[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/dalemberts-prinzip-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/dalemberts-prinzip-wikipedia\/","headline":"D’Alemberts Prinzip – Wikipedia","name":"D’Alemberts Prinzip – Wikipedia","description":"Aussage in der klassischen Mechanik Trait\u00e9 de dynamique von Jean Le Rond d’Alembert, 1743. 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Der franz\u00f6sische Gelehrte sprach darin das Prinzip der Bewegungsmenge aus, das auch als “D’Alembert-Prinzip” bekannt ist.    D’Alemberts Prinzip, auch bekannt als die Lagrange-d’Alembert-Prinzipist eine Erkl\u00e4rung der grundlegenden klassischen Bewegungsgesetze.  Es ist nach seinem Entdecker, dem franz\u00f6sischen Physiker und Mathematiker Jean le Rond d’Alembert, benannt.  Es ist eine Erweiterung des Prinzips der virtuellen Arbeit von statischen zu dynamischen Systemen.  d’Alembert trennt die auf ein System einwirkenden Gesamtkr\u00e4fte zu Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte (aufgrund der Bewegung eines nicht tr\u00e4gen Referenzrahmens, der jetzt als fiktive Kr\u00e4fte bezeichnet wird) und beeindruckt (alle anderen Kr\u00e4fte).  Obwohl das Prinzip von d’Alembert auf viele verschiedene Arten formuliert ist, bedeutet es im Wesentlichen, dass jedes Kr\u00e4ftesystem im Gleichgewicht ist, wenn den Tr\u00e4gheitskr\u00e4ften eingepr\u00e4gte Kr\u00e4fte hinzugef\u00fcgt werden.[1]    Das Prinzip gilt nicht f\u00fcr irreversible Verschiebungen wie Gleitreibung, und eine allgemeinere Spezifikation der Irreversibilit\u00e4t ist erforderlich.[2]  Das Prinzip von D’Alembert ist allgemeiner als das von Hamilton, da es nicht auf holonome Einschr\u00e4nkungen beschr\u00e4nkt ist, die nur von Koordinaten und Zeit abh\u00e4ngen, nicht aber von Geschwindigkeiten.[3]Table of Contents  Erkl\u00e4rung des Prinzips[edit]Ableitungen[edit]Allgemeiner Fall mit variabler Masse[edit]Sonderfall mit konstanter Masse[edit]D’Alemberts Prinzip der Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte[edit]Dynamisches Gleichgewicht[edit]Verweise[edit]Erkl\u00e4rung des Prinzips[edit]Das Prinzip besagt, dass die Summe der Unterschiede zwischen den auf ein System massereicher Teilchen wirkenden Kr\u00e4ften und den Zeitableitungen der Impulse des Systems selbst, die auf eine virtuelle Verschiebung projiziert werden, die mit den Einschr\u00e4nkungen des Systems \u00fcbereinstimmt, Null ist.[clarification needed]  In mathematischer Notation lautet das Prinzip von d’Alembert also wie folgt:\u2211ich((F.ich– –michv\u02d9ich– –m\u02d9ichvich)\u22c5\u03b4rich=0,{ displaystyle  sum _ {i} ( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i} – { dot {m}} _ {i }  mathbf {v} _ {i})  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} = 0,}wo :Die Newtonsche Punktnotation wird verwendet, um die Ableitung in Bezug auf die Zeit darzustellen.  Diese obige Gleichung wird oft als d’Alembert-Prinzip bezeichnet, wurde jedoch zuerst von Joseph Louis Lagrange in dieser Variationsform geschrieben.[4]    D’Alemberts Beitrag bestand darin zu zeigen, dass in der Gesamtheit eines dynamischen Systems die Zwangskr\u00e4fte verschwinden.  Das hei\u00dft, dass die verallgemeinerten Kr\u00e4fte   Q.j{ displaystyle { mathbf {Q}} _ {j}}  m\u00fcssen keine Zwangskr\u00e4fte enthalten.  Es entspricht dem etwas umst\u00e4ndlicheren Gau\u00dfschen Prinzip der geringsten Beschr\u00e4nkung.Ableitungen[edit]Allgemeiner Fall mit variabler Masse[edit]Die allgemeine Aussage von D’Alemberts Prinzip erw\u00e4hnt “die Zeitableitungen der Impulse des Systems”.  Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Kraft die erste Ableitung des Impulses.  