur Erhaltung des linearen Impulses und des Drehimpulses auszugleichen (f\u00fcr kontinuierliche K\u00f6rper diese Gesetze werden die Euler-Bewegungsgleichungen genannt).  Die inneren Kontaktkr\u00e4fte h\u00e4ngen durch konstitutive Gleichungen mit der Verformung des K\u00f6rpers zusammen.  Die inneren Kontaktkr\u00e4fte k\u00f6nnen mathematisch beschrieben werden, indem sie sich auf die Bewegung des K\u00f6rpers beziehen, unabh\u00e4ngig von der materiellen Zusammensetzung des K\u00f6rpers.[full citation needed]Die Verteilung der inneren Kontaktkr\u00e4fte \u00fcber das Volumen des K\u00f6rpers wird als kontinuierlich angenommen.  Daher gibt es eine Kontaktkraftdichte oder Cauchy Traktionsfeld[full citation needed]T.((n,x,t){ displaystyle  mathbf {T} ( mathbf {n},  mathbf {x}, t)}  das repr\u00e4sentiert diese Verteilung in einer bestimmten Konfiguration des K\u00f6rpers zu einem bestimmten Zeitpunkt t{ displaystyle t , !}.  Es ist kein Vektorfeld, da es nicht nur von der Position abh\u00e4ngt x{ displaystyle  mathbf {x}}  eines bestimmten Materialpunktes, aber auch auf die lokale Ausrichtung des Oberfl\u00e4chenelements, wie durch seinen Normalenvektor definiert n{ displaystyle  mathbf {n}}.[page\u00a0needed]Beliebiger Differenzbereich dS.{ displaystyle dS , !}  mit normalem Vektor n{ displaystyle  mathbf {n}}  einer gegebenen inneren Oberfl\u00e4che S.{ displaystyle S , !}Wenn ein Teil des K\u00f6rpers begrenzt wird, erf\u00e4hrt er eine Kontaktkraft dF.C.{ displaystyle d  mathbf {F} _ {C} , !}  entsteht aus dem Kontakt zwischen beiden K\u00f6rperteilen auf jeder Seite von S.{ displaystyle S , !}und es ist gegeben durchdF.C.=T.((n)dS.{ displaystyle d  mathbf {F} _ {C} =  mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} , dS}wo T.((n){ displaystyle  mathbf {T} ^ {( mathbf {n})}}  ist der Oberfl\u00e4chentraktion,[full citation needed]  auch genannt Spannungsvektor,[full citation needed]Traktion,[page\u00a0needed]  oder Traktionsvektor.[full citation needed]  Der Spannungsvektor ist ein rahmenindifferenter Vektor (siehe Euler-Cauchys Spannungsprinzip).Die gesamte Kontaktkraft auf die jeweilige Innenfl\u00e4che S.{ displaystyle S , !}  wird dann als die Summe (Oberfl\u00e4chenintegral) der Kontaktkr\u00e4fte auf allen Differentialfl\u00e4chen ausgedr\u00fcckt dS.{ displaystyle dS , !}::F.C.=\u222bS.T.((n)dS.{ displaystyle  mathbf {F} _ {C} =  int _ {S}  mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} , dS}In der Kontinuumsmechanik gilt ein K\u00f6rper als spannungsfrei, wenn nur die interatomaren Kr\u00e4fte (ionische, metallische und van der Waals-Kr\u00e4fte) vorhanden sind, die erforderlich sind, um den K\u00f6rper zusammenzuhalten und seine Form ohne \u00e4u\u00dfere Einfl\u00fcsse zu erhalten , einschlie\u00dflich Anziehungskraft.[full citation needed][full citation needed]  Spannungen, die w\u00e4hrend der Herstellung des K\u00f6rpers in einer bestimmten Konfiguration erzeugt werden, werden ebenfalls ausgeschlossen, wenn Spannungen in einem K\u00f6rper ber\u00fccksichtigt werden.  Daher sind die in der Kontinuumsmechanik ber\u00fccksichtigten Spannungen nur diejenigen, die durch Verformung des K\u00f6rpers erzeugt werden. sc. Es werden nur relative Spannungs\u00e4nderungen ber\u00fccksichtigt, nicht die absoluten Spannungswerte.K\u00f6rperkr\u00e4fte[edit]K\u00f6rperkr\u00e4fte sind Kr\u00e4fte, die von Quellen au\u00dferhalb des K\u00f6rpers stammen[full citation needed]  die auf das Volumen (oder die Masse) des K\u00f6rpers einwirken.  Zu sagen, dass K\u00f6rperkr\u00e4fte auf \u00e4u\u00dfere Quellen zur\u00fcckzuf\u00fchren sind, impliziert, dass sich die Wechselwirkung zwischen verschiedenen K\u00f6rperteilen (innere Kr\u00e4fte) allein durch die Kontaktkr\u00e4fte manifestiert.[full citation needed]  Diese Kr\u00e4fte entstehen durch die Anwesenheit des K\u00f6rpers in Kraftfeldern, z.B Gravitationsfeld (Gravitationskr\u00e4fte) oder elektromagnetisches Feld (elektromagnetische Kr\u00e4fte) oder Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte, wenn K\u00f6rper in Bewegung sind.  Da angenommen wird, dass die Masse eines kontinuierlichen K\u00f6rpers kontinuierlich verteilt ist, wird auch jede von der Masse ausgehende Kraft kontinuierlich verteilt.  Somit werden K\u00f6rperkr\u00e4fte durch Vektorfelder spezifiziert, von denen angenommen wird, dass sie \u00fcber das gesamte Volumen des K\u00f6rpers kontinuierlich sind.[full citation needed]dh auf jeden Punkt darin einwirken.  K\u00f6rperkr\u00e4fte werden durch eine K\u00f6rperkraftdichte dargestellt b((x,t){ displaystyle  mathbf {b} ( mathbf {x}, t)}  (pro Masseneinheit), das ist ein rahmenindifferentes Vektorfeld.Bei Gravitationskr\u00e4ften h\u00e4ngt die Intensit\u00e4t der Kraft von der Massendichte ab oder ist proportional dazu \u03c1((x,t){ displaystyle  mathbf { rho} ( mathbf {x}, t) , !}  des Materials, und es wird in Bezug auf die Kraft pro Masseneinheit angegeben (bich{ displaystyle b_ {i} , !}) oder pro Volumeneinheit (pich{ displaystyle p_ {i} , !}).  Diese beiden Spezifikationen werden durch die Materialdichte durch die Gleichung in Beziehung gesetzt \u03c1bich=pich{ displaystyle  rho b_ {i} = p_ {i} , !}.  In \u00e4hnlicher Weise h\u00e4ngt die Intensit\u00e4t der elektromagnetischen Kr\u00e4fte von der St\u00e4rke (elektrische Ladung) des elektromagnetischen Feldes ab.Die auf einen kontinuierlichen K\u00f6rper ausge\u00fcbte Gesamtk\u00f6rperkraft wird ausgedr\u00fcckt alsF.B.=\u222bV.bdm=\u222bV.\u03c1bdV.{ displaystyle  mathbf {F} _ {B} =  int _ {V}  mathbf {b} , dm =  int _ {V}  rho  mathbf {b} , dV}K\u00f6rperkr\u00e4fte und Kontaktkr\u00e4fte, die auf den K\u00f6rper wirken, f\u00fchren zu entsprechenden Kraftmomenten (Drehmomenten) relativ zu einem bestimmten Punkt.  Somit ist das gesamte angelegte Drehmoment M.{ displaystyle { mathcal {M}}}  \u00fcber den Ursprung ist gegeben durchM.=M.C.+M.B.{ displaystyle { mathcal {M}} =  mathbf {M} _ {C} +  mathbf {M} _ {B}}In bestimmten Situationen, die bei der Analyse des mechanischen Verhaltens von Materialien nicht h\u00e4ufig ber\u00fccksichtigt werden, m\u00fcssen zwei andere Arten von Kr\u00e4ften ber\u00fccksichtigt werden: Paar Stress[note 1][note 2]  (Oberfl\u00e4chenpaare,[full citation needed]  Kontaktdrehmomente)[full citation needed]  und K\u00f6rpermomente.  Paarspannungen sind Momente pro Fl\u00e4cheneinheit, die auf eine Oberfl\u00e4che ausge\u00fcbt werden.  K\u00f6rpermomente oder K\u00f6rperpaare sind Momente pro Volumeneinheit oder pro Masseneinheit, die auf das Volumen des K\u00f6rpers angewendet werden.  Beides ist wichtig f\u00fcr die Spannungsanalyse eines polarisierten dielektrischen Festk\u00f6rpers unter Einwirkung eines elektrischen Feldes, Materialien, bei denen die Molek\u00fclstruktur ber\u00fccksichtigt wird (z.B Knochen), Feststoffe unter Einwirkung eines externen Magnetfeldes und die Versetzungstheorie von Metallen.[full citation needed][page\u00a0needed][full citation needed]Man nennt Materialien, die neben Momenten, die ausschlie\u00dflich durch Kr\u00e4fte erzeugt werden, K\u00f6rperpaare und Paarspannungen aufweisen polare Materialien.[page\u00a0needed][full citation needed]Unpolare Materialien sind dann jene Materialien mit nur Momenten von Kr\u00e4ften.  In den klassischen Zweigen der Kontinuumsmechanik basiert die Entwicklung der Spannungstheorie auf unpolaren Materialien.Somit kann die Summe aller im K\u00f6rper ausge\u00fcbten Kr\u00e4fte und Drehmomente (in Bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems) angegeben werden durchF.=\u222bV.eindm=\u222bS.T.dS.+\u222bV.\u03c1bdV.{ displaystyle { mathcal {F}} =  int _ {V}  mathbf {a} , dm =  int _ {S}  mathbf {T} , dS +  int _ {V}  rho  mathbf {b} , dV}M.=\u222bS.r\u00d7T.dS.+\u222bV.r\u00d7\u03c1bdV.{ displaystyle { mathcal {M}} =  int _ {S}  mathbf {r}  times  mathbf {T} , dS +  int _ {V}  mathbf {r}  times  rho  mathbf { b} , dV}Kinematik: Bewegung und Verformung[edit]  Abbildung 2. Bewegung eines Kontinuumsk\u00f6rpers.Eine \u00c4nderung der Konfiguration eines Kontinuumsk\u00f6rpers f\u00fchrt zu einer Verschiebung.  Die Verschiebung eines K\u00f6rpers besteht aus zwei Komponenten: einer Starrk\u00f6rperverschiebung und einer Verformung.  Eine Starrk\u00f6rperverschiebung besteht aus einer gleichzeitigen Verschiebung und Drehung des K\u00f6rpers, ohne seine Form oder Gr\u00f6\u00dfe zu \u00e4ndern.  Deformation impliziert die \u00c4nderung der Form und \/ oder Gr\u00f6\u00dfe des K\u00f6rpers von einer anf\u00e4nglichen oder nicht deformierten Konfiguration  \u03ba0((B.){ displaystyle   kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}  zu einer aktuellen oder deformierten Konfiguration  \u03bat((B.){ displaystyle   kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}  (Figur 2).Die Bewegung eines Kontinuumsk\u00f6rpers ist eine kontinuierliche zeitliche Abfolge von Verschiebungen.  Somit nimmt der Materialk\u00f6rper zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche Konfigurationen ein, so dass ein Teilchen eine Reihe von Punkten im Raum einnimmt, die eine Pfadlinie beschreiben.Es gibt Kontinuit\u00e4t w\u00e4hrend der Bewegung oder Verformung eines Kontinuumsk\u00f6rpers in dem Sinne, dass:Die Materialpunkte, die zu jedem Zeitpunkt eine geschlossene Kurve bilden, bilden zu jedem sp\u00e4teren Zeitpunkt immer eine geschlossene Kurve.Die Materialpunkte, die zu jedem Zeitpunkt eine geschlossene Oberfl\u00e4che bilden, bilden zu jedem sp\u00e4teren Zeitpunkt immer eine geschlossene Oberfl\u00e4che, und die Materie innerhalb der geschlossenen Oberfl\u00e4che bleibt immer innerhalb.Es ist zweckm\u00e4\u00dfig, eine Referenzkonfiguration oder einen Anfangszustand zu identifizieren, von dem aus alle nachfolgenden Konfigurationen referenziert werden.  Die Referenzkonfiguration muss nicht eine sein, die der K\u00f6rper jemals einnehmen wird.  Oft ist die Konfiguration bei  t=0{ displaystyle  t = 0}  wird als Referenzkonfiguration betrachtet,  \u03ba0((B.){ displaystyle   kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}.  Die Komponenten  X.ich{ displaystyle  X_ {i}}  des Positionsvektors  X.