[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/kompositionsalgebra-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/kompositionsalgebra-wikipedia\/","headline":"Kompositionsalgebra – Wikipedia","name":"Kompositionsalgebra – Wikipedia","description":"before-content-x4 In der Mathematik a Kompositionsalgebra EIN \u00fcber ein Feld K. ist eine nicht unbedingt assoziative Algebra vorbei K. zusammen","datePublished":"2020-12-25","dateModified":"2020-12-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/604c00e2390947f86e0acca312e7fc85f4af2293","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/604c00e2390947f86e0acca312e7fc85f4af2293","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/kompositionsalgebra-wikipedia\/","wordCount":3535,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4In der Mathematik a Kompositionsalgebra EIN \u00fcber ein Feld K. ist eine nicht unbedingt assoziative Algebra vorbei K. zusammen mit einer nicht entarteten quadratischen Form  N. das befriedigtN.((xy)=N.((x)N.((y){ Anzeigestil N (xy) = N (x) N (y)}  f\u00fcr alle x und y im EIN.Eine Kompositionsalgebra enth\u00e4lt eine Involution namens a Konjugation::   x\u21a6x\u2217.{ displaystyle x  mapsto x ^ {*}.}  Die quadratische Form N.((x) = xx\u2217{ displaystyle N (x)  =  xx ^ {*}}  hei\u00dft das Norm der Algebra.Eine Kompositionsalgebra (EIN, \u2217, N.) ist entweder eine Divisionsalgebra oder eine geteilte Algebra, abh\u00e4ngig von der Existenz einer Nicht-Null v im EIN so dass N.((v) = 0, als Nullvektor bezeichnet.[1]  Wann x ist nicht ein Nullvektor, die multiplikative Inverse von x ist x\u2217N.((x) .{ displaystyle { frac {x ^ {*}} {N (x)}} .}  Wenn es einen Nullvektor ungleich Null gibt, N. ist eine isotrope quadratische Form und “die Algebra spaltet sich”.  Table of ContentsStruktursatz[edit]Instanzen und Verwendung[edit]Geschichte[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]Struktursatz[edit]Jede unitale Kompositionsalgebra \u00fcber einem Feld K. kann durch wiederholte Anwendung der Cayley-Dickson-Konstruktion ab erhalten werden K. (wenn das Merkmal von K. unterscheidet sich von 2) oder eine zweidimensionale Kompositionssubalgebra (wenn verkohlen(K.) = 2).  Die m\u00f6glichen Dimensionen einer Kompositionsalgebra sind 1, 2, 4, und 8.[2][3][4]Eindimensionale Kompositionsalgebren existieren nur, wenn verkohlen(K.) \u2260 2.Kompositionsalgebren der Dimensionen 1 und 2 sind kommutativ und assoziativ.Zusammensetzungsalgebren der Dimension 2 sind entweder quadratische Felderweiterungen von K. oder isomorph zu K. \u2295 K..Zusammensetzungsalgebren der Dimension 4 werden Quaternionsalgebren genannt.  Sie sind assoziativ, aber nicht kommutativ.Zusammensetzungsalgebren der Dimension 8 werden Oktonionalgebren genannt.  Sie sind weder assoziativ noch kommutativ.F\u00fcr eine konsistente Terminologie wurden Algebren der Dimension 1 aufgerufen Unarionund diejenigen der Dimension 2 Binarion.[5]Instanzen und Verwendung[edit]Wenn das Feld K. wird als komplexe Zahl angesehen C.  und die quadratische Form z2, dann vier Kompositionsalgebren vorbei C.  sind C. selbst, die bikomplexen Zahlen, die Biquaternionen (isomorph zu den 2\u00d72  komplexer Matrixring M (2, C.)) und die Bioktonionen C. \u2297 \u00d6, die auch komplexe Oktonionen genannt werden.Matrixring M (2, C.) ist seit langem ein interessantes Objekt, zuerst als Biquaternionen von Hamilton (1853), sp\u00e4ter in der isomorphen Matrixform und insbesondere als Pauli-Algebra.Die Quadrierungsfunktion N.((x) = x2  auf dem reellen Zahlenfeld bildet sich die urspr\u00fcngliche Kompositionsalgebra.  Wenn das Feld K. wird als reelle Zahl angesehen R.Dann gibt es nur noch sechs andere echte Kompositionsalgebren.[3]::166 In zwei, vier und acht Dimensionen gibt es sowohl eine Teilungsalgebra als auch eine “geteilte Algebra”:Binarionen: komplexe Zahlen mit quadratischer Form x2 + y2  und geteilte komplexe Zahlen mit quadratischer Form x2 – – y2,Quaternionen und Split-Quaternionen,Oktonionen und Split-Oktonionen.Jeder Kompositionsalgebra ist eine bilineare Form B zugeordnet (x, y) konstruiert mit der Norm N und einer Polarisationsidentit\u00e4t:B.((x,y) = [N(x+y)\u2212N(x)\u2212N(y)]\/.2.{ Anzeigestil B (x, y)  =  [N(x+y)-N(x)-N(y)]\/ 2.}[6]Geschichte[edit]Die Zusammensetzung der Quadratsummen wurde von mehreren fr\u00fchen Autoren notiert.  Diophantus war sich der Identit\u00e4t bewusst, die aus der Summe zweier Quadrate besteht, die jetzt als Brahmagupta-Fibonacci-Identit\u00e4t bezeichnet wird und bei Multiplikation auch als Eigenschaft euklidischer Normen komplexer Zahlen artikuliert wird.  Leonhard Euler diskutierte 1748 die vierquadratische Identit\u00e4t und veranlasste WR Hamilton, seine vierdimensionale Algebra der Quaternionen zu konstruieren.[5]::62  1848 wurden Tessarinen beschrieben, die bikomplexen Zahlen das erste Licht gaben.Um 1818 zeigte der d\u00e4nische Gelehrte Ferdinand Degen die achtkantige Identit\u00e4t des Degen, die sp\u00e4ter mit Normen von Elementen der Oktonionalgebra verbunden wurde:Historisch gesehen entstand die erste nicht-assoziative Algebra, die Cayley-Zahlen … im Zusammenhang mit dem zahlentheoretischen Problem quadratischer Formen, die Komposition zulassen … diese zahlentheoretische Frage kann in eine Frage bez\u00fcglich bestimmter algebraischer Systeme, der Kompositionsalgebren, umgewandelt werden. ..[5]::611919 brachte Leonard Dickson die Untersuchung des Hurwitz-Problems mit einer \u00dcbersicht \u00fcber die bisherigen Bem\u00fchungen voran und zeigte die Methode zur Verdoppelung der Quaternionen, um Cayley-Zahlen zu erhalten.  Er stellte eine neue imagin\u00e4re Einheit vor eund f\u00fcr Quaternionen q  und Q.  schreibt eine Cayley-Nummer q + Q.e.  Bezeichnet das Quaternionskonjugat mit q‘ist das Produkt zweier Cayley-Zahlen[7]((q+Q.e)((r+R.e)=((qr– –R.‘Q.)+((R.q+Q.r‘)e.{ Anzeigestil (q + Qe) (r + Re) = (qr-R’Q) + (Rq + Qr ‘) e.}Das Konjugat einer Cayley-Zahl ist q ‘ – – Q.eund die quadratische Form ist qq‘+ QQ‘erhalten durch Multiplizieren der Zahl mit ihrem Konjugat.  Die Verdopplungsmethode wird als Cayley-Dickson-Konstruktion bezeichnet.1923 wurde der Fall realer Algebren mit positiven bestimmten Formen durch den Hurwitzschen Satz (Kompositionsalgebren) abgegrenzt.1931 f\u00fchrte Max Zorn ein Gamma (\u03b3) in die Multiplikationsregel der Dickson-Konstruktion ein, um Split-Oktonionen zu erzeugen.[8]Adrian Albert verwendete das Gamma auch 1942, als er zeigte, dass die Dickson-Verdopplung auf jedes Feld mit der Quadrierungsfunktion angewendet werden kann, um Binarion-, Quaternion- und Oktonion-Algebren mit ihren quadratischen Formen zu konstruieren.[9]Nathan Jacobson beschrieb 1958 die Automorphismen von Kompositionsalgebren.[2]Die klassischen Kompositionsalgebren sind vorbei R.  und C.  sind unitale Algebren.  Kompositionsalgebren ohne Eine multiplikative Identit\u00e4t wurde von HP Petersson (Petersson-Algebren) und Susumu Okubo (Okubo-Algebren) und anderen gefunden.[10]::463\u201381Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Springer, TA;  FD Veldkamp (2000). Oktonionen, Jordanische Algebren und au\u00dfergew\u00f6hnliche Gruppen.  Springer-Verlag.  p.  18. ISBN 3-540-66337-1.^ ein b Jacobson, Nathan (1958).  “Kompositionsalgebren und ihre Automorphismen”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 7: 55\u201380.  doi:10.1007 \/ bf02854388.  Zbl 0083.02702.^ ein b Guy Roos (2008) “Au\u00dfergew\u00f6hnliche symmetrische Dom\u00e4nen”, \u00a71: Cayley-Algebren, in Symmetrien in der komplexen Analyse von Bruce Gilligan & Guy Roos, Band 468 von Zeitgen\u00f6ssische Mathematik, Amerikanische Mathematische Gesellschaft, ISBN 978-0-8218-4459-5^ Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Eine Einf\u00fchrung in nichtassoziative Algebren.  Dover-Ver\u00f6ffentlichungen.  pp. 72\u201375.  ISBN 0-486-68813-5.  Zbl 0145.25601.^ ein b c Kevin McCrimmon (2004) Ein Vorgeschmack auf Jordanische Algebren, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924^ Arthur A. Sagle und Ralph E. Walde (1973) Einf\u00fchrung in L\u00fcgengruppen und L\u00fcgenalgebren, Seiten 194\u2013200, Academic Press^ Dickson, LE (1919), “\u00dcber Quaternionen und ihre Verallgemeinerung und die Geschichte des Acht-Quadrat-Theorems”, Annalen der Mathematik, Zweite Reihe, Annals of Mathematics,20 (3): 155\u2013171, doi:10.2307 \/ 1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865^ Max Zorn (1931) “Alternative K\u00f6rper und quadratische Systeme”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit\u00e4t Hamburg 9 (3\/4): 395\u2013402^ Albert, Adrian (1942).  “Quadratische Formen, die Komposition erlauben”. Annalen der Mathematik.43: 161\u2013177.  doi:10.2307 \/ 1968887.  Zbl 0060.04003.^ Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol (1998) “Komposition und Pr\u00fcfung”, Kapitel 8 in Das Buch der Involutions, S. 451\u2013511, Colloquium Publications v 44, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0904-0Weiterf\u00fchrende Literatur[edit]     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/kompositionsalgebra-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Kompositionsalgebra – Wikipedia"}}]}]