Der Schwung der ich{ displaystyle i}-te Masse ist das Produkt seiner Masse und Geschwindigkeit:pich=michvich{ displaystyle  mathbf {p} _ {i} = m_ {i}  mathbf {v} _ {i}}und seine zeitliche Ableitung istp\u02d9ich=m\u02d9ichvich+michv\u02d9ich{ displaystyle { dot { mathbf {p}}} _ {i} = { dot {m}} _ {i}  mathbf {v} _ {i} + m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i}}.In vielen Anwendungen sind die Massen konstant und diese Gleichung reduziert sich aufp\u02d9ich=michv\u02d9ich=micheinich{ displaystyle { dot { mathbf {p}}} _ {i} = m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i} = m_ {i}  mathbf {a} _ { ich}},welches in der oben angegebenen Formel erscheint.  Einige Anwendungen beinhalten jedoch das \u00c4ndern von Massen (zum Beispiel das Auf- oder Abrollen von Ketten) und in diesen F\u00e4llen beide Begriffe m\u02d9ichvich{ displaystyle { dot {m}} _ {i}  mathbf {v} _ {i}}  und michv\u02d9ich{ displaystyle m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i}}  m\u00fcssen pr\u00e4sent bleiben, geben\u2211ich((F.ich– –micheinich– –m\u02d9ichvich)\u22c5\u03b4rich=0.{ displaystyle  sum _ {i} ( mathbf {F} _ {i} -m_ {i}  mathbf {a} _ {i} – { dot {m}} _ {i}  mathbf {v} _ {i})  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} = 0.}Sonderfall mit konstanter Masse[edit]Betrachten Sie das Newtonsche Gesetz f\u00fcr ein System von Partikeln konstanter Masse. ich{ displaystyle i}.  Die Gesamtkraft auf jedes Teilchen betr\u00e4gt[5]F.ich((T.)=micheinich,{ displaystyle  mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} = m_ {i}  mathbf {a} _ {i},}woF.ich((T.){ displaystyle  mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}}sind die Gesamtkr\u00e4fte, die auf die Partikel des Systems wirken,micheinich{ displaystyle m_ {i}  mathbf {a} _ {i}} sind die Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte, die sich aus den Gesamtkr\u00e4ften ergeben.Wenn Sie die Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte nach links verschieben, erhalten Sie einen Ausdruck, der als quasistatisches Gleichgewicht angesehen werden kann, der aber eigentlich nur eine kleine algebraische Manipulation des Newtonschen Gesetzes ist:[5]F.ich((T.)– –micheinich=0.{ displaystyle  mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} – m_ {i}  mathbf {a} _ {i} =  mathbf {0}.}In Anbetracht der virtuellen Arbeit, \u03b4W.{ displaystyle  delta W}, durchgef\u00fchrt durch die Gesamt- und Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte zusammen durch eine beliebige virtuelle Verschiebung, \u03b4rich{ displaystyle  delta  mathbf {r} _ {i}}des Systems f\u00fchrt zu einer Identit\u00e4t von Null, da die beteiligten Kr\u00e4fte f\u00fcr jedes Teilchen zu Null summieren.[5]\u03b4W.=\u2211ichF.ich((T.)\u22c5\u03b4rich– –\u2211ichmicheinich\u22c5\u03b4rich=0{ displaystyle  delta W =  sum _ {i}  mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} –  sum _ {i} m_ { i}  mathbf {a} _ {i}  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} = 0}Die urspr\u00fcngliche Vektorgleichung k\u00f6nnte wiederhergestellt werden, indem erkannt wird, dass der Arbeitsausdruck f\u00fcr beliebige Verschiebungen gelten muss.  Aufteilen der Gesamtkr\u00e4fte in aufgebrachte Kr\u00e4fte, F.ich{ displaystyle  mathbf {F} _ {i}}und Zwangskr\u00e4fte, C.ich{ displaystyle  mathbf {C} _ {i}}ergibt[5]\u03b4W.=\u2211ichF.ich\u22c5\u03b4rich+\u2211ichC.ich\u22c5\u03b4rich– –\u2211ichmicheinich\u22c5\u03b4rich=0.{ displaystyle  delta W =  sum _ {i}  mathbf {F} _ {i}  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} +  sum _ {i}  mathbf {C} _ {i }  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} –  sum _ {i} m_ {i}  mathbf {a} _ {i}  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} = 0. }}Wenn angenommen wird, dass beliebige virtuelle Verschiebungen in Richtungen sind, die orthogonal zu den Zwangskr\u00e4ften sind (was normalerweise nicht der Fall ist, so dass diese Ableitung nur f\u00fcr Sonderf\u00e4lle funktioniert), f\u00fchren die Zwangskr\u00e4fte keine Arbeit aus. \u2211ichC.ich\u22c5\u03b4rich=0{ displaystyle  sum _ {i}  mathbf {C} _ {i}  cdot  delta  mathbf {r} _ {i} = 0}.  