[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/quadratfreies-polynom-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/quadratfreies-polynom-wikipedia\/","headline":"Quadratfreies Polynom – Wikipedia","name":"Quadratfreies Polynom – Wikipedia","description":"before-content-x4 Polynom ohne wiederholte Wurzel after-content-x4 In der Mathematik a quadratfreies Polynom ist ein Polynom, das \u00fcber ein Feld (oder","datePublished":"2020-12-24","dateModified":"2020-12-24","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/aac9766795342d43b6954b69741a2d175f5b5106","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/aac9766795342d43b6954b69741a2d175f5b5106","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/quadratfreies-polynom-wikipedia\/","wordCount":6066,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Polynom ohne wiederholte Wurzel       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In der Mathematik a quadratfreies Polynom ist ein Polynom, das \u00fcber ein Feld (oder allgemeiner eine eindeutige Faktorisierungsdom\u00e4ne) definiert ist, das kein Quadrat eines Nicht-Einheitsfaktors als Faktor hat.  Im wichtigen Fall von univariaten Polynomen \u00fcber einem Feld k, Dies bedeutet, dass f\u2208k[X]{ displaystyle f  in k[X]}}  ist genau dann quadratfrei, wenn b2\u2224f{ displaystyle b ^ {2}  nmid f}  f\u00fcr jedes Polynom        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4b\u2208k[X]{ displaystyle b  in k[X]}}  von positivem Grad.[1]  In Anwendungen in Physik und Technik wird ein quadratfreies Polynom \u00fcblicherweise als a bezeichnet Polynom ohne wiederholte Wurzeln.  Solche Polynome werden trennbar genannt, aber \u00fcber einem perfekten Feld ist trennbar dasselbe wie quadratfrei.EIN quadratfreie Zersetzung oder quadratfreie Faktorisierung eines Polynoms ist eine Faktorisierung in Potenzen quadratfreier Faktorenf=ein1ein22ein33\u22efeinnn=\u220fk=1neinkk{ displaystyle f = a_ {1} a_ {2} ^ {2} a_ {3} ^ {3}  cdots a_ {n} ^ {n} =  prod _ {k = 1} ^ {n} a_ { k} ^ {k} ,}wo die der eink  die nicht gleich 1 sind, sind paarweise quadratische Coprime-Polynome.[1]  Jedes Nicht-Null-Polynom mit Koeffizienten in einem Feld l\u00e4sst eine quadratfreie Faktorisierung zu, die bis zur Multiplikation der Faktoren mit Nicht-Null-Konstanten eindeutig ist.  Die quadratfreie Faktorisierung ist viel einfacher zu berechnen als die vollst\u00e4ndige Faktorisierung in irreduzible Faktoren und wird daher h\u00e4ufig bevorzugt, wenn die vollst\u00e4ndige Faktorisierung nicht wirklich ben\u00f6tigt wird, wie f\u00fcr die partielle Bruchzerlegung und die symbolische Integration rationaler Br\u00fcche.  Die quadratfreie Faktorisierung ist der erste Schritt der Polynomfaktorisierungsalgorithmen, die in Computeralgebrasystemen implementiert sind.  Daher ist der Algorithmus der quadratfreien Faktorisierung in der Computeralgebra grundlegend.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Im Fall von univariaten Polynomen \u00fcber einem Feld f\u00fchrt jeder Mehrfachfaktor eines Polynoms einen nichttrivialen gemeinsamen Faktor von ein f und seine formale Ableitung f ‘, Also eine ausreichende Bedingung f\u00fcr f quadratfrei zu sein ist, dass der gr\u00f6\u00dfte gemeinsame Teiler von f und f ‘Ist 1. Diese Bedingung ist auch \u00fcber ein Feld der Charakteristik 0 oder allgemeiner \u00fcber ein perfektes Feld notwendig, da \u00fcber ein solches Feld jedes irreduzible Polynom trennbar ist und somit mit seiner Ableitung koprimiert.\u00dcber einem Feld der Charakteristik 0 ist der Quotient von f{ displaystyle f}  durch seine GCD mit seinem Derivat ist das Produkt der einich{ displaystyle a_ {i}}  in der obigen quadratfreien Zersetzung.  \u00dcber ein perfektes Feld mit einer Charakteristik ungleich Null pist dieser Quotient das Produkt der einich{ displaystyle a_ {i}}  so dass ich ist kein Vielfaches von p.  Weitere GCD-Berechnungen und exakte Teilungen erm\u00f6glichen die Berechnung der quadratfreien Faktorisierung (siehe quadratfreie Faktorisierung \u00fcber ein endliches Feld).  In der Charakteristik Null ist ein besserer Algorithmus bekannt, der Yun-Algorithmus, der nachstehend beschrieben wird.[1]  Seine rechnerische Komplexit\u00e4t ist h\u00f6chstens doppelt so hoch wie die der GCD-Berechnung des Eingabepolynoms und seiner Ableitung.  