{ displaystyle   mathbf {X}}  eines Partikels, bezogen auf die Referenzkonfiguration, werden als Material- oder Referenzkoordinaten bezeichnet.Bei der Analyse der Bewegung oder Verformung von Festk\u00f6rpern oder des Fl\u00fcssigkeitsflusses muss die zeitliche Abfolge oder Entwicklung von Konfigurationen beschrieben werden.  Eine Beschreibung f\u00fcr die Bewegung erfolgt in Bezug auf das Material oder die Referenzkoordinaten, die als Materialbeschreibung oder Lagrange-Beschreibung bezeichnet werden.Lagrange-Beschreibung[edit]In der Lagrange-Beschreibung werden die Position und die physikalischen Eigenschaften der Partikel in Bezug auf das Material oder die Referenzkoordinaten und die Zeit beschrieben.  In diesem Fall Die Referenzkonfiguration ist die Konfiguration unter  t=0{ displaystyle  t = 0}.  Ein Beobachter, der im Referenzrahmen steht, beobachtet die \u00c4nderungen der Position und der physikalischen Eigenschaften, wenn sich der materielle K\u00f6rper im Laufe der Zeit im Raum bewegt.  Die erhaltenen Ergebnisse sind unabh\u00e4ngig von der Wahl der Anfangszeit und der Referenzkonfiguration. \u03ba0((B.){ displaystyle  kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}.  Diese Beschreibung wird normalerweise in der Festk\u00f6rpermechanik verwendet.In der Lagrange-Beschreibung wird die Bewegung eines Kontinuumsk\u00f6rpers durch die Abbildungsfunktion ausgedr\u00fcckt  \u03c7((\u22c5){ displaystyle   chi ( cdot)}  (Figur 2), x=\u03c7((X.,t){ displaystyle   mathbf {x} =  chi ( mathbf {X}, t)}Dies ist eine Zuordnung der Erstkonfiguration \u03ba0((B.){ displaystyle  kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}  auf die aktuelle Konfiguration \u03bat((B.){ displaystyle  kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}Geben einer geometrischen Entsprechung zwischen ihnen, dh Geben des Positionsvektors  x=xicheich{ displaystyle   mathbf {x} = x_ {i}  mathbf {e} _ {i}}  dass ein Teilchen  X.{ displaystyle  X}mit einem Positionsvektor  X.{ displaystyle   mathbf {X}}  in der unverformten oder Referenzkonfiguration \u03ba0((B.){ displaystyle  kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}wird in der aktuellen oder deformierten Konfiguration belegt \u03bat((B.){ displaystyle  kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}  zum Zeitpunkt  t{ displaystyle  t}.  Die Komponenten  xich{ displaystyle  x_ {i}}  werden die Raumkoordinaten genannt.Physikalische und kinematische Eigenschaften  P.ichj\u2026{ displaystyle  P_ {ij  ldots}}dh thermodynamische Eigenschaften und Str\u00f6mungsgeschwindigkeit, die Merkmale des Materialk\u00f6rpers beschreiben oder charakterisieren, werden als kontinuierliche Funktionen von Position und Zeit ausgedr\u00fcckt, d.h.  P.ichj\u2026=P.ichj\u2026((X.,t){ displaystyle  P_ {ij  ldots} = P_ {ij  ldots} ( mathbf {X}, t)}.Das materielle Derivat einer Eigenschaft  P.ichj\u2026{ displaystyle  P_ {ij  ldots}}  eines Kontinuums, das ein Skalar, ein Vektor oder ein Tensor sein kann, ist die zeitliche \u00c4nderungsrate dieser Eigenschaft f\u00fcr eine bestimmte Gruppe von Partikeln des sich bewegenden Kontinuumsk\u00f6rpers.  Das Materialderivat ist auch als das bekannt wesentliche Ableitung, oder Comoving Derivat, oder konvektive Ableitung.  Es kann als die Geschwindigkeit angesehen werden, mit der sich die Eigenschaft \u00e4ndert, wenn sie von einem Beobachter gemessen wird, der mit dieser Gruppe von Partikeln reist.In der Lagrange-Beschreibung ist die materielle Ableitung von  P.ichj\u2026{ displaystyle  P_ {ij  ldots}}  ist einfach die partielle Ableitung in Bezug auf die Zeit und den Positionsvektor  X.{ displaystyle   mathbf {X}}  wird konstant gehalten, da es sich nicht mit der Zeit \u00e4ndert.  So haben wir ddt[Pij\u2026(X,t)]=\u2202\u2202t[Pij\u2026(X,t)]{ displaystyle  { frac {d} {dt}}[P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)]= { frac { teilweise} { teilweise t}}[P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)]}}Die momentane Position  x{ displaystyle   mathbf {x}}  ist eine Eigenschaft eines Teilchens, und sein Materialderivat ist das momentane Str\u00f6mungsgeschwindigkeit  v{ displaystyle   mathbf {v}}  des Teilchens.  Daher ist das Str\u00f6mungsgeschwindigkeitsfeld des Kontinuums gegeben durch v=x\u02d9=dxdt=\u2202\u03c7((X.,t)\u2202t{ displaystyle   mathbf {v} = { dot { mathbf {x}}} = { frac {d  mathbf {x}} {dt}} = { frac { teilweise  chi ( mathbf { X}, t)} { partielle t}}}In \u00e4hnlicher Weise ist das Beschleunigungsfeld gegeben durch ein=v\u02d9=x\u00a8=d2xdt2=\u22022\u03c7((X.,t)\u2202t2{ displaystyle   mathbf {a} = { dot { mathbf {v}}} = { ddot { mathbf {x}}} = { frac {d ^ {2}  mathbf {x}} { dt ^ {2}}} = { frac { teilweise ^ {2}  chi ( mathbf {X}, t)} { teilweise t ^ {2}}}}Die Kontinuit\u00e4t in der Lagrange-Beschreibung wird durch die r\u00e4umliche und zeitliche Kontinuit\u00e4t der Abbildung von der Referenzkonfiguration zur aktuellen Konfiguration der Materialpunkte ausgedr\u00fcckt.  Alle physikalischen Gr\u00f6\u00dfen, die das Kontinuum charakterisieren, werden auf diese Weise beschrieben.  