[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/charakterisierungen-der-exponentialfunktion\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/charakterisierungen-der-exponentialfunktion\/","headline":"Charakterisierungen der Exponentialfunktion","name":"Charakterisierungen der Exponentialfunktion","description":"before-content-x4 In der Mathematik kann die Exponentialfunktion auf viele Arten charakterisiert werden. Die folgenden Charakterisierungen (Definitionen) sind am h\u00e4ufigsten. 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Die folgenden Charakterisierungen (Definitionen) sind am h\u00e4ufigsten.  In diesem Artikel wird erl\u00e4utert, warum jede Charakterisierung sinnvoll ist und warum die Charakterisierungen unabh\u00e4ngig voneinander und gleichwertig sind.  Als Sonderfall dieser \u00dcberlegungen wird gezeigt, dass die drei h\u00e4ufigsten Definitionen f\u00fcr die mathematische Konstante gegeben sind e sind einander \u00e4quivalent.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsCharakterisierungen[edit]Gr\u00f6\u00dfere Domains[edit]Beweis, dass jede Charakterisierung sinnvoll ist[edit]Charakterisierung 2[edit]Charakterisierung 3[edit]\u00c4quivalenz der Charakterisierungen[edit]\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 2[edit]\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 3[edit]\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 3 und 4[edit]\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 2 und 4[edit]\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 5[edit]Charakterisierung 2 impliziert Charakterisierung 6[edit]Charakterisierung 5 impliziert Charakterisierung 4[edit]Charakterisierung 6 impliziert Charakterisierung 4[edit]Verweise[edit]Charakterisierungen[edit]Die sechs h\u00e4ufigsten Definitionen der Exponentialfunktion exp (x) = ex  wirklich x sind:1. Definieren ex  durch die Grenze       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4ex=limn\u2192\u221e((1+xn)n.{ displaystyle e ^ {x} =  lim _ {n  to  infty}  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n}.}2. Definieren ex  als Wert der unendlichen Reiheex=\u2211n=0\u221exnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+\u22ef{ displaystyle e ^ {x} =  sum _ {n = 0} ^ { infty} {x ^ {n}  over n!} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2! }} + { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} +  cdots}(Hier n! bezeichnet die Fakult\u00e4t von n.  Ein Beweis daf\u00fcr e  ist irrational verwendet diese Darstellung.)3. Definieren ex  die eindeutige Nummer sein y > 0 so dass\u222b1ydtt=x.{ displaystyle  int _ {1} ^ {y} { frac {dt} {t}} = x.}Dies ist die Umkehrung der nat\u00fcrlichen Logarithmusfunktion, die durch dieses Integral definiert wird.4. Definieren ex  die einzigartige L\u00f6sung f\u00fcr das Anfangswertproblem zu seiny‘=y,y((0)=1.{ displaystyle y ‘= y,  quad y (0) = 1.