Genauer gesagt, wenn T.n{ displaystyle T_ {n}}  ist die Zeit, die ben\u00f6tigt wird, um die GCD von zwei Gradpolynomen zu berechnen n{ displaystyle n}  und dann den Quotienten dieses Polynoms durch die GCD 2T.n{ displaystyle 2T_ {n}}  ist eine Obergrenze f\u00fcr die Zeit, die zur Berechnung der quadratfreien Zerlegung ben\u00f6tigt wird.Es sind auch Algorithmen zur Berechnung der quadratfreien Zerlegung multivariater Polynome bekannt.[2]Yuns Algorithmus[edit]Dieser Abschnitt beschreibt den Yun-Algorithmus f\u00fcr die quadratfreie Zerlegung univariater Polynome \u00fcber ein Feld der Charakteristik 0.[1]  Es erfolgt durch eine Abfolge von GCD-Berechnungen und genauen Unterteilungen.Die Eingabe ist somit ein Polynom ungleich Null fund der erste Schritt des Algorithmus besteht darin, die GCD zu berechnen ein0 von f und seine formale Ableitung f ‘.Wennf=ein1ein22ein33\u22efeinkk{ displaystyle f = a_ {1} a_ {2} ^ {2} a_ {3} ^ {3}  cdots a_ {k} ^ {k}}ist die gew\u00fcnschte Faktorisierung, die wir also habenein0=ein21ein32\u22efeinkk– –1,{ displaystyle a_ {0} = a_ {2} ^ {1} a_ {3} ^ {2}  cdots a_ {k} ^ {k-1},}f\/.ein0=ein1ein2ein3\u22efeink{ displaystyle f \/ a_ {0} = a_ {1} a_ {2} a_ {3}  cdots a_ {k}}undf‘\/.ein0=\u2211ich=1kicheinich‘ein1\u22efeinich– –1einich+1\u22efeink.{ displaystyle f ‘\/ a_ {0} =  sum _ {i = 1} ^ {k} ia_ {i}’ a_ {1}  cdots a_ {i-1} a_ {i + 1}  cdots a_ { k}.}Wenn wir setzen b1=f\/.ein0{ displaystyle b_ {1} = f \/ a_ {0}}, c1=f‘\/.ein0{ displaystyle c_ {1} = f ‘\/ a_ {0}}  und d1=c1– –b1‘{ displaystyle d_ {1} = c_ {1} -b_ {1} ‘}Das verstehen wirgcd((b1,d1)=ein1,{ displaystyle  gcd (b_ {1}, d_ {1}) = a_ {1},}b2=b1\/.ein1=ein2ein3\u22efeinn,{ displaystyle b_ {2} = b_ {1} \/ a_ {1} = a_ {2} a_ {3}  cdots a_ {n},}undc2=d1\/.ein1=\u2211ich=2k((ich– –1)einich‘ein2\u22efeinich– –1einich+1\u22efeink.{ displaystyle c_ {2} = d_ {1} \/ a_ {1} =  sum _ {i = 2} ^ {k} (i-1) a_ {i} ‘a_ {2}  cdots a_ {i- 1} a_ {i + 1}  cdots a_ {k}.}Iterieren Sie diesen Prozess bis bk+1=1{ displaystyle b_ {k + 1} = 1}    wir finden alle einich.{ displaystyle a_ {i}.}Dies wird wie folgt in einen Algorithmus formalisiert:ein0: =gcd((f,f‘);;b1: =f\/.ein0;;c1: =f‘\/.ein0;;d1: =c1– –b1‘;;ich: =1;;{ displaystyle a_ {0}: =  gcd (f, f ‘);  quad b_ {1}: = f \/ a_ {0};  quad c_ {1}: = f’ \/ a_ {0};  quad d_ {1}: = c_ {1} -b_ {1} ‘;  quad i: = 1;}wiederholeneinich: =gcd((bich,dich);;bich+1: =bich\/.einich;;cich+1: =dich\/.einich;;ich: =ich+1;;dich: =cich– –bich‘;;{ displaystyle a_ {i}: =  gcd (b_ {i}, d_ {i});  quad b_ {i + 1}: = b_ {i} \/ a_ {i};  quad c_ {i + 1 }: = d_ {i} \/ a_ {i};  quad i: = i + 1;  quad d_ {i}: = c_ {i} -b_ {i} ‘;}bis um b=1;;{ displaystyle b = 1;}Ausgabe ein1,\u2026,einich– –1.{ displaystyle a_ {1},  ldots, a_ {i-1}.}Der Grad von cich{ displaystyle c_ {i}}  und dich{ displaystyle d_ {i}}  ist eins weniger als der Grad von bich.{ displaystyle b_ {i}.}  Wie f{ displaystyle f}  ist das Produkt der bich,{ displaystyle b_ {i},}  die Summe der Grade der bich{ displaystyle b_ {i}}  ist der Grad von f.{ displaystyle f.}  Da die Komplexit\u00e4t von GCD-Berechnungen und -Divisionen mehr als linear mit dem Grad zunimmt, folgt, dass die Gesamtlaufzeit der “Wiederholungs” -Schleife geringer ist als die Laufzeit der ersten Zeile des Algorithmus und dass die Gesamtlaufzeit von Yuns Algorithmus ist durch die doppelte Zeit begrenzt, die zur Berechnung der GCD von ben\u00f6tigt wird f{ displaystyle f}  und f‘{ displaystyle f ‘}  und der Quotient von f{ displaystyle f}  und f‘{ displaystyle f ‘}  durch ihre GCD.Quadratwurzel[edit]Im Allgemeinen hat ein Polynom keine Quadratwurzel.  Genauer gesagt k\u00f6nnen die meisten Polynome nicht als Quadrat eines anderen Polynoms geschrieben werden.Ein Polynom hat genau dann eine Quadratwurzel, wenn alle Exponenten der quadratfreien Zerlegung gerade sind.  In diesem Fall wird die Quadratwurzel erhalten, indem diese Exponenten durch 2 geteilt werden.Das Problem der Entscheidung, ob ein Polynom eine Quadratwurzel hat, und der Berechnung, ob es existiert, ist daher ein Sonderfall der quadratfreien Faktorisierung.Verweise[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/24\/quadratfreies-polynom-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Quadratfreies Polynom – Wikipedia"}}]}]