[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/theorie-groser-abweichungen-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/theorie-groser-abweichungen-wikipedia\/","headline":"Theorie gro\u00dfer Abweichungen – Wikipedia","name":"Theorie gro\u00dfer Abweichungen – Wikipedia","description":"before-content-x4 Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie after-content-x4 In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Theorie von gro\u00dfe Abweichungen betrifft das asymptotische Verhalten entfernter Schw\u00e4nze","datePublished":"2020-12-25","dateModified":"2020-12-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9ac165852948373306c3cb0104f66de8d8e0f41d","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9ac165852948373306c3cb0104f66de8d8e0f41d","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/theorie-groser-abweichungen-wikipedia\/","wordCount":10287,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Zweig der Wahrscheinlichkeitstheorie (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Theorie von gro\u00dfe Abweichungen betrifft das asymptotische Verhalten entfernter Schw\u00e4nze von Sequenzen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. W\u00e4hrend einige Grundgedanken der Theorie auf Laplace zur\u00fcckgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen, begann die Formalisierung mit der Versicherungsmathematik, n\u00e4mlich der Ruinentheorie mit Cram\u00e9r und Lundberg. Eine einheitliche Formalisierung der Theorie gro\u00dfer Abweichungen wurde 1966 in einem Artikel von Varadhan entwickelt.[1] Die Theorie gro\u00dfer Abweichungen formalisiert die heuristischen Ideen von Konzentration der Ma\u00dfnahmen und verallgemeinert weitgehend den Begriff der Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsma\u00dfen.Grob gesagt befasst sich die Theorie der gro\u00dfen Abweichungen mit dem exponentiellen R\u00fcckgang der Wahrscheinlichkeitsma\u00dfe bestimmter Arten von Extremen oder Schwanz Veranstaltungen.Table of Contents (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Einf\u00fchrungsbeispiele[edit]Ein elementares Beispiel[edit]Gro\u00dfe Abweichungen f\u00fcr Summen unabh\u00e4ngiger Zufallsvariablen[edit]Formale Definition[edit]Kurze Geschichte[edit]Anwendungen[edit]Gro\u00dfe Abweichungen und Entropie[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Literaturverzeichnis[edit]Externe Links[edit]Einf\u00fchrungsbeispiele[edit]Ein elementares Beispiel[edit]Betrachten Sie eine Folge von unabh\u00e4ngigen W\u00fcrfen einer fairen M\u00fcnze. Die m\u00f6glichen Ergebnisse k\u00f6nnten Kopf oder Zahl sein. Bezeichnen wir das m\u00f6gliche Ergebnis des i-ten Versuchs mit X.ich,{ displaystyle X_ {i},} wo wir Kopf als 1 und Schwanz als 0 codieren. Nun lassen wir M.N.{ displaystyle M_ {N}} bezeichnen den Mittelwert nach N.{ displaystyle N} Versuche, n\u00e4mlich (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4M.N.=1N.\u2211ich=1N.X.ich.{ displaystyle M_ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}.}Dann M.N.{ displaystyle M_ {N}} liegt zwischen 0 und 1. Aus dem Gesetz der gro\u00dfen Zahlen folgt, dass mit zunehmendem N die Verteilung von M.N.{ displaystyle M_ {N}} konvergiert zu 0,5=E.\u2061[X]{ displaystyle 0.5 = operatorname {E} [X]}} (der erwartete Wert eines einzelnen M\u00fcnzwurfs).Dar\u00fcber hinaus folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz, dass M.N.{ displaystyle M_ {N}} ist ungef\u00e4hr normal f\u00fcr gro\u00dfe verteilt N.{ displaystyle N}. Der zentrale Grenzwertsatz kann detailliertere Informationen \u00fcber das Verhalten von liefern M.N.{ displaystyle M_ {N}} als das Gesetz der gro\u00dfen Zahlen. Zum Beispiel k\u00f6nnen wir ungef\u00e4hr eine Schwanzwahrscheinlichkeit von finden M.N.{ displaystyle M_ {N}}, x)}”\/>, Das M.N.{ displaystyle M_ {N}} ist gr\u00f6\u00dfer als x{ displaystyle x}f\u00fcr einen festen Wert von N.{ displaystyle N}. Die Ann\u00e4herung durch den zentralen Grenzwertsatz ist jedoch m\u00f6glicherweise nicht genau, wenn x{ displaystyle x} ist weit entfernt von E.\u2061[Xi]{ displaystyle operatorname {E} [X_{i}]}} es sei denn N.{ displaystyle N} ist ausreichend gro\u00df. Es liefert auch keine Informationen \u00fcber die Konvergenz der Schwanzwahrscheinlichkeiten als N.\u2192\u221e{ displaystyle N to infty}. Die Theorie der gro\u00dfen Abweichung kann jedoch Antworten auf solche Probleme liefern.Lassen Sie uns diese Aussage pr\u00e4zisieren. F\u00fcr einen bestimmten Wert 0,5 x)}”\/>. Definierenich((x)=xln\u2061x+((1– –x)ln\u2061((1– –x)+ln\u20612.{ displaystyle I (x) = x ln {x} + (1-x) ln (1-x) + ln {2}.}Beachten Sie, dass die Funktion ich((x){ displaystyle I (x)} ist eine konvexe, nicht negative Funktion, die bei Null ist x=12{ displaystyle x = { tfrac {1} {2}}} und erh\u00f6ht sich als x{ displaystyle x} n\u00e4hert sich 1{ displaystyle 1}. Es ist das Negative der Bernoulli-Entropie mit p=12;;{ displaystyle p = { tfrac {1} {2}};} Dass es f\u00fcr M\u00fcnzw\u00fcrfe geeignet ist, ergibt sich aus der asymptotischen Equipartition-Eigenschaft, die auf einen Bernoulli-Versuch angewendet wurde. Dann kann durch Chernoffs Ungleichung gezeigt werden, dass P.((M.N.>x)N.ich((x)).{ displaystyle P (M_ {N}> x) < exp (-NI (x)).}[2] Diese Grenze ist in dem Sinne ziemlich scharf ich((x){ displaystyle I (x)} kann nicht durch eine gr\u00f6\u00dfere Zahl ersetzt werden, die eine strikte Ungleichung f\u00fcr alle Positiven ergeben w\u00fcrde N..{ displaystyle N.}[3] (Die Exponentialgrenze kann jedoch immer noch um einen subexponentiellen Faktor in der Gr\u00f6\u00dfenordnung von reduziert werden 1\/.N.{ displaystyle 1 \/ { sqrt {N}}};; Dies folgt aus der Stirling-N\u00e4herung, die auf den in der Bernoulli-Verteilung auftretenden Binomialkoeffizienten angewendet wird.) Daher erhalten wir das folgende Ergebnis:"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki11\/2020\/12\/25\/theorie-groser-abweichungen-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Theorie gro\u00dfer Abweichungen – Wikipedia"}}]}]