}(Hier, y‘ bezeichnet die Ableitung von y.)5. Die Exponentialfunktion f((x) = ex  ist der einzigartige Lebesgue-messbare Funktion mit f(1) = e  das befriedigt       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4f((x+y)=f((x)f((y) f\u00fcr alle x und y{ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y) { text {f\u00fcr alle}} x { text {und}} y}(Hewitt und Stromberg, 1965, \u00dcbung 18.46).Alternativ ist es das einzigartige \u00fcberall kontinuierliche Funktion mit diesen Eigenschaften (Rudin, 1976, Kapitel 8, \u00dcbung 6).  Der Begriff “\u00fcberall kontinuierlich” bedeutet, dass mindestens ein einzelner Punkt existiert x bei welchem f((x) ist kontinuierlich.  Wie unten gezeigt, wenn f((x + y) = f((x) f((y) f\u00fcr alle x und y, und f((x) ist kontinuierlich bei irgendein einziger Punkt x, dann f((x) ist notwendigerweise kontinuierlich \u00fcberall.(Als Gegenbeispiel, wenn man es tut nicht Unter der Annahme von Kontinuit\u00e4t oder Messbarkeit ist es m\u00f6glich, die Existenz einer \u00fcberall diskontinuierlichen, nicht messbaren Funktion mit dieser Eigenschaft zu beweisen, indem eine Hamel-Basis f\u00fcr die reellen Zahlen \u00fcber die Rationalit\u00e4ten verwendet wird, wie in Hewitt und Stromberg beschrieben.weil f((x) = ex  ist f\u00fcr rationale garantiert x Durch die obigen Eigenschaften (siehe unten) k\u00f6nnte man auch Monotonie oder andere Eigenschaften verwenden, um die Wahl von zu erzwingen ex  f\u00fcr irrational x,[citation needed]  aber solche Alternativen scheinen ungew\u00f6hnlich zu sein.Man k\u00f6nnte auch die Bedingungen ersetzen, die f(1) = e  und das f  Lebesgue-messbar oder irgendwo kontinuierlich mit der einzigen Bedingung sein, dass f ‘(0) = 1.6. Lassen Sie e  sei die eindeutige reelle Zahl befriedigendlimh\u21920eh– –1h=1.{ displaystyle  lim _ {h  bis 0} { frac {e ^ {h} -1} {h}} = 1.}Es kann gezeigt werden, dass diese Grenze existiert.  Diese Definition eignet sich besonders zur Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion.  Dann definieren ex  die Exponentialfunktion mit dieser Basis zu sein.Gr\u00f6\u00dfere Domains[edit]Eine M\u00f6glichkeit, die Exponentialfunktion f\u00fcr Dom\u00e4nen zu definieren, die gr\u00f6\u00dfer als die Dom\u00e4ne von reellen Zahlen sind, besteht darin, sie zuerst f\u00fcr die Dom\u00e4ne von reellen Zahlen unter Verwendung einer der obigen Charakterisierungen zu definieren und sie dann auf eine Weise auf gr\u00f6\u00dfere Dom\u00e4nen auszudehnen, die f\u00fcr jede analytische Funktion funktionieren w\u00fcrde .Es ist auch m\u00f6glich, die Charakterisierungen direkt f\u00fcr die gr\u00f6\u00dfere Dom\u00e4ne zu verwenden, obwohl einige Probleme auftreten k\u00f6nnen.  (1), (2) und (4) sind alle f\u00fcr beliebige Banach-Algebren sinnvoll.  (3) stellt ein Problem f\u00fcr komplexe Zahlen dar, da es nicht \u00e4quivalente Pfade gibt, auf denen man sich integrieren k\u00f6nnte, und (5) nicht ausreicht.  Zum Beispiel die Funktion f definiert (f\u00fcr x und y real) alsf((x+ichy)=ex((cos\u2061((2y)+ichS\u00fcnde\u2061((2y))=ex+2ichy{ displaystyle f (x + iy) = e ^ {x} ( cos (2y) + i  sin (2y)) = e ^ {x + 2iy}}erf\u00fcllt die Bedingungen in (5), ohne die Exponentialfunktion von zu sein x + iy.  Um (5) f\u00fcr die Dom\u00e4ne komplexer Zahlen ausreichend zu machen, kann man entweder festlegen, dass es einen Punkt gibt, an dem f ist eine konforme Karte oder legen dies festf((ich)=cos\u2061((1)+ichS\u00fcnde\u2061((1).{ displaystyle f (i) =  cos (1) + i  sin (1).}Insbesondere die alternative Bedingung in (5), dass f‘((0)=1{ displaystyle f ‘(0) = 1}  ist ausreichend, da dies implizit vorschreibt f konform sein.Beweis, dass jede Charakterisierung sinnvoll ist[edit]Einige dieser Definitionen m\u00fcssen begr\u00fcndet werden, um nachzuweisen, dass sie gut definiert sind.  Wenn beispielsweise der Wert der Funktion als Ergebnis eines Begrenzungsprozesses (dh einer unendlichen Folge oder Reihe) definiert wird, muss nachgewiesen werden, dass eine solche Begrenzung immer existiert.Charakterisierung 2[edit]Schon seitlimn\u2192\u221e|xn+1\/.((n+1)!xn\/.n!|=limn\u2192\u221e|xn+1|=0xnn!{ displaystyle  sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}}}  konvergiert f\u00fcr alle x.Charakterisierung 3[edit]Da der Integrand eine integrierbare Funktion von ist tist der integrale Ausdruck gut definiert.  Es muss gezeigt werden, dass die Funktion von R.+{ displaystyle  mathbb {R} ^ {+}}  zu R.{ displaystyle  mathbb {R}}  definiert von\u222b1((\u22c5)dtt{ displaystyle  int _ {1} ^ {( cdot)} { frac {dt} {t}}}ist eine Bijektion.  Wie t– –1{ displaystyle t ^ {- 1}}  ist positiv f\u00fcr positiv tDiese Funktion nimmt monoton zu, daher eins zu eins.  Wenn die beiden Integrale\u222b1\u221edtt=\u221e\u222b10dtt=– –\u221e{ displaystyle { begin {align}  int _ {1} ^ { infty} { frac {dt} {t}} & =  infty \\[8pt] int _ {1} ^ {0} { frac {dt} {t}} & = –  infty  end {align}}}halten, dann ist es auch klar auf.  In der Tat diese Integrale tun halt;  Sie ergeben sich aus dem Integraltest und der Divergenz der harmonischen Reihen.\u00c4quivalenz der Charakterisierungen[edit]Der folgende Beweis zeigt die \u00c4quivalenz der ersten drei angegebenen Charakterisierungen e \u00fcber.  Der Beweis besteht aus zwei Teilen.  Zuerst wird die \u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 2 hergestellt, und dann wird die \u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 3 hergestellt.  Argumente, die die anderen Charakterisierungen verbinden, werden ebenfalls angegeben.\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 2[edit]Das folgende Argument stammt aus einem Beweis in Rudin, Satz 3.31, p.  63\u201365.Lassen x\u22650{ displaystyle x  geq 0}  eine feste nicht negative reelle Zahl sein.  Definierensn=\u2211k=0nxkk!, tn=((1+xn)n.{ displaystyle s_ {n} =  sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {x ^ {k}} {k!}},  t_ {n} =  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n}.}Nach dem Binomialsatztn=\u2211k=0n((nk)xknk=1+x+\u2211k=2nn((n– –1)((n– –2)\u22ef((n– –((k– –1))xkk!nk=1+x+x22!((1– –1n)+x33!((1– –1n)((1– –2n)+\u22ef\u22ef+xnn!