Dirichlet eta Funktion – Wikipedia

Posted on December 25, 2020 by lordneo

Funktion in der analytischen Zahlentheorie

In der Mathematik, im Bereich der analytischen Zahlentheorie, ist die Dirichlet eta Funktion wird durch die folgende Dirichlet-Reihe definiert, die für jede komplexe Zahl mit Realteil> 0 konvergiert:

{ displaystyle eta (s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {(- 1) ^ {n-1} über n ^ {s}} = { frac {1} {1 ^ {s}}} – { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} – { frac {1} {4 ^ {s}} } + cdots}

Diese Dirichlet-Reihe ist die alternierende Summe, die der Dirichlet-Reihenerweiterung der Riemannschen Zeta-Funktion entspricht. ζ(s) – und aus diesem Grund wird die Dirichlet eta-Funktion auch als alternierende Zetafunktion, auch bezeichnet ζ* (s). Die folgende Beziehung gilt:

{ displaystyle eta (s) = left (1-2 ^ {1-s} right) zeta (s)}

Sowohl die Dirichlet-eta-Funktion als auch die Riemann-Zeta-Funktion sind Spezialfälle des Polylogarithmus.

Während die Erweiterung der Dirichlet-Reihe für die eta-Funktion nur für eine komplexe Zahl konvergent ist s mit Realteil> 0 ist Abel für jede komplexe Zahl summierbar. Dies dient dazu, die eta-Funktion als eine ganze Funktion zu definieren (und die obige Beziehung zeigt dann, dass die Zeta-Funktion mit einem einfachen Pol bei meromorph ist s = 1 und vielleicht Pole an den anderen Nullen des Faktors

{ displaystyle 1-2 ^ {1-s}}

$1-2 ^ {1-s}$ ).

Gleichermaßen können wir mit der Definition beginnen

{ displaystyle eta (s) = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ { x} +1}} {dx}}

welches auch im Bereich des positiven Realteils definiert ist (

{ displaystyle Gamma (s)}

$Gamma (s)$ repräsentiert die Gamma-Funktion). Dies gibt der eta-Funktion als Mellin-Transformation.

Hardy gab einen einfachen Beweis für die Funktionsgleichung für die eta-Funktion

{ displaystyle eta (-s) = 2 { frac {1-2 ^ {- s-1}} {1-2 ^ {- s}}} pi ^ {- s-1} s sin links ({ pi s over 2} rechts) Gamma (s) eta (s + 1).}

Daraus ergibt sich unmittelbar auch die Funktionsgleichung der Zeta-Funktion sowie ein weiteres Mittel, um die Definition von eta auf die gesamte komplexe Ebene auszudehnen.

Die Nullen der eta-Funktion umfassen alle Nullen der Zeta-Funktion: die negativen geraden ganzen Zahlen (reelle äquidistante einfache Nullen); die Nullen entlang der kritischen Linie, von denen keine als mehrfach bekannt ist und von denen sich über 40% als einfach erwiesen haben, und die hypothetischen Nullen im kritischen Streifen, jedoch nicht auf der kritischen Linie, die auftreten müssen, wenn sie existieren an den Eckpunkten von Rechtecken symmetrisch um die x-Achse und die kritische Linie und deren Vielzahl unbekannt ist.^{[citation needed]} Darüber hinaus ist der Faktor

{ displaystyle 1-2 ^ {1-s}}

$1-2 ^ {1-s}$ fügt eine unendliche Anzahl komplexer einfacher Nullen hinzu, die sich an äquidistanten Punkten auf der Linie befinden

{ displaystyle Re (s) = 1}

$Re (s) = 1$ , beim

{ displaystyle s_ {n} = 1 + 2n pi i / ln (2)}

${ displaystyle s_ {n} = 1 + 2n pi i / ln (2)}$ wo n ist eine beliebige Ganzzahl ungleich Null.

Nach der Riemann-Hypothese würden die Nullen der eta-Funktion auf zwei parallelen Linien symmetrisch zur realen Achse liegen

{ displaystyle Re (s) = 1/2, Re (s) = 1}

$Re (s) = 1/2, Re (s) = 1$ und auf der senkrechten halben Linie, die durch die negative reelle Achse gebildet wird.

