[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/satz-zur-vorbereitung-der-weierstrase-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/satz-zur-vorbereitung-der-weierstrase-wikipedia\/","headline":"Satz zur Vorbereitung der Weierstra\u00dfe – Wikipedia","name":"Satz zur Vorbereitung der Weierstra\u00dfe – Wikipedia","description":"before-content-x4 Satz analytischer Funktionen mehrerer komplexer Variablen In der Mathematik ist die Weierstrass-Vorbereitungssatz ist ein Werkzeug f\u00fcr den Umgang mit","datePublished":"2020-12-25","dateModified":"2020-12-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9b377249ce40b761f2618e30d5d1845d67ffdfe0","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9b377249ce40b761f2618e30d5d1845d67ffdfe0","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/satz-zur-vorbereitung-der-weierstrase-wikipedia\/","wordCount":4363,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Satz analytischer Funktionen mehrerer komplexer Variablen  In der Mathematik ist die Weierstrass-Vorbereitungssatz ist ein Werkzeug f\u00fcr den Umgang mit analytischen Funktionen mehrerer komplexer Variablen an einem bestimmten Punkt P..  Es besagt, dass eine solche Funktion bis zur Multiplikation mit einer Funktion ungleich Null ist P., ein Polynom in einer festen Variablen z, das monisch ist und dessen Koeffizienten von Termen niedrigeren Grades analytische Funktionen in den verbleibenden Variablen und Null bei sind P..Es gibt auch eine Reihe von Varianten des Satzes, die die Idee der Faktorisierung in einem Ring erweitern R. wie u\u00b7 \u00b7w, wo u ist eine Einheit und w ist eine Art ausgezeichnet Weierstrass-Polynom.  Carl Siegel hat die Zuschreibung des Satzes an Weierstrass bestritten und behauptet, dass er im sp\u00e4ten neunzehnten Jahrhundert unter dem heutigen Namen vorkam Trait\u00e9s d’analyse ohne Begr\u00fcndung.Table of Contents  Komplexe analytische Funktionen[edit]Teilungssatz[edit]Anwendungen[edit]Reibungslose Funktionen[edit]Formale Potenzreihen in vollst\u00e4ndigen lokalen Ringen[edit]Tate-Algebren[edit]Verweise[edit]Komplexe analytische Funktionen[edit]F\u00fcr eine Variable die lokale Form einer Analysefunktion f((z) nahe 0 ist zkh((z) wo h(0) ist nicht 0 und k ist die Reihenfolge der Null von f Dies ist das Ergebnis, das der Pr\u00e4parationssatz verallgemeinert.  Wir w\u00e4hlen eine Variable aus z, was wir als erstes annehmen k\u00f6nnen, und schreiben unsere komplexen Variablen als (z, z2, …, zn).  Ein Weierstrass-Polynom W.((z) istzk  + Gk\u22121zk\u22121 + … + G0wo Gich((z2, …, zn) ist analytisch und Gich(0, …, 0) = 0.Dann besagt der Satz, dass f\u00fcr analytische Funktionen f, wennf(0, …, 0) = 0,und  f((z, z2, …, zn)als Potenzreihe hat ein Begriff nur mit zk\u00f6nnen wir schreiben (lokal in der N\u00e4he von (0, …, 0))f((z, z2, …, zn) = W.((z)h((z, z2, …, zn)mit h analytische und h(0, …, 0) nicht 0 und W. ein Weierstrass-Polynom.Dies hat die unmittelbare Folge, dass die Menge der Nullen von f, nahe (0, …, 0), kann durch Festlegen kleiner Werte von gefunden werden z2, …, zn  und dann die Gleichung l\u00f6sen W (z) = 0.  Die entsprechenden Werte von z bilden eine Reihe von sich st\u00e4ndig \u00e4ndernden Ge\u00e4st, in Anzahl gleich dem Grad von W. im z.  Speziell f kann keine isolierte Null haben.Teilungssatz[edit]Ein verwandtes Ergebnis ist das Satz der Weierstrass-Division, die besagt, dass wenn f und G sind analytische Funktionen und G ist ein Weierstrass-Polynom vom Grad N., dann existiert ein eindeutiges Paar h und j so dass f = gh + j, wo j ist ein Polynom mit einem Grad kleiner als N..  Tats\u00e4chlich beweisen viele Autoren die Weierstrass-Pr\u00e4paration als eine Folge des Divisionssatzes.  Es ist auch m\u00f6glich, den Teilungssatz aus dem Vorbereitungssatz zu beweisen, so dass die beiden S\u00e4tze tats\u00e4chlich \u00e4quivalent sind.[1]Anwendungen[edit]Der Weierstrass-Pr\u00e4parationssatz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass der Keimring analytischer Funktionen in n Variablen ist ein Noether-Ring, der auch als bezeichnet wird R\u00fcckert-Basissatz.[2]Reibungslose Funktionen[edit]Aufgrund von Bernard Malgrange gibt es einen tieferen Pr\u00e4parationssatz f\u00fcr glatte Funktionen, den Malgrange-Pr\u00e4parationssatz.  