Solche Verschiebungen sollen sein konsistent mit den Einschr\u00e4nkungen.[6]  Dies f\u00fchrt zur Formulierung von d’Alemberts Prinzip, der besagt, dass der Unterschied zwischen aufgebrachten Kr\u00e4ften und Tr\u00e4gheitskr\u00e4ften f\u00fcr ein dynamisches System keine virtuelle Arbeit leistet:[5]\u03b4W.=\u2211ich((F.ich– –micheinich)\u22c5\u03b4rich=0.{ displaystyle  delta W =  sum _ {i} ( mathbf {F} _ {i} -m_ {i}  mathbf {a} _ {i})  cdot  delta  mathbf {r} _ {i } = 0.}Es gibt auch ein entsprechendes Prinzip f\u00fcr statische Systeme, das als Prinzip der virtuellen Arbeit f\u00fcr aufgebrachte Kr\u00e4fte bezeichnet wird.D’Alemberts Prinzip der Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte[edit]D’Alembert hat gezeigt, dass man einen beschleunigenden starren K\u00f6rper in ein \u00e4quivalentes statisches System umwandeln kann, indem man die sogenannte “Tr\u00e4gheitskraft” und das “Tr\u00e4gheitsmoment” oder Moment hinzuf\u00fcgt.  Die Tr\u00e4gheitskraft muss durch den Schwerpunkt wirken und das Tr\u00e4gheitsmoment kann \u00fcberall wirken.  Das System kann dann genau als statisches System analysiert werden, das dieser “Tr\u00e4gheitskraft und diesem Tr\u00e4gheitsmoment” und den \u00e4u\u00dferen Kr\u00e4ften ausgesetzt ist.  Der Vorteil ist, dass man im \u00e4quivalenten statischen System Momente um jeden Punkt (nicht nur um den Massenschwerpunkt) nehmen kann.  Dies f\u00fchrt h\u00e4ufig zu einfacheren Berechnungen, da jede Kraft (wiederum) aus den Momentgleichungen eliminiert werden kann, indem der geeignete Punkt f\u00fcr die Anwendung der Momentgleichung ausgew\u00e4hlt wird (Summe der Momente = Null).  Selbst im Verlauf der Grundlagen der Dynamik und Kinematik von Maschinen hilft dieses Prinzip bei der Analyse der Kr\u00e4fte, die auf ein Glied eines Mechanismus wirken, wenn dieser in Bewegung ist.  In Lehrb\u00fcchern der technischen Dynamik wird dies manchmal als bezeichnet d’Alemberts Prinzip.Dynamisches Gleichgewicht[edit]D’Alemberts Form des Prinzips der virtuellen Arbeit besagt, dass sich ein System starrer K\u00f6rper im dynamischen Gleichgewicht befindet, wenn die virtuelle Arbeit aus der Summe der aufgebrachten Kr\u00e4fte und der Tr\u00e4gheitskr\u00e4fte f\u00fcr jede virtuelle Verschiebung des Systems Null ist.  Das dynamische Gleichgewicht eines Systems von n starren K\u00f6rpern mit m verallgemeinerten Koordinaten erfordert also, dass\u03b4W.=((Q.1+Q.1\u2217)\u03b4q1+\u2026+((Q.m+Q.m\u2217)\u03b4qm=0,{ displaystyle  delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*})  delta q_ {1} +  ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*})  delta q_ {m} = 0,}f\u00fcr jeden Satz virtueller Verschiebungen \u03b4qj{ displaystyle  delta q_ {j}}.  Diese Bedingung ergibt m Gleichungen,Q.j+Q.j\u2217=0,j=1,\u2026,m,{ displaystyle Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0,  quad j = 1,  ldots, m,}was auch geschrieben werden kann alsddt\u2202T.\u2202q\u02d9j– –\u2202T.\u2202qj=Q.j,j=1,\u2026,m.{ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partielle T} { partielle { dot {q}} _ {j}}} – { frac { partielle T} { partielle q_ {j}}} = Q_ {j},  quad j = 1,  ldots, m.}Das Ergebnis ist ein Satz von m Bewegungsgleichungen, die die Dynamik des Starrk\u00f6rpersystems definieren.Verweise[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/dalemberts-prinzip-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"D’Alemberts Prinzip – Wikipedia"}}]}]