((1– –1n)\u22ef((1– –n– –1n)\u2264sn{ displaystyle { begin {align} t_ {n} & =  sum _ {k = 0} ^ {n} {n  w\u00e4hle k} { frac {x ^ {k}} {n ^ {k}} } = 1 + x +  sum _ {k = 2} ^ {n} { frac {n (n-1) (n-2)  cdots (n- (k-1)) x ^ {k}} { k! , n ^ {k}}} \\[8pt]& = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}}  Left (1 – { frac {1} {n}}  right) + { frac {x ^ {3}} { 3!}}  Left (1 – { frac {1} {n}}  right)  left (1 – { frac {2} {n}}  right) +  cdots \\[8pt]& {}  qquad  cdots + { frac {x ^ {n}} {n!}}  left (1 – { frac {1} {n}}  right)  cdots  left (1 – { frac {n-1} {n}}  rechts)  leq s_ {n}  end {align}}}(mit x \u2265 0, um die endg\u00fcltige Ungleichung zu erhalten), so dasslim supn\u2192\u221etn\u2264lim supn\u2192\u221esn=ex{ displaystyle  limsup _ {n  to  infty} t_ {n}  leq  limsup _ {n  to  infty} s_ {n} = e ^ {x}}wo ex  ist im Sinne von Definition 2. Hier m\u00fcssen Limsups verwendet werden, da nicht bekannt ist, ob tnkonvergiert.  F\u00fcr die andere Richtung durch den obigen Ausdruck von tn, wenn 2 \u2264 m \u2264 n,1+x+x22!((1– –1n)+\u22ef+xmm!((1– –1n)((1– –2n)\u22ef((1– –m– –1n)\u2264tn.{ displaystyle 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}}  left (1 – { frac {1} {n}}  right) +  cdots + { frac {x ^ { m}} {m!}}  left (1 – { frac {1} {n}}  right)  left (1 – { frac {2} {n}}  right)  cdots  left (1 – { frac {m-1} {n}}  right)  leq t_ {n}.}Fix m, und lass n n\u00e4here dich der Unendlichkeit.  Dannsm=1+x+x22!+\u22ef+xmm!\u2264lim infn\u2192\u221etn{ displaystyle s_ {m} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} +  cdots + { frac {x ^ {m}} {m!}}  leq  liminf _ {n  to  infty} t_ {n}}(Auch hier m\u00fcssen Liminfs verwendet werden, da nicht bekannt ist, ob tn  konvergiert).  Nehmen wir nun die obige Ungleichung und lassen m n\u00e4here dich der Unendlichkeit und setze sie mit der anderen Ungleichung zusammenlim supn\u2192\u221etn\u2264ex\u2264lim infn\u2192\u221etn{ displaystyle  limsup _ {n  to  infty} t_ {n}  leq e ^ {x}  leq  liminf _ {n  to  infty} t_ {n}}damitlimn\u2192\u221etn=ex.{ displaystyle  lim _ {n  to  infty} t_ {n} = e ^ {x}.}Diese \u00c4quivalenz kann durch Notieren auf die negativen reellen Zahlen erweitert werden ((1– –rn)n((1+rn)n=((1– –r2n2)n{ displaystyle  left (1 – { frac {r} {n}}  right) ^ {n}  left (1 + { frac {r} {n}}  right) ^ {n} =  left (1 – { frac {r ^ {2}} {n ^ {2}}}  right) ^ {n}}  und das Limit nehmen, wenn n gegen unendlich geht.Der Fehlerterm dieses Grenzwertausdrucks wird durch beschrieben((1+xn)n=ex((1– –x22n+x3((8+3x)24n2+\u22ef),{ displaystyle  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n} = e ^ {x}  left (1 – { frac {x ^ {2}} {2n}} + { frac {x ^ {3} (8 + 3x)} {24n ^ {2}}} +  cdots  right),}wo der Grad des Polynoms (in x) im Begriff mit Nenner nk  ist 2k.\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 3[edit]Hier wird die nat\u00fcrliche Logarithmusfunktion in Form eines bestimmten Integrals wie oben definiert.  Nach dem ersten Teil des Grundsatzes der Analysis,ddxln\u2061x=ddx\u222b1x1tdt=1x.{ displaystyle { frac {d} {dx}}  ln x = { frac {d} {dx}}  int _ {1} ^ {x} { frac {1} {t}} , dt = { frac {1} {x}}.