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Landaus Problem mit ζ((s) = η((s) / 0 und Lösungen[edit]

In der Gleichung η((s) = (1–2^1−s) ζ (s), “der Pol von ζ (s) bei s = 1 wird durch die Null des anderen Faktors aufgehoben” (Titchmarsh, 1986, S. 17) und als Ergebnis η(1) ist weder unendlich noch null (siehe § Besondere Werte). In der Gleichung jedoch

{ displaystyle zeta (s) = { frac { eta (s)} {1-2 ^ {1-s}}},}

η muss an allen Punkten Null sein

{ displaystyle s_ {n} = 1 + n { frac {2 pi} { ln {2}}} i, n neq 0, n in mathbb {Z}}

${ displaystyle s_ {n} = 1 + n { frac {2 pi} { ln {2}}} i, n neq 0, n in mathbb {Z}}$ , wo der Nenner Null ist, wenn die Riemannsche Zetafunktion dort analytisch und endlich ist. Das Problem, dies zu beweisen, ohne zuerst die Zeta-Funktion zu definieren, wurde von E. Landau in seiner Abhandlung über die Zahlentheorie von 1909 signalisiert und offen gelassen: “Ob sich die eta-Reihe an den Punkten von Null unterscheidet oder nicht

{ displaystyle s_ {n} neq 1}

$s_n ne1$ dh ob dies Pole aus Zeta sind oder nicht, ist hier nicht ohne weiteres ersichtlich.”

Eine erste Lösung für Landaus Problem wurde fast 40 Jahre später von DV Widder in seinem Buch The Laplace Transform veröffentlicht. Es verwendet die nächste Primzahl 3 anstelle von 2, um eine Dirichlet-Reihe zu definieren, die der eta-Funktion ähnlich ist, die wir als bezeichnen werden

{ displaystyle lambda}

$lambda$ Funktion, definiert für

{ displaystyle Re (s)> 0}

$Re (s)> 0″/> und mit einigen Nullen auch an <span class=$

{ displaystyle Re (s) = 1}

$Re (s) = 1$ , aber nicht gleich denen von eta.

Indirekter Beweis von η((s_n) = 0 nach Widder

Eine elementare direkte und

{ displaystyle zeta ,}

$zeta ,$ -unabhängiger Beweis für das Verschwinden der eta-Funktion bei

{ displaystyle s_ {n} neq 1}

$s_n ne1$ wurde 2003 von J. Sondow veröffentlicht. Es drückt den Wert der eta-Funktion als Grenze spezieller Riemann-Summen aus, die einem als Null bekannten Integral zugeordnet sind, wobei eine Beziehung zwischen den Teilsummen der Dirichlet-Reihe verwendet wird, die die eta- und Zeta-Funktionen definieren zum

{ displaystyle Re (s)> 1}

$Re (s)> 1″/>. <div class=$

Direkter Nachweis von η((s_n) = 0 von Sondow

Mit einer einfachen Algebra, die mit endlichen Summen durchgeführt wird, können wir für jeden Komplex schreiben s

{ displaystyle eta _ {2n} (s) = sum _ {k = 1} ^ {2n} { frac {(-1) ^ {k-1}} {k ^ {s}}} = 1 – { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} – { frac {1} {4 ^ {s}}} + ldots + { frac {(-1) ^ {2n-1}} {{(2n)} ^ {s}}} = 1 + { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} + { frac {1} {4 ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{(2n)} ^ {s}}} – 2 left ( { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {4 ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{(2n)} ^ {s}} }Recht)}

{ displaystyle = left (1 – { frac {2} {2 ^ {s}}} right) zeta _ {2n} (s) + { frac {2} {2 ^ {s}}} left ({ frac {1} {{(n + 1)} ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{(2n)} ^ {s}}} right) = links (1 – { frac {2} {2 ^ {s}}} rechts) zeta _ {2n} (s) + { frac {2n} {{(2n)} ^ {s}} , { frac {1} {n}} , left ({ frac {1} {{(1 + 1 / n)} ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{ (1 + n / n)} ^ {s}}} right).}

Nun wenn

{ displaystyle s = 1 + it}

$s = 1 + es$ und

{ displaystyle 2 ^ {s} = 2}

$2 ^ s = 2$ , der Faktor multipliziert

{ displaystyle zeta _ {2n} (s) ,}

$zeta_ {2n} (s) ,$ ist Null und

{ displaystyle eta _ {2n} (s) = { frac {1} {n ^ {it}}} R_ {n} left ({ frac {1} {{(1 + x)} ^ { s}}}, 0,1 rechts),}

wo Rn (f((x),ein,b) bezeichnet eine spezielle Riemannsche Summe, die sich dem Integral von annähert f((x) Über [a,b]. Zum t = 0 dh s = 1 bekommen wir

{ displaystyle eta (1) = lim _ {n to infty} eta _ {2n} (1) = lim _ {n to infty} R_ {n} left ({ frac { 1} {1 + x}}, 0,1 rechts) = int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x}} = log 2 neq 0.}

Ansonsten wenn

{ displaystyle t neq 0}

$t ne0$ , dann

{ displaystyle | n ^ {1-s} | = | n ^ {- it} | = 1}

$| n ^ {1-s} | = | n ^ {- it} | = 1$ , was ergibt

{ displaystyle | eta (s) | = lim _ {n to infty} | eta _ {2n} (s) | = lim _ {n to infty} left | R_ {n} left ({ frac {1} {{(1 + x)} ^ {s}}}, 0,1 right) right | = left | int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {{(1 + x)} ^ {s}}} right | = left | { frac {2 ^ {1-s} -1} {1-s}} right | = left | { frac {1-1} {- it}} right | = 0.}

Vorausgesetzt

{ displaystyle eta (s_ {n}) = 0}

$eta (s_n) = 0$ für jeden Punkt

{ displaystyle s_ {n} neq 1}

$s_n ne1$ wo

{ displaystyle 2 ^ {s_ {n}} = 2}

$2 ^ {s_n} = 2$ können wir jetzt definieren

{ displaystyle zeta (s_ {n}) ,}

$zeta (s_n) ,$ durch Kontinuität wie folgt:

{ displaystyle zeta (s_ {n}) = lim _ {s bis s_ {n}} { frac { eta (s)} {1 – { frac {2} {2 ^ {s}} }}} = lim _ {s bis s_ {n}} { frac { eta (s) – eta (s_ {n})} {{ frac {2} {2 ^ {s_ {n} }}} – { frac {2} {2 ^ {s}}}} = lim _ {s bis s_ {n}} { frac { eta (s) – eta (s_ {n} )} {s-s_ {n}}} , { frac {s-s_ {n}} {{ frac {2} {2 ^ {s_ {n}}}} – { frac {2} { 2 ^ {s}}}}} = { frac { eta ‘(s_ {n})} { log (2)}}.}

Die scheinbare Singularität von Zeta bei

{ displaystyle s_ {n} neq 1}

$s_n ne1$ wird jetzt entfernt und die Zeta-Funktion ist nachweislich überall in analytisch

{ displaystyle Re {s}> 0}

$Re {s}> 0″/>, außer bei <span class=$

{ displaystyle s = 1}

$s = 1$ wo

{ displaystyle lim _ {s bis 1} (s-1) zeta (s) = lim _ {s bis 1} { frac { eta (s)} { frac {1-2 ^ {1-s}} {s-1}}} = { frac { eta (1)} { log 2}} = 1.}

Integrale Darstellungen[edit]

Eine Anzahl von Integralformeln, die die eta-Funktion betreffen, kann aufgelistet werden. Die erste folgt aus einer Änderung der Variablen der Integraldarstellung der Gammafunktion (Abel, 1823), die eine Mellin-Transformation ergibt, die auf verschiedene Arten als Doppelintegral ausgedrückt werden kann (Sondow, 2005). Dies gilt für

{ displaystyle Re s> 0.}

$Re s> 0.”/> <dl> <dd><span class=$

{ displaystyle { begin {align} Gamma (s) eta (s) & = int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} +1}} , dx = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ {x} { frac {x ^ {s-2}} {e ^ {x} +1} } , dy , dx \[8pt]& = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} { frac {(t + r) ^ {s-2}} {e ^ {t + r} +1 }} {dr} , dt = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {(- log (xy)) ^ {s-2}} {1 + xy}} , dx , dy. end {align}}}

$begin {align} Gamma (s) eta (s) & = int_0 ^ infty frac {x ^ {s-1}} {e ^ x + 1} , dx = int_0 ^ infty int_0 ^ x frac {x ^ {s-2}} {e ^ x + 1} , dy , dx \[8pt] & = int_0 ^ infty int_0 ^ infty frac {(t + r) ^ {s-2}} {e ^ {t + r} +1} {dr} , dt = int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 frac {(- log (xy)) ^ {s-2}} {1 + xy} , dx , dy. end {align}$

Die Cauchy-Schlömilch-Transformation (Amdeberhan, Moll et al., 2010) kann verwendet werden, um diese andere Darstellung zu beweisen, die für gültig ist

{ displaystyle Re s> -1}

$Re s> -1″/>. Die Integration von Teilen des ersten Integrals oben in diesem Abschnitt ergibt eine weitere Ableitung. <dl> <dd><span class=$

{displaystyle 2^{1-s},Gamma (s+1),eta (s)=2int _{0}^{infty }{frac {x^{2s+1}}{cosh ^{2}(x^{2})}},dx=int _{0}^{infty }{frac {t^{s}}{cosh ^{2}

Die nächste Formel nach Lindelöf (1905) gilt für die gesamte komplexe Ebene, wenn der Hauptwert für den im Exponential implizierten Logarithmus verwendet wird.

{ displaystyle eta (s) = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {(1/2 + it) ^ {- s}} {e ^ { pi t} + e ^ {- pi t}}} , dt.}

Dies entspricht einer Jensen (1895) -Formel für die gesamte Funktion

{ displaystyle (s-1) , zeta (s)}

$(s-1) , zeta (s)$ , gültig über die gesamte komplexe Ebene und auch von Lindelöf bewiesen.

{ displaystyle (s-1) zeta (s) = 2 pi , int _ {- infty} ^ { infty} { frac {(1/2 + it) ^ {1-s}} {(e ^ { pi t} + e ^ {- pi t}) ^ {2}}} , dt.}

“Diese durch ihre Einfachheit bemerkenswerte Formel kann mit Hilfe von Cauchys Theorem, das für die Summierung von Reihen so wichtig ist, leicht bewiesen werden” schrieb Jensen (1895). In ähnlicher Weise kann man durch Konvertieren der Integrationspfade in Konturintegrale andere Formeln für die eta-Funktion erhalten, wie diese Verallgemeinerung (Milgram, 2013), die für gilt

{ displaystyle 0

$0 <c< 1$ und alles

{ displaystyle s}

$s$ ::

{ displaystyle eta (s) = { frac {1} {2}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {(c + it) ^ {- s}} { sin {( pi (c + it))}}} , dt.}

Die Nullen auf der negativen reellen Achse werden durch Bilden sauber herausgerechnet

{ displaystyle c bis 0 ^ {+}}

$c bis 0 ^ +$ (Milgram, 2013), um eine Formel zu erhalten, die gültig ist für

{ displaystyle Re s <0}

$Re s < 0$ ::

{ displaystyle eta (s) = – sin left ({ frac {s pi} {2}} right) int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {- s }} { sinh {( pi t)}}} , dt.}

Numerische Algorithmen[edit]

Die meisten der für alternierende Reihen entwickelten Serienbeschleunigungstechniken können gewinnbringend auf die Bewertung der eta-Funktion angewendet werden. Eine besonders einfache und dennoch vernünftige Methode besteht darin, die Euler-Transformation alternierender Reihen anzuwenden, um zu erhalten

{ displaystyle eta (s) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n wähle k} { frac {1} {(k + 1) ^ {s}}}.}

Beachten Sie, dass die zweite innere Summation eine Vorwärtsdifferenz ist.

Borweins Methode[edit]

Peter Borwein verwendete Näherungen mit Chebyshev-Polynomen, um eine Methode zur effizienten Bewertung der eta-Funktion zu erstellen.^[2] Wenn

{ displaystyle d_ {k} = n sum _ { ell = 0} ^ {k} { frac {(n + ell -1)! 4 ^ { ell}} {(n- ell)! ( 2 ell)!}}}

dann

{ displaystyle eta (s) = – { frac {1} {d_ {n}}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {(-1) ^ {k} ( d_ {k} -d_ {n})} {(k + 1) ^ {s}}} + gamma _ {n} (s),}

wo für

{ displaystyle Re (s) geq { frac {1} {2}}}

$Re (s) ge frac {1} {2}$ der Fehlerterm γ_n ist begrenzt durch

{ displaystyle | gamma _ {n} (s) | leq { frac {3} {(3 + { sqrt {8}}) ​​^ {n}}} (1 + 2 | Im (s) |) exp ({ frac { pi} {2}} | Im (s) |).}

Der Faktor von

{ displaystyle 3 + { sqrt {8}} ca. 5.8}

$3+ sqrt {8} ca. 5.8$ in der Fehlergrenze zeigt an, dass die Borwein-Reihe ziemlich schnell konvergiert als n erhöht sich.