In diesem Sinne die Funktion \u03c7((\u22c5){ displaystyle  chi ( cdot)}  und  P.ichj\u2026((\u22c5){ displaystyle  P_ {ij  ldots} ( cdot)}  sind einwertig und stetig, mit kontinuierlichen Ableitungen in Bezug auf Raum und Zeit in jeder erforderlichen Reihenfolge, normalerweise in der zweiten oder dritten.Eulersche Beschreibung[edit]Kontinuit\u00e4t erm\u00f6glicht die Umkehrung von \u03c7((\u22c5){ displaystyle  chi ( cdot)}  r\u00fcckw\u00e4rts verfolgen, wo sich das Partikel gerade befindet x{ displaystyle  mathbf {x}}  befand sich in der urspr\u00fcnglichen oder referenzierten Konfiguration \u03ba0((B.){ displaystyle  kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}.  In diesem Fall erfolgt die Beschreibung der Bewegung anhand der Raumkoordinaten. In diesem Fall wird sie als Raumbeschreibung oder Eulersche Beschreibung bezeichnet, d. H. Die aktuelle Konfiguration wird als Referenzkonfiguration verwendet.Die von d’Alembert eingef\u00fchrte Eulersche Beschreibung konzentriert sich auf die aktuelle Konfiguration \u03bat((B.){ displaystyle  kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}Dabei wird darauf geachtet, was im Laufe der Zeit an einem festen Punkt im Raum geschieht, anstatt auf einzelne Teilchen zu achten, die sich durch Raum und Zeit bewegen.  Dieser Ansatz wird zweckm\u00e4\u00dfigerweise bei der Untersuchung des Fl\u00fcssigkeitsflusses angewendet, bei dem die kinematische Eigenschaft von gr\u00f6\u00dftem Interesse die Geschwindigkeit ist, mit der eine \u00c4nderung stattfindet, und nicht die Form des Fl\u00fcssigkeitsk\u00f6rpers zu einem Referenzzeitpunkt.Mathematisch wird die Bewegung eines Kontinuums unter Verwendung der Eulerschen Beschreibung durch die Abbildungsfunktion ausgedr\u00fccktX.=\u03c7– –1((x,t){ displaystyle  mathbf {X} =  chi ^ {- 1} ( mathbf {x}, t)}Dies liefert eine Verfolgung des Partikels, das nun die Position einnimmt x{ displaystyle  mathbf {x}}  in der aktuellen Konfiguration \u03bat((B.){ displaystyle  kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}  in seine urspr\u00fcngliche Position X.{ displaystyle  mathbf {X}}  in der Erstkonfiguration \u03ba0((B.){ displaystyle  kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}.Eine notwendige und ausreichende Bedingung f\u00fcr die Existenz dieser Umkehrfunktion ist, dass die Determinante der Jacobi-Matrix, die oft einfach als Jacobi bezeichnet wird, von Null verschieden sein sollte.  So, J.=|\u2202\u03c7ich\u2202X.J.|=|\u2202xich\u2202X.J.|\u22600{ displaystyle  J =  left | { frac { teilweise  chi _ {i}} { partielle X_ {J}}}  rechts | =  links | { frac { partielle x_ {i}} {  partielle X_ {J}}}  rechts |  neq 0}In der Eulerschen Beschreibung die physikalischen Eigenschaften  P.ichj\u2026{ displaystyle  P_ {ij  ldots}}  werden ausgedr\u00fcckt als P.ichj\u2026=P.ichj\u2026((X.,t)=P.ichj\u2026[\u03c7\u22121(x,t),t]=pichj\u2026((x,t){ displaystyle  P_ {ij  ldots} = P_ {ij  ldots} ( mathbf {X}, t) = P_ {ij  ldots}[chi ^{-1}(mathbf {x} ,t),t]= p_ {ij  ldots} ( mathbf {x}, t)}wo die funktionale Form von  P.ichj\u2026{ displaystyle  P_ {ij  ldots}}  in der Lagrange-Beschreibung ist nicht die gleiche wie die Form von  pichj\u2026{ displaystyle  p_ {ij  ldots}}  in der Eulerschen Beschreibung.Das materielle Derivat von  pichj\u2026((x,t){ displaystyle  p_ {ij  ldots} ( mathbf {x}, t)}ist dann unter Verwendung der Kettenregel ddt[pij\u2026(x,t)]=\u2202\u2202t[pij\u2026(x,t)]+\u2202\u2202xk[pij\u2026(x,t)]dxkdt{ displaystyle  { frac {d} {dt}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]= { frac { teilweise} { teilweise t}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]+ { frac { partielle} { partielle x_ {k}}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]{ frac {dx_ {k}} {dt}}}Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung gibt die lokale \u00c4nderungsrate des Eigentums  pichj\u2026((x,t){ displaystyle  p_ {ij  ldots} ( mathbf {x}, t)}  an der Position auftreten  x{ displaystyle   mathbf {x}}.  Der zweite Term auf der rechten Seite ist der konvektive \u00c4nderungsrate und dr\u00fcckt den Beitrag der Teilchen\u00e4nderungsposition im Raum (Bewegung) aus.Die Kontinuit\u00e4t in der Eulerschen Beschreibung wird durch die r\u00e4umliche und zeitliche Kontinuit\u00e4t und kontinuierliche Differenzierbarkeit des Str\u00f6mungsgeschwindigkeitsfeldes ausgedr\u00fcckt.  Alle physikalischen Gr\u00f6\u00dfen werden in der aktuellen Konfiguration zu jedem Zeitpunkt auf diese Weise als Funktion der Vektorposition definiert  x{ displaystyle   mathbf {x}}.Verschiebungsfeld[edit]Der Vektor, der die Positionen eines Teilchens verbindet  P.{ displaystyle  P}  in der unverformten Konfiguration wird die verformte Konfiguration als Verschiebungsvektor bezeichnet  u((X.,t)=uicheich{ displaystyle   mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i}  mathbf {e} _ {i}}in der Lagrange-Beschreibung oder  U.((x,t)=U.J.E.J.{ displaystyle   mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = U_ {J}  mathbf {E} _ {J}}in der Eulerschen Beschreibung.EIN Verschiebungsfeld ist ein Vektorfeld aller Verschiebungsvektoren f\u00fcr alle Partikel im K\u00f6rper, das die deformierte Konfiguration mit der nicht deformierten Konfiguration in Beziehung setzt.  Es ist zweckm\u00e4\u00dfig, die Analyse der Verformung oder Bewegung eines Kontinuumsk\u00f6rpers in Bezug auf das Verschiebungsfeld durchzuf\u00fchren. Im Allgemeinen wird das Verschiebungsfeld in Form der Materialkoordinaten ausgedr\u00fcckt als u((X.,t)=b+x((X.,t)– –X.oderuich=\u03b1ichJ.bJ.+xich– –\u03b1ichJ.X.J.{ displaystyle   mathbf {u} ( mathbf {X}, t) =  mathbf {b} +  mathbf {x} ( mathbf {X}, t) –  mathbf {X}  qquad { text {oder}}  qquad u_ {i} =  alpha _ {iJ} b_ {J} + x_ {i} –  alpha _ {iJ} X_ {J}}oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als U.((x,t)=b+x– –X.((x,t)oderU.J.=bJ.+\u03b1J.ichxich– –X.J.{ displaystyle   mathbf {U} ( mathbf {x}, t) =  mathbf {b} +  mathbf {x} –  mathbf {X} ( mathbf {x}, t)  qquad { text {oder}}  qquad U_ {J} = b_ {J} +  alpha _ {Ji} x_ {i} -X_ {J} ,}wo  \u03b1J.ich{ displaystyle   alpha _ {Ji}}  sind die Richtungskosinusse zwischen dem Material- und dem Raumkoordinatensystem mit Einheitsvektoren  E.J.{ displaystyle   mathbf {E} _ {J}}  und eich{ displaystyle  mathbf {e} _ {i}}, beziehungsweise.  So E.J.\u22c5eich=\u03b1J.ich=\u03b1ichJ.{ displaystyle   mathbf {E} _ {J}  cdot  mathbf {e} _ {i} =  alpha _ {Ji} =  alpha _ {iJ}}und die Beziehung zwischen  uich{ displaystyle  u_ {i}}  und  U.J.{ displaystyle  U_ {J}}  ist dann gegeben durch uich=\u03b1ichJ.U.J.oderU.J.=\u03b1J.ichuich{ displaystyle  u_ {i} =  alpha _ {iJ} U_ {J}  qquad { text {oder}}  qquad U_ {J} =  alpha _ {Ji} u_ {i}}Wissend, dass eich=\u03b1ichJ.E.J.{ displaystyle   mathbf {e} _ {i} =  alpha _ {iJ}  mathbf {E} _ {J}}dannu((X.,t)=uicheich=uich((\u03b1ichJ.E.J.)=U.J.E.J.=U.((x,t){ displaystyle  mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i}  mathbf {e} _ {i} = u_ {i} ( alpha _ {iJ}  mathbf {E} _ { J}) = U_ {J}  mathbf {E} _ {J} =  mathbf {U} ( mathbf {x}, t)}Es ist \u00fcblich, die Koordinatensysteme f\u00fcr die unverformten und verformten Konfigurationen zu \u00fcberlagern, was zu f\u00fchrt  b=0{ displaystyle   mathbf {b} = 0}und die Richtungskosinusse werden zu Kronecker-Deltas, dh E.J.\u22c5eich=\u03b4J.ich=\u03b4ichJ.{ displaystyle   mathbf {E} _ {J}  cdot  mathbf {e} _ {i} =  delta _ {Ji} =  delta _ {iJ}}So haben wir u((X.,t)=x((X.,t)– –X.oderuich=xich– –\u03b4ichJ.X.J.{ displaystyle   mathbf {u} ( mathbf {X}, t) =  mathbf {x} ( mathbf {X}, t) –  mathbf {X}  qquad { text {oder}}  qquad u_ {i} = x_ {i} –  delta _ {iJ} X_ {J}}oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als U.((x,t)=x– –X.((x,t)oderU.J.=\u03b4J.ichxich– –X.J.{ displaystyle   mathbf {U} ( mathbf {x}, t) =  mathbf {x} –  mathbf {X} ( mathbf {x}, t)  qquad { text {oder}}  qquad U_ {J} =  delta _ {Ji} x_ {i} -X_ {J}}Gleichungen regeln[edit]Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit dem Verhalten von Materialien, die f\u00fcr bestimmte L\u00e4ngen- und Zeitskalen als kontinuierlich angen\u00e4hert werden k\u00f6nnen.  Die Gleichungen, die die Mechanik solcher Materialien bestimmen, umfassen die Gleichgewichtsgesetze f\u00fcr Masse, Impuls und Energie.  Kinematische Beziehungen und konstitutive Gleichungen werden ben\u00f6tigt, um das Regelungssystem zu vervollst\u00e4ndigen.  Physikalische Einschr\u00e4nkungen der Form der konstitutiven Beziehungen k\u00f6nnen angewendet werden, indem verlangt wird, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik unter allen Bedingungen erf\u00fcllt ist.  In der Kontinuumsmechanik von Festk\u00f6rpern ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik erf\u00fcllt, wenn die Clausius-Duhem-Form der Entropieungleichung erf\u00fcllt ist.Die Gleichgewichtsgesetze dr\u00fccken die Idee aus, dass die \u00c4nderungsrate einer Gr\u00f6\u00dfe (Masse, Impuls, Energie) in einem Volumen aus drei Gr\u00fcnden entstehen muss:Die physikalische Gr\u00f6\u00dfe selbst flie\u00dft durch die Oberfl\u00e4che, die das Volumen begrenzt.Es gibt eine Quelle der physikalischen Gr\u00f6\u00dfe auf der Oberfl\u00e4che des Volumens oder \/ undEs gibt eine Quelle f\u00fcr die physikalische Gr\u00f6\u00dfe innerhalb des Volumens.Lassen \u03a9{ displaystyle  Omega}  sei der K\u00f6rper (eine offene Teilmenge des euklidischen Raumes) und lass   \u2202\u03a9{ displaystyle  teilweise  Omega}  sei seine Oberfl\u00e4che (die Grenze von \u03a9{ displaystyle  Omega}).Lassen Sie die Bewegung von materiellen Punkten im K\u00f6rper durch die Karte beschrieben werdenx=\u03c7((X.)=x((X.){ displaystyle  mathbf {x} = { boldsymbol { chi}} ( mathbf {X}) =  mathbf {x} ( mathbf {X})}wo X.{ displaystyle  mathbf {X}}  ist die Position eines Punktes in der Erstkonfiguration und x{ displaystyle  mathbf {x}}  ist der Ort desselben Punktes in der deformierten Konfiguration.Der Verformungsgradient ist gegeben durchF.=\u2202x\u2202X.=\u2207x .{ displaystyle { boldsymbol {F}} = { frac { partielle  mathbf {x}} { partielle  mathbf {X}}} =  nabla { boldsymbol { mathbf {x}}} ~.}Gleichgewichtsgesetze[edit]Lassen f((x,t){ displaystyle f ( mathbf {x}, t)}  sei eine physikalische Gr\u00f6\u00dfe, die durch den K\u00f6rper flie\u00dft.  