}Au\u00dferdem, ln\u20611=\u222b111tdt=0{ displaystyle  ln 1 =  int _ {1} ^ {1} { frac {1} {t}} , dt = 0}Nun lass x sei eine feste reelle Zahl und lassy=limn\u2192\u221e((1+xn)n.{ displaystyle y =  lim _ {n  to  infty}  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n}.}Ln (y) = x, was das impliziert y = ex, wo ex  ist im Sinne von Definition 3. Wir habenln\u2061y=ln\u2061limn\u2192\u221e((1+xn)n=limn\u2192\u221eln\u2061((1+xn)n.{ displaystyle  ln y =  ln  lim _ {n  to  infty}  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n} =  lim _ {n  to  infty}  ln  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n}.}Hier ist die Kontinuit\u00e4t von ln (y) verwendet wird, was sich aus der Kontinuit\u00e4t von 1 \/ ergibtt::ln\u2061y=limn\u2192\u221enln\u2061((1+xn)=limn\u2192\u221exln\u2061((1+((x\/.n))((x\/.n).{ displaystyle  ln y =  lim _ {n  to  infty} n  ln  left (1 + { frac {x} {n}}  right) =  lim _ {n  to  infty} {  frac {x  ln  left (1+ (x \/ n)  right)} {(x \/ n)}}.}Hier ist das Ergebnis lneinn  = nlnein wurde verwendet.  Dieses Ergebnis kann f\u00fcr festgelegt werden n eine nat\u00fcrliche Zahl durch Induktion oder durch Integration durch Substitution.  (Die Ausweitung auf echte M\u00e4chte muss warten bis ln und exp wurden als Umkehrungen voneinander etabliert, so dass einb  kann f\u00fcr real definiert werden b wie eb lnein.)=x\u22c5limh\u21920ln\u2061((1+h)h wo h=xn{ displaystyle = x  cdot  lim _ {h  bis 0} { frac { ln  left (1 + h  right)} {h}}  quad { text {where}} h = { frac {x} {n}}}=x\u22c5limh\u21920ln\u2061((1+h)– –ln\u20611h{ displaystyle = x  cdot  lim _ {h  bis 0} { frac { ln  left (1 + h  right) –  ln 1} {h}}}=x\u22c5ddtln\u2061t|t=1{ displaystyle = x  cdot { frac {d} {dt}}  ln t { Bigg |} _ {t = 1}}=x.{ displaystyle ! , = x.}\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 3 und 4[edit]Bei der Charakterisierung 3 wird der nat\u00fcrliche Logarithmus definiert, bevor die Exponentialfunktion definiert wird.  Zuerst,Log\u2061x: =\u222b1x1tdt{ displaystyle  log x: =  int _ {1} ^ {x} { frac {1} {t}} dt}Dies bedeutet, dass der nat\u00fcrliche Logarithmus von x{ displaystyle x}  entspricht der (vorzeichenbehafteten) Fl\u00e4che unter dem Diagramm von 1\/.t{ displaystyle 1 \/ t}  zwischen t=1{ displaystyle t = 1}  und t=x{ displaystyle t = x}.  Wenn x((x))=x und Log\u2061((exp\u2061((x))=x{ displaystyle  exp ( log (x)) = x { text {und}}  log ( exp (x)) = x}durch die Definition einer Umkehrfunktion.  Wenn ein{ displaystyle a}  ist dann eine positive reelle Zahl einx{ displaystyle a ^ {x}}  ist definiert als exp\u2061((xLog\u2061((ein)){ displaystyle  exp (x  log (a))}.  Schlie\u00dflich, e{ displaystyle e}  ist als die Nummer definiert ein{ displaystyle a}  so dass Log\u2061((ein)=1{ displaystyle  log (a) = 1}.  Es kann dann gezeigt werden, dass ex=exp\u2061((x){ displaystyle e ^ {x} =  exp (x)}::ex=exp\u2061((xLog\u2061((e))=exp\u2061((x){ displaystyle e ^ {x} =  exp (x  log (e)) =  exp (x)}Nach dem Grundsatz der Analysis ist die Ableitung von Log\u2061x=1x{ displaystyle  log x = { frac {1} {x}}}.  