Besondere Werte[edit]

Ebenfalls:

{ displaystyle ! eta (1) = ln 2}

{ displaystyle eta (2) = { pi ^ {2} over 12}}

{ displaystyle eta (4) = {{7 pi ^ {4}} over 720} ca. 0,94703283}

{ displaystyle eta (6) = {{31 pi ^ {6}} over 30240} ca. 0,98555109}

{ displaystyle eta (8) = {{127 pi ^ {8}} über 1209600} ca. 0,99623300}

{ displaystyle eta (10) = {{73 pi ^ {10}} over 6842880} ca. 0,99903951}

{ displaystyle eta (12) = {{1414477 pi ^ {12}} over {1307674368000}} ca. 0,99975769}

Die allgemeine Form für sogar positive ganze Zahlen lautet:

{ displaystyle eta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} {{B_ {2n} pi ^ {2n} (2 ^ {2n-1} -1)} over {(2n)! }}.}

$eta (2n) = (-1) ^ {n + 1} {{B_ {2n} pi ^ {2n} (2 ^ {2n-1} - 1)} over {(2n)!}}.$

Das Limit nehmen

{ displaystyle n rightarrow infty}

$n rightarrow infty$ , Man erhält

{ displaystyle eta ( infty) = 1}

${ displaystyle eta ( infty) = 1}$ .

Derivate[edit]

Die Ableitung in Bezug auf den Parameter $s$ ist für

{ displaystyle s neq 1}

$s neq 1$

{ displaystyle eta ‘(s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} ln n} {n ^ {s}}} = 2 ^ {1-s} ln (2) , zeta (s) + (1-2 ^ {1-s}) , zeta ‘(s)}

{ displaystyle eta ‘(1) = ln (2) , gamma – ln (2) ^ {2} , 2 ^ {- 1}}

Verweise[edit]

Jensen, JLWV (1895). “Remarques Verwandte aux réponses de MM. Franel et Kluyver”. L’Intermédiaire des Mathématiciens. II: 346].
Lindelöf, Ernst (1905). Le calcul des résidus et ses Anwendungen à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. p. 103.
Widder, David Vernon (1946). Die Laplace-Transformation. Princeton University Press. p. 230.
Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Zweite Ausgabe von Chelsea, New York, 1953, S. 160, 933)
Titchmarsh, EC (1986). Die Theorie der Riemannschen Zeta-Funktion, Zweite überarbeitete Ausgabe (Heath-Brown). Oxford University Press.
Conrey, JB (1989). “Mehr als zwei Fünftel der Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion liegen auf der kritischen Linie”. Zeitschrift für die Reine und Angewandte Mathematik. 399: 1–26. doi:10.1515 / crll.1989.399.1.
Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theorie und Anwendung unendlicher Reihen. Dover. ISBN 0-486-66165-2.
Borwein, P., Ein effizienter Algorithmus für die Riemannsche Zeta-Funktion, Konstruktive experimentelle und nichtlineare Analyse, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
Sondow, Jonathan (2002). “Doppelintegrale für Eulers Konstante und ln 4 / π und ein Analogon der Hadjicostas-Formel”. arXiv:math.CO/0211148. Amer. Mathematik. Monthly 112 (2005) 61–65, Formel 18.
Sondow, Jonathan. “Nullen der alternierenden Zeta-Funktion auf der Linie R (s) = 1”. arXiv:math / 0209393. Amer. Mathematik. Monthly, 110 (2003) 435–437.
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). “Numerische Auswertung der Riemannschen Zeta-Funktion” (PDF).
Amdeberhan, T.; Glasser, ML; Jones, M. C; Moll, VH; Posey, R.; Varela, D. (2010). “Die Cauchy-Schlomilch-Transformation”. arXiv:1004,2445. p. 12.
Milgram, Michael S. (2012). “Integrale und serielle Darstellungen der Riemannschen Zeta-Funktion, der Dirichlet-Eta-Funktion und eines Medleys verwandter Ergebnisse”. Zeitschrift für Mathematik. 2013: 1–17. arXiv:1208,3429. doi:10.1155 / 2013/181724..

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