Lassen G((x,t){ displaystyle g ( mathbf {x}, t)}  Quellen auf der Oberfl\u00e4che des K\u00f6rpers sein und lassen h((x,t){ displaystyle h ( mathbf {x}, t)}  Quellen im K\u00f6rper sein.  Lassen n((x,t){ displaystyle  mathbf {n} ( mathbf {x}, t)}  sei die \u00e4u\u00dfere Einheit senkrecht zur Oberfl\u00e4che \u2202\u03a9{ displaystyle  teilweise  Omega}.  Lassen v((x,t){ displaystyle  mathbf {v} ( mathbf {x}, t)}  sei die Str\u00f6mungsgeschwindigkeit der physikalischen Teilchen, die die physikalische Gr\u00f6\u00dfe tragen, die flie\u00dft.  Lassen Sie auch die Geschwindigkeit, mit der die Begrenzungsfl\u00e4che \u2202\u03a9{ displaystyle  teilweise  Omega}  bewegt sich sein un{ displaystyle u_ {n}}  (in die Richtung n{ displaystyle  mathbf {n}}).Dann k\u00f6nnen Gleichgewichtsgesetze in der allgemeinen Form ausgedr\u00fcckt werdenddt[\u222b\u03a9f(x,t)\u00a0dV]=\u222b\u2202\u03a9f((x,t)[un(x,t)\u2212v(x,t)\u22c5n(x,t)] dA+\u222b\u2202\u03a9G((x,t) dA+\u222b\u03a9h((x,t) dV .{ displaystyle { cfrac {d} {dt}}  left[int _{Omega }f(mathbf {x} ,t)~{text{dV}}right]=  int _ { partielle  Omega} f ( mathbf {x}, t)[u_{n}(mathbf {x} ,t)-mathbf {v} (mathbf {x} ,t)cdot mathbf {n} (mathbf {x} ,t)]~ { text {dA}} +  int _ { teilweise  Omega} g ( mathbf {x}, t) ~ { text {dA}} +  int _ { Omega} h ( mathbf {x }, t) ~ { text {dV}} ~.}Die Funktionen f((x,t){ displaystyle f ( mathbf {x}, t)}, G((x,t){ displaystyle g ( mathbf {x}, t)}, und h((x,t){ displaystyle h ( mathbf {x}, t)}  kann skalar, vektor- oder tensorwertig sein – abh\u00e4ngig von der physikalischen Gr\u00f6\u00dfe, mit der sich die Bilanzgleichung befasst.  Wenn es innere Grenzen im K\u00f6rper gibt, m\u00fcssen Sprungdiskontinuit\u00e4ten auch in den Gleichgewichtsgesetzen festgelegt werden.Wenn wir den Eulerschen Standpunkt einnehmen, kann gezeigt werden, dass die Gleichgewichtsgesetze von Masse, Impuls und Energie f\u00fcr einen Festk\u00f6rper wie folgt geschrieben werden k\u00f6nnen (vorausgesetzt, der Quellterm ist Null f\u00fcr die Massen- und Drehimpulsgleichungen).\u03c1\u02d9+\u03c1 \u2207\u22c5v=0Gleichgewicht der Masse\u03c1 v\u02d9– –\u2207\u22c5\u03c3– –\u03c1 b=0Gleichgewicht des linearen Impulses (Cauchys erstes Bewegungsgesetz)\u03c3=\u03c3T.Gleichgewicht des Drehimpulses (Cauchys zweites Bewegungsgesetz)\u03c1 e\u02d9– –\u03c3::((\u2207v)+\u2207\u22c5q– –\u03c1 s=0Energiebilanz.{ displaystyle { begin {align} { dot { rho}} +  rho ~ { boldsymbol { nabla}}  cdot  mathbf {v} & = 0 &&  qquad { text {Balance of Mass}} \\ rho ~ { dot { mathbf {v}}} – { boldsymbol { nabla}}  cdot { boldsymbol { sigma}} –  rho ~  mathbf {b} & = 0 &&  qquad {  text {Gleichgewicht des linearen Impulses (Cauchys erstes Bewegungsgesetz)}} \\ { boldsymbol { sigma}} & = { boldsymbol { sigma}} ^ {T} &&  qquad { text {Balance of Angular Impuls (Cauchys zweites Bewegungsgesetz)}} \\ rho ~ { dot {e}} – { boldsymbol { sigma}}: ({ boldsymbol { nabla}}  mathbf {v}) + { boldsymbol { nabla}}  cdot  mathbf {q} –  rho ~ s & = 0 &&  qquad { text {Energiebilanz.}}  end {align}}}In den obigen Gleichungen \u03c1((x,t){ displaystyle  rho ( mathbf {x}, t)}  ist die Massendichte (Strom),   \u03c1\u02d9{ displaystyle { dot { rho}}}  ist die materielle Zeitableitung von \u03c1{ displaystyle  rho}, v((x,t){ displaystyle  mathbf {v} ( mathbf {x}, t)}  ist die Teilchengeschwindigkeit, v\u02d9{ displaystyle { dot { mathbf {v}}}}  ist die materielle Zeitableitung von v{ displaystyle  mathbf {v}}, \u03c3((x,t){ displaystyle { boldsymbol { sigma}} ( mathbf {x}, t)}  ist der Cauchy-Spannungstensor, b((x,t){ displaystyle  mathbf {b} ( mathbf {x}, t)}  ist die K\u00f6rperkraftdichte, e((x,t){ displaystyle e ( mathbf {x}, t)}  ist die innere Energie pro Masseneinheit, e\u02d9{ displaystyle { dot {e}}}  ist die materielle Zeitableitung von e{ displaystyle e}, q((x,t){ displaystyle  mathbf {q} ( mathbf {x}, t)}  ist der W\u00e4rmeflussvektor und s((x,t){ displaystyle s ( mathbf {x}, t)}  ist eine Energiequelle pro Masseneinheit.In Bezug auf die Referenzkonfiguration (der Lagrange-Standpunkt) k\u00f6nnen die Bilanzgesetze wie folgt geschrieben werden\u03c1 det((F.)– –\u03c10=0Gleichgewicht der Masse\u03c10 x\u00a8– –\u2207\u2218\u22c5P.T.– –\u03c10 b=0Gleichgewicht des linearen ImpulsesF.\u22c5P.T.=P.\u22c5F.T.Gleichgewicht des Drehimpulses\u03c10 e\u02d9– –P.T.::F.\u02d9+\u2207\u2218\u22c5q– –\u03c10 s=0Energiebilanz.{ displaystyle { begin {align}  rho ~  det ({ boldsymbol {F}}) –  rho _ {0} & = 0 &&  qquad { text {Balance of Mass}} \\ rho _ { 0} ~ { ddot { mathbf {x}}} – { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  cdot { boldsymbol {P}} ^ {T} –  rho _ {0} ~  mathbf {b} & = 0 &&  qquad { text {Gleichgewicht des linearen Impulses}} \\ { boldsymbol {F}}  cdot { boldsymbol {P}} ^ {T} & = { boldsymbol {P}}  cdot { boldsymbol {F}} ^ {T} &&  qquad { text {Gleichgewicht des Drehimpulses}} \\ rho _ {0} ~ { dot {e}} – { boldsymbol {P}} ^ {T}: { dot { boldsymbol {F}}} + { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  cdot  mathbf {q} –  rho _ {0} ~ s & = 0 &&  qquad { text {Energiebilanz.}}  end {align}}}In obigem, P.{ displaystyle { boldsymbol {P}}}  ist der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor und   \u03c10{ displaystyle  rho _ {0}}  ist die Massendichte in der Referenzkonfiguration.  Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor ist mit dem Cauchy-Spannungstensor verwandtP.=J. \u03c3\u22c5F.– –T. wo J.=det((F.){ displaystyle { boldsymbol {P}} = J ~ { boldsymbol { sigma}}  cdot { boldsymbol {F}} ^ {- T} ~ { text {where}} ~ J =  det ({  boldsymbol {F}})}Wir k\u00f6nnen alternativ den nominalen Spannungstensor definieren N.{ displaystyle { boldsymbol {N}}}  Das ist die Transponierte des ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors, so dassN.=P.T.=J. F.– –1\u22c5\u03c3 .{ displaystyle { boldsymbol {N}} = { boldsymbol {P}} ^ {T} = J ~ { boldsymbol {F}} ^ {- 1}  cdot { boldsymbol { sigma}} ~.}Dann werden die Gleichgewichtsgesetze\u03c1 det((F.)– –\u03c10=0Gleichgewicht der Masse\u03c10 x\u00a8– –\u2207\u2218\u22c5N.– –\u03c10 b=0Gleichgewicht des linearen ImpulsesF.\u22c5N.=N.T.\u22c5F.T.Gleichgewicht des Drehimpulses\u03c10 e\u02d9– –N.::F.\u02d9+\u2207\u2218\u22c5q– –\u03c10 s=0Energiebilanz.{ displaystyle { begin {align}  rho ~  det ({ boldsymbol {F}}) –  rho _ {0} & = 0 &&  qquad { text {Balance of Mass}} \\ rho _ { 0} ~ { ddot { mathbf {x}}} – { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  cdot { boldsymbol {N}} –  rho _ {0} ~  mathbf {b} & = 0 &&  qquad { text {Gleichgewicht des linearen Impulses}} \\ { boldsymbol {F}}  cdot { boldsymbol {N}} & = { boldsymbol {N}} ^ {T}  cdot { Boldsymbol {F}} ^ {T} &&  qquad { text {Gleichgewicht des Drehimpulses}} \\ rho _ {0} ~ { dot {e}} – { boldsymbol {N}}: { dot { boldsymbol {F}}} + { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  cdot  mathbf {q} –  rho _ {0} ~ s & = 0 &&  qquad { text {Energiebilanz. }}  end {align}}}Die Operatoren in den obigen Gleichungen sind als solche definiert, dass\u2207v=\u2211ich,j=13\u2202vich\u2202xjeich\u2297ej=vich,jeich\u2297ej ;;  \u2207\u22c5v=\u2211ich=13\u2202vich\u2202xich=vich,ich ;;  \u2207\u22c5S.=\u2211ich,j=13\u2202S.ichj\u2202xj eich=\u03c3ichj,j eich .{ displaystyle { boldsymbol { nabla}}  mathbf {v} =  sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}} }  mathbf {e} _ {i}  otimes  mathbf {e} _ {j} = v_ {i, j}  mathbf {e} _ {i}  otimes  mathbf {e} _ {j} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}}  cdot  mathbf {v} =  sum _ {i = 1} ^ {3} { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}}  cdot { boldsymbol {S}} =  sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { partielle S_ {ij}} { partielle x_ {j}}} ~  mathbf {e} _ {i} =  sigma _ {ij, j} ~  mathbf {e} _ {i} ~.}wo v{ displaystyle  mathbf {v}}  ist ein Vektorfeld, S.{ displaystyle { boldsymbol {S}}}  ist ein Tensorfeld zweiter Ordnung und eich{ displaystyle  mathbf {e} _ {i}}  sind die Komponenten einer orthonormalen Basis in der aktuellen Konfiguration.  Ebenfalls,\u2207\u2218v=\u2211ich,j=13\u2202vich\u2202X.jE.ich\u2297E.j=vich,jE.ich\u2297E.j ;;  \u2207\u2218\u22c5v=\u2211ich=13\u2202vich\u2202X.ich=vich,ich ;;  \u2207\u2218\u22c5S.=\u2211ich,j=13\u2202S.ichj\u2202X.j E.ich=S.ichj,j E.ich{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  mathbf {v} =  sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { teilweise v_ {i}} { teilweise X_ {j}}}  mathbf {E} _ {i}  otimes  mathbf {E} _ {j} = v_ {i, j}  mathbf {E} _ {i}  otimes  mathbf {E} _ {j} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  cdot  mathbf {v} =  sum _ {i = 1} ^ {3} { frac { partielle v_ {i} } { partielle X_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} _ { circ}  cdot { boldsymbol {S}} =  sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { partielle S_ {ij}} { partielle X_ {j}}} ~  mathbf {E} _ {i} = S_ {ij, j} ~  mathbf {E. } _{ich}}wo v{ displaystyle  mathbf {v}}  ist ein Vektorfeld, S.{ displaystyle { boldsymbol {S}}}  ist ein Tensorfeld zweiter Ordnung und E.ich{ displaystyle  mathbf {E} _ {i}}  sind die Komponenten einer orthonormalen Basis in der Referenzkonfiguration.Das innere Produkt ist definiert alsEIN::B.=\u2211ich,j=13EINichj B.ichj=Spur\u2061((EINB.T.) .{ displaystyle { boldsymbol {A}}: { boldsymbol {B}} =  sum _ {i, j = 1} ^ {3} A_ {ij} ~ B_ {ij} =  operatorname {trace} ({  boldsymbol {A}} { boldsymbol {B}} ^ {T}) ~.}Clausius-Duhem-Ungleichung[edit]Die Clausius-Duhem-Ungleichung kann verwendet werden, um den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik f\u00fcr elastisch-plastische Materialien auszudr\u00fccken.  Diese Ungleichheit ist eine Aussage \u00fcber die Irreversibilit\u00e4t nat\u00fcrlicher Prozesse, insbesondere wenn es um Energiedissipation geht.Genau wie in den Bilanzgesetzen im vorherigen Abschnitt nehmen wir an, dass es einen Fluss einer Menge, eine Quelle der Menge und eine interne Dichte der Menge pro Masseneinheit gibt.  Die interessierende Menge in diesem Fall ist die Entropie.  