Wir sind jetzt in der Lage, dies zu beweisen d((ex)dx=ex{ displaystyle { frac {d (e ^ {x})} {dx}} = e ^ {x}}, Erf\u00fcllung des ersten Teils des in Charakterisierung 4 angegebenen Anfangswertproblems:Lassen y=ex=exp\u2061((x)Log\u2061((y)=Log\u2061((exp\u2061((x))=x1ydydx=1dydx=y=ex{ displaystyle { begin {align} { text {Let}} y & = e ^ {x} =  exp (x) \\ log (y) & =  log ( exp (x)) = x   { frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} & = 1 \\ { frac {dy} {dx}} & = y = e ^ {x}  end {align} }}Dann m\u00fcssen wir das nur noch beachten e0=exp\u2061((0)=1{ displaystyle e ^ {0} =  exp (0) = 1}und wir sind fertig.  Nat\u00fcrlich ist es viel einfacher zu zeigen, dass Charakterisierung 4 Charakterisierung 3 impliziert. Wenn ex{ displaystyle e ^ {x}}  ist die einzigartige Funktion f::R.\u2192R.{ displaystyle f:  mathbb {R}  to  mathbb {R}}  befriedigend f‘((x)=ex{ displaystyle f ‘(x) = e ^ {x}}, und f((0)=1{ displaystyle f (0) = 1}, dann Log{ displaystyle  log}  kann als seine Umkehrung definiert werden.  Die Ableitung von Log{ displaystyle  log}  kann auf folgende Weise gefunden werden:y=Log\u2061x\u27f9x=ey{ displaystyle y =  log x  impliziert x = e ^ {y}}Wenn wir beide Seiten in Bezug auf unterscheiden y{ displaystyle y}, wir bekommendxdy=eydydx=1ey=1x{ displaystyle { begin {align} { frac {dx} {dy}} & = e ^ {y} \\ { frac {dy} {dx}} & = { frac {1} {e ^ { y}}} = { frac {1} {x}}  end {align}}}Deshalb,\u222b1x1tdt=[log\u2061t]1x=Log\u2061x– –Log\u20611=Log\u2061x– –0=Log\u2061x{ displaystyle  int _ {1} ^ {x} { frac {1} {t}} dt =  left[log tright]_ {1} ^ {x} =  log x-  log 1 =  log x-0 =  log x}\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 2 und 4[edit]Sei n eine nicht negative ganze Zahl.  Im Sinne von Definition 4 und durch Induktion dnydxn=y{ displaystyle { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = y}.Deshalb dnydxn|x=0=y((0)=1.{ displaystyle { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} { Bigg |} _ {x = 0} = y (0) = 1.}Mit Taylor-Serie,y=\u2211n=0\u221ef((n)((0)n!xn=\u2211n=0\u221e1n!xn=\u2211n=0\u221exnn!.{ displaystyle y =  sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} , x ^ {n} =  sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} , x ^ {n} =  sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n} } {n!}}.}  Dies zeigt, dass Definition 4 Definition 2 impliziert.Im Sinne von Definition 2,ddxex=ddx((1+\u2211n=1\u221exnn!)=\u2211n=1\u221enxn– –1n!=\u2211n=1\u221exn– –1((n– –1)!=\u2211k=0\u221exkk!, wo k=n– –1=ex{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} e ^ {x} & = { frac {d} {dx}}  left (1+  sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}}  right) =  sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {nx ^ {n-1}} {n !}} =  sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n-1}} {(n-1)!}} \\[6pt]& =  sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}}, { text {where}} k = n-1 \\[6pt]& = e ^ {x}  end {align}}}Au\u00dferdem, e0=1+0+022!+033!+\u22ef=1.{ displaystyle e ^ {0} = 1 + 0 + { frac {0 ^ {2}} {2!}} + { frac {0 ^ {3}} {3!}} +  cdots = 1. }}  Dies zeigt, dass Definition 2 Definition 4 impliziert.