Es gibt auch einen zugeh\u00f6rigen Teilungssatz, der nach John Mather benannt ist.Formale Potenzreihen in vollst\u00e4ndigen lokalen Ringen[edit]Es gibt ein analoges Ergebnis, das auch als Weierstrass-Pr\u00e4parationssatz bezeichnet wird, f\u00fcr den Ring formaler Potenzreihen \u00fcber vollst\u00e4ndigen lokalen Ringen EIN::[3]  f\u00fcr jede Potenzreihe f=\u2211n=0\u221eeinntn\u2208EIN[[t]]]{ displaystyle f =  sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} t ^ {n}  in A.[[t]]}  so dass nicht alle einn{ displaystyle a_ {n}}  sind im maximalen Ideal m{ displaystyle { mathfrak {m}}}  von EINgibt es eine einzigartige Einheit u im EIN[[t]]]{ displaystyle A.[[t]]}  und ein Polynom F. der Form F.=ts+bs– –1ts– –1+\u22ef+b0{ displaystyle F = t ^ {s} + b_ {s-1} t ^ {s-1} +  dots + b_ {0}}  mit bich\u2208m{ displaystyle b_ {i}  in { mathfrak {m}}}  (ein sogenanntes unterschiedliches Polynom), so dassf=uF..{ displaystyle f = uF.}Schon seit EIN[[t]]]{ displaystyle A.[[t]]}  ist wieder ein vollst\u00e4ndiger lokaler Ring, das Ergebnis kann iteriert werden und liefert daher \u00e4hnliche Faktorisierungsergebnisse f\u00fcr formale Potenzreihen in mehreren Variablen.Dies gilt beispielsweise f\u00fcr den Ganzzahlring in einem p-adischen Feld.  In diesem Fall besagt der Satz, dass eine Potenzreihe f((z) kann immer eindeutig als \u03c0 ber\u00fccksichtigt werdenn\u00b7 \u00b7u((z) \u00b7p((z), wo u((z) ist eine Einheit im Ring der Potenzreihen, p((z) ist ein unterschiedliches Polynom (monisch, wobei die Koeffizienten der nicht f\u00fchrenden Terme jeweils im Maximalideal liegen), und \u03c0 ist ein fester Gleichf\u00f6rmiger.Eine Anwendung des Weierstrass-Pr\u00e4parations- und Divisionssatzes f\u00fcr den Ring Z.p[[t]]]{ displaystyle  mathbf {Z} _ {p}[[t]]}  (auch Iwasawa-Algebra genannt) kommt in der Iwasawa-Theorie bei der Beschreibung endlich erzeugter Module \u00fcber diesen Ring vor.[4]Tate-Algebren[edit]Es gibt auch einen Weiertrass-Pr\u00e4parationssatz f\u00fcr Tate-AlgebrenT.n((k)={\u2211\u03bd1,\u2026,\u03bdn\u22650ein\u03bd1,\u2026,\u03bdnX.1\u03bd1\u22efX.n\u03bdn,|ein\u03bd1,\u2026,\u03bdn|\u21920 zum \u03bd1+\u22ef+\u03bdn\u2192\u221e}}{ displaystyle T_ {n} (k) =  left  { sum _ { nu _ {1},  dots,  nu _ {n}  geq 0} a _ { nu _ {1},  dots ,  nu _ {n}} X_ {1} ^ { nu _ {1}}  cdots X_ {n} ^ { nu _ {n}}, | a _ { nu _ {1},  dots,  nu _ {n}} |  bis 0 { text {for}}  nu _ {1} +  dots +  nu _ {n}  bis  infty  right }}\u00fcber ein vollst\u00e4ndiges nicht-archimedisches Feld k.[5]  Diese Algebren sind die Grundbausteine \u200b\u200bder starren Geometrie.  Eine Anwendung dieser Form des Weierstrass-Pr\u00e4parationssatzes ist die Tatsache, dass die Ringe T.n((k){ displaystyle T_ {n} (k)}  sind Noetherianer.Verweise[edit]^ Grauert, Hans;  Remmert, Reinhold (1971), Analytische Stellenalgebren Springer, p.  43, doi:10.1007 \/ 978-3-642-65033-8, ISBN 978-3-642-65034-5^ Ebeling, Wolfgang (2007), Funktionen mehrerer komplexer Variablen und ihre Singularit\u00e4ten, Satz 2.19: American Mathematical SocietyCS1-Wartung: Standort (Link)^ Nicolas Bourbaki (1972), Kommutative Algebra, Kapitel VII, \u00a73, Nr.  9, Satz 6: HermannCS1-Wartung: Standort (Link)^ Lawrence Washington (1982), Einf\u00fchrung in zyklotomische FelderSatz 13.12: SpringerCS1-Wartung: Standort (Link)^ Bosch, Siegfried;  G\u00fcntzer, Ulrich;  Remmert, Reinhold (1984), Nicht-archimedische Analyse, Kapitel 5.2.1, 5.2.2: SpringerCS1-Wartung: Standort (Link)Lewis, Andrew, Hinweise zur globalen AnalyseSiegel, CL (1969), “Zu den gleichen des Entscheidungsungssatzes von Weierstrass”, Zahlentheorie und -analyse (Aufs\u00e4tze zu Ehren von Edmund Landau), New York: Plenum, S. 297\u2013306, MR 0268402, nachgedruckt in Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.;  Maass., H. (Hrsg.), Gesammelte Abhandlungen.  Band IV, Berlin-New York: Springer-Verlag, S. 1\u20138, ISBN 0-387-09374-5, HERR 0543842Solomentsev, ED (2001) [1994], “Satz von Weierstrass”, Enzyklop\u00e4die der Mathematik, EMS PressStickelberger, L. (1887), “\u00dcber einen Satz des Herrn Noether”, Mathematische Annalen, 30 (3): 401\u2013409, doi:10.1007 \/ BF01443952Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke.  II.  Abhandlungen 2, Berlin: Mayer & M\u00fcller, S. 135\u2013142  Nachdruck von Johnson, New York, 1967.     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/satz-zur-vorbereitung-der-weierstrase-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Satz zur Vorbereitung der Weierstra\u00dfe – Wikipedia"}}]}]