Wir nehmen also an, dass es einen Entropiefluss, eine Entropiequelle, eine interne Massendichte gibt \u03c1{ displaystyle  rho}  und eine interne spezifische Entropie (dh Entropie pro Masseneinheit) \u03b7{ displaystyle  eta}  in der Region von Interesse.Lassen \u03a9{ displaystyle  Omega}  sei so eine Region und lass \u2202\u03a9{ displaystyle  teilweise  Omega}  sei seine Grenze.  Dann besagt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Steigerungsrate von  \u03b7{ displaystyle  eta}  in dieser Region ist gr\u00f6\u00dfer oder gleich der Summe der gelieferten \u03a9{ displaystyle  Omega}  (als Flussmittel oder aus internen Quellen) und die \u00c4nderung der internen Entropiedichte \u03c1\u03b7{ displaystyle  rho  eta}  aufgrund von Material, das in die Region hinein und aus dieser heraus flie\u00dft.Lassen \u2202\u03a9{ displaystyle  teilweise  Omega}  bewegen Sie sich mit einer Str\u00f6mungsgeschwindigkeit un{ displaystyle u_ {n}}  und Partikel hineinlassen \u03a9{ displaystyle  Omega}  Geschwindigkeiten haben v{ displaystyle  mathbf {v}}.  Lassen n{ displaystyle  mathbf {n}}  sei die Einheit nach au\u00dfen senkrecht zur Oberfl\u00e4che \u2202\u03a9{ displaystyle  teilweise  Omega}.  Lassen \u03c1{ displaystyle  rho}  die Dichte der Materie in der Region sein, q\u00af{ displaystyle { bar {q}}}  sei der Entropiefluss an der Oberfl\u00e4che und r{ displaystyle r}  sei die Entropiequelle pro Masseneinheit.  Dann kann die Entropieungleichung wie folgt geschrieben werdenddt((\u222b\u03a9\u03c1 \u03b7 dV)\u2265\u222b\u2202\u03a9\u03c1 \u03b7 ((un– –v\u22c5n) dA+\u222b\u2202\u03a9q\u00af dA+\u222b\u03a9\u03c1 r dV.{ displaystyle { cfrac {d} {dt}}  left ( int _ { Omega}  rho ~  eta ~ { text {dV}}  right)  geq  int _ { teilweise  Omega}  rho ~  eta ~ (u_ {n} –  mathbf {v}  cdot  mathbf {n}) ~ { text {dA}} +  int _ { teilweise  Omega} { bar {q}} ~ { text {dA}} +  int _ { Omega}  rho ~ r ~ { text {dV}}.}Der skalare Entropiefluss kann durch die Beziehung mit dem Vektorfluss an der Oberfl\u00e4che in Beziehung gesetzt werden q\u00af=– –\u03c8((x)\u22c5n{ displaystyle { bar {q}} = – { boldsymbol { psi}} ( mathbf {x})  cdot  mathbf {n}}.  Unter der Annahme inkrementell isothermer Bedingungen haben wir\u03c8((x)=q((x)T. ;;  r=sT.{ displaystyle { boldsymbol { psi}} ( mathbf {x}) = { cfrac { mathbf {q} ( mathbf {x})} {T}} ~; ~~ r = { cfrac { s} {T}}}wo q{ displaystyle  mathbf {q}}  ist der W\u00e4rmeflussvektor, s{ displaystyle s}  ist eine Energiequelle pro Masseneinheit und T.{ displaystyle T}  ist die absolute Temperatur eines Materialpunktes bei x{ displaystyle  mathbf {x}}  zum Zeitpunkt t{ displaystyle t}.Wir haben dann die Clausius-Duhem-Ungleichung in integraler Form:ddt((\u222b\u03a9\u03c1 \u03b7 dV)\u2265\u222b\u2202\u03a9\u03c1 \u03b7 ((un– –v\u22c5n) dA– –\u222b\u2202\u03a9q\u22c5nT. dA+\u222b\u03a9\u03c1 sT. dV.{ displaystyle {{ cfrac {d} {dt}}  left ( int _ { Omega}  rho ~  eta ~ { text {dV}}  right)  geq  int _ { partiell  Omega }  rho ~  eta ~ (u_ {n} –  mathbf {v}  cdot  mathbf {n}) ~ { text {dA}} –  int _ { teilweise  Omega} { cfrac { mathbf {q}  cdot  mathbf {n}} {T}} ~ { text {dA}} +  int _ { Omega} { cfrac { rho ~ s} {T}} ~ { text {dV }}.}}Wir k\u00f6nnen zeigen, dass die Entropieungleichung in Differentialform geschrieben werden kann als\u03c1 \u03b7\u02d9\u2265– –\u2207\u22c5((qT.)+\u03c1 sT..{ displaystyle { rho ~ { dot { eta}}  geq – { boldsymbol { nabla}}  cdot  left ({ cfrac { mathbf {q}} {T}}  right) + {  cfrac { rho ~ s} {T}}.}}In Bezug auf den Cauchy-Stress und die innere Energie kann die Clausius-Duhem-Ungleichung wie folgt geschrieben werden\u03c1 ((e\u02d9– –T. \u03b7\u02d9)– –\u03c3::\u2207v\u2264– –q\u22c5\u2207T.T..{ displaystyle { rho ~ ({ dot {e}} – T ~ { dot { eta}}) – { boldsymbol { sigma}}: { boldsymbol { nabla}}  mathbf {v}  leq – { cfrac { mathbf {q}  cdot { boldsymbol { nabla}} T} {T}}.}}Anwendungen[edit]Siehe auch[edit]^ Maxwell wies darauf hin, dass nicht verschwindende K\u00f6rpermomente in einem Magneten in einem Magnetfeld und in einem dielektrischen Material in einem elektrischen Feld mit unterschiedlichen Polarisationsebenen existieren. ^ Paarstress und K\u00f6rperpaare wurden zuerst von Voigt und Cosserat untersucht und 1960 von Mindlin f\u00fcr seine Arbeit f\u00fcr Bell Labs an reinen Quarzkristallen wieder eingef\u00fchrt.Verweise[edit]Zitierte Werke[edit]Allgemeine Hinweise[edit]Batra, RC (2006). Elemente der Kontinuumsmechanik.  Reston, VA: AIAA.Chen, Youping;  James D. Lee;  Azim Eskandarian (2009). Meshless Methoden in der Festk\u00f6rpermechanik (Erste Ausgabe).  Springer New York.  ISBN 978-1-4419-2148-2.Dimitrienko, Yuriy (2011). Nichtlineare Kontinuumsmechanik und gro\u00dfe unelastische Verformungen.  Deutschland: Springer.  ISBN 978-94-007-0033-8.Malvern, Lawrence E. (1969). Einf\u00fchrung in die Mechanik eines kontinuierlichen Mediums.  New Jersey: Prentice-Hall, Inc.Wright, TW (2002). Die Physik und Mathematik adiabatischer Scherb\u00e4nder.  Cambridge, Gro\u00dfbritannien: Cambridge University Press.Externe Links[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/18\/kontinuumsmechanik-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Kontinuumsmechanik – Wikipedia"}}]}]