\u00c4quivalenz der Charakterisierungen 1 und 5[edit]Der folgende Beweis ist eine vereinfachte Version des in Hewitt und Stromberg, \u00dcbung 18.46.  Zun\u00e4chst beweist man, dass Messbarkeit (oder hier Lebesgue-Integrierbarkeit) Kontinuit\u00e4t f\u00fcr eine Nicht-Null-Funktion impliziert f((x){ displaystyle f (x)}  befriedigend f((x+y)=f((x)f((y){ Anzeigestil f (x + y) = f (x) f (y)}und dann beweist man, dass Kontinuit\u00e4t impliziert f((x)=ekx{ displaystyle f (x) = e ^ {kx}}  f\u00fcr einige k, und schlussendlich f((1)=e{ displaystyle f (1) = e}  impliziert k= 1.Zun\u00e4chst einige elementare Eigenschaften aus f((x){ displaystyle f (x)}  befriedigend f((x+y)=f((x)f((y){ Anzeigestil f (x + y) = f (x) f (y)}  sind bewiesen, und die Annahme, dass f((x){ displaystyle f (x)}  ist nicht identisch Null:Die zweite und dritte Eigenschaft bedeuten, dass es ausreicht, dies zu beweisen f((x)=ex{ displaystyle f (x) = e ^ {x}}  f\u00fcr positiv x.Wenn f((x){ displaystyle f (x)}  ist also eine Lebesgue-integrierbare FunktionG((x)=\u222b0xf((x‘)dx‘.{ displaystyle g (x) =  int _ {0} ^ {x} f (x ‘) , dx’.}Daraus folgt dannG((x+y)– –G((x)=\u222bxx+yf((x‘)dx‘=\u222b0yf((x+x‘)dx‘=f((x)G((y).{ Anzeigestil g (x + y) -g (x) =  int _ {x} ^ {x + y} f (x ‘) , dx’ =  int _ {0} ^ {y} f (x + x ‘) , dx’ = f (x) g (y).}Schon seit f((x){ displaystyle f (x)}  ist ungleich Null, einige y kann so gew\u00e4hlt werden, dass G((y)\u22600{ displaystyle g (y)  neq 0}  und l\u00f6sen f\u00fcr f((x){ displaystyle f (x)}  im obigen Ausdruck.  Deshalb:f((x+\u03b4)– –f((x)=[g(x+\u03b4+y)\u2212g(x+\u03b4)]– –[g(x+y)\u2212g(x)]G((y)=[g(x+y+\u03b4)\u2212g(x+y)]– –[g(x+\u03b4)\u2212g(x)]G((y)=f((x+y)G((\u03b4)– –f((x)G((\u03b4)G((y)=G((\u03b4)f((x+y)– –f((x)G((y).{ displaystyle { begin {align} f (x +  delta) -f (x) & = { frac {[g(x+delta +y)-g(x+delta )]- -[g(x+y)-g(x)]} {g (y)}} \\ & = { frac {[g(x+y+delta )-g(x+y)]- -[g(x+delta )-g(x)]} {g (y)}} \\ & = { frac {f (x + y) g ( delta) -f (x) g ( delta)} {g (y)}} = g ( delta ) { frac {f (x + y) -f (x)} {g (y)}}.  end {align}}}Der endg\u00fcltige Ausdruck muss als auf Null gehen \u03b4\u21920{ displaystyle  delta  rightarrow 0}  schon seit G((0)=0{ displaystyle g (0) = 0}  und G((x){ displaystyle g (x)}  ist kontinuierlich.  Es folgt dem f((x){ displaystyle f (x)}  ist kontinuierlich.Jetzt, f((q)=ekq{ displaystyle f (q) = e ^ {kq}}  kann f\u00fcr einige bewiesen werden kf\u00fcr alle positiven rationalen Zahlen q.  Lassen q=n\/.m f\u00fcr positive ganze Zahlen n und m.  Dannf((nm)=f((1m+\u22ef+1m)=f((1m)n{ displaystyle f  left ({ frac {n} {m}}  right) = f  left ({ frac {1} {m}} +  cdots + { frac {1} {m}}  rechts) = f  links ({ frac {1} {m}}  rechts) ^ {n}}durch elementare Induktion auf n.  Deshalb, f((1\/.m)m=f((1){ displaystyle f (1 \/ m) ^ {m} = f (1)}  und somitf((nm)=f((1)n\/.m=ek((n\/.m).{ displaystyle f  left ({ frac {n} {m}}  right) = f (1) ^ {n \/ m} = e ^ {k (n \/ m)}.}zum k=ln\u2061[f(1)]{ displaystyle k =  ln[f(1)]}}.  Wenn auf den realen Wert beschr\u00e4nkt f((x){ displaystyle f (x)}, dann f((x)=f((x\/.2)2{ displaystyle f (x) = f (x \/ 2) ^ {2}}  ist \u00fcberall positiv und so k ist echt.Schlie\u00dflich durch Kontinuit\u00e4t, da f((x)=ekx{ displaystyle f (x) = e ^ {kx}}  f\u00fcr alle rational xmuss es f\u00fcr alle real wahr sein x denn die Schlie\u00dfung der Rationalen ist die Realit\u00e4t (dh jede Realit\u00e4t) x kann als Grenze einer Folge von Rationalen geschrieben werden).  Wenn f((1)=e{ displaystyle f (1) = e}  dann k = 1. Dies entspricht der Charakterisierung 1 (oder 2 oder 3), je nachdem, welche \u00e4quivalente Definition von e verwendet wird.Charakterisierung 2 impliziert Charakterisierung 6[edit]Im Sinne von Definition 2,[1]limh\u21920eh– –1h{ displaystyle  lim _ {h  bis 0} { frac {e ^ {h} -1} {h}}}=limh\u219201h((((1+h+h22!+h33!+h44!+\u22ef)– –1){ displaystyle =  lim _ {h  bis 0} { frac {1} {h}}  left ( left (1 + h + { frac {h ^ {2}} {2!}} + { frac {h ^ {3}} {3!}} + { frac {h ^ {4}} {4!}} +  cdots  right) -1  right)}=limh\u21920((1+h2!+h23!+h34!+\u22ef){ displaystyle =  lim _ {h  bis 0}  left (1 + { frac {h} {2!}} + { frac {h ^ {2}} {3!}} + { frac { h ^ {3}} {4!}} +  cdots  right)}=1{ displaystyle = 1}Charakterisierung 5 impliziert Charakterisierung 4[edit]Die Bedingungen f ‘(0) = 1 und f((x + y) = f((x) f((y) implizieren beide Bedingungen in der Charakterisierung 4. In der Tat erh\u00e4lt man die Anfangsbedingung f(0) = 1 durch Teilen beider Seiten der Gleichungf((0)=f((0+0)=f((0)f((0){ Anzeigestil f (0) = f (0 + 0) = f (0) f (0)}durch f(0)und die Bedingung, dass f ‘((x) = f((x) folgt aus der Bedingung, dass f ‘(0) = 1 und die Definition des Derivats wie folgt:f‘((x)=limh\u21920f((x+h)– –f((x)h=limh\u21920f((x)f((h)– –f((x)h=limh\u21920f((x)f((h)– –1h=f((x)limh\u21920f((h)– –1h=f((x)limh\u21920f((0+h)– –f((0)h=f((x)f‘((0)=f((x).{ displaystyle { begin {array} {rcccccc} f ‘(x) & = &  lim  begrenzt _ {h  auf 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h} } & = &  lim  begrenzt _ {h  auf 0} { frac {f (x) f (h) -f (x)} {h}} & = &  lim  begrenzt _ {h  auf 0 } f (x) { frac {f (h) -1} {h}} \\[1em]& = & f (x)  lim  begrenzt _ {h  auf 0} { frac {f (h) -1} {h}} & = & f (x)  lim  begrenzt _ {h  auf 0} {  frac {f (0 + h) -f (0)} {h}} & = & f (x) f ‘(0) = f (x).  end {array}}}Charakterisierung 6 impliziert Charakterisierung 4[edit]Im Sinne der Definition 6, ddxex=limh\u21920ex+h– –exh=ex\u22c5limh\u21920eh– –1h=ex.{ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {x} =  lim _ {h  bis 0} { frac {e ^ {x + h} -e ^ {x}} {h}} = e ^ {x}  cdot  lim _ {h  bis 0} { frac {e ^ {h} -1} {h}} = e ^ {x}.}Apropos e0=1{ displaystyle e ^ {0} = 1}Daher impliziert Definition 6 Definition 4.Verweise[edit]Walter Rudin, Prinzipien der mathematischen Analyse, 3. Auflage (McGraw-Hill, 1976), Kapitel 8.Edwin Hewitt und Karl Stromberg, Reale und abstrakte Analyse (Springer, 1965).     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/charakterisierungen-der-exponentialfunktion\/#breadcrumbitem","name":"Charakterisierungen der Exponentialfunktion"}}]}]