[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/12\/einheitsbruchteil-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/12\/einheitsbruchteil-wikipedia\/","headline":"Einheitsbruchteil – Wikipedia","name":"Einheitsbruchteil – Wikipedia","description":"EIN Einheitsfraktion ist eine rationale Zahl, die als Bruch geschrieben wird, wobei der Z\u00e4hler eins und der Nenner eine positive","datePublished":"2020-12-12","dateModified":"2020-12-12","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a8d474a20cfd288d90c4cf2fa1f45f82301ea116","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a8d474a20cfd288d90c4cf2fa1f45f82301ea116","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/12\/einheitsbruchteil-wikipedia\/","wordCount":3957,"articleBody":"EIN Einheitsfraktion ist eine rationale Zahl, die als Bruch geschrieben wird, wobei der Z\u00e4hler eins und der Nenner eine positive ganze Zahl ist.  Ein Einheitsbruch ist daher der Kehrwert einer positiven ganzen Zahl, 1 \/n.  Beispiele sind 1\/1, 1\/2, 1\/3, 1\/4, 1\/5 usw.  Table of ContentsElementare Arithmetik[edit]Modulararithmetik[edit]Endliche Summen von Einheitsbr\u00fcchen[edit]Reihe von Einheitsfraktionen[edit]Matrizen von Einheitsfraktionen[edit]Benachbarte Fraktionen[edit]Einheitsfraktionen in Wahrscheinlichkeit und Statistik[edit]Einheitsfraktionen in der Physik[edit]Siehe auch[edit]Verweise[edit]Externe Links[edit]Elementare Arithmetik[edit]Das Multiplizieren von zwei Einheitsfraktionen ergibt ein Produkt, das eine andere Einheitsfraktion ist:  1x\u00d71y=1xy.{ displaystyle { frac {1} {x}}  times { frac {1} {y}} = { frac {1} {xy}}.}Das Addieren, Subtrahieren oder Teilen von zwei Einheitsbr\u00fcchen f\u00fchrt jedoch zu einem Ergebnis, das im Allgemeinen kein Einheitsbruch ist:1x+1y=x+yxy{ displaystyle { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} = { frac {x + y} {xy}}}1x– –1y=y– –xxy{ displaystyle { frac {1} {x}} – { frac {1} {y}} = { frac {yx} {xy}}}  1x\u00f71y=yx.{ displaystyle { frac {1} {x}}  div { frac {1} {y}} = { frac {y} {x}}.}Modulararithmetik[edit]Einheitenbr\u00fcche spielen eine wichtige Rolle in der modularen Arithmetik, da sie verwendet werden k\u00f6nnen, um die modulare Teilung auf die Berechnung der gr\u00f6\u00dften gemeinsamen Teiler zu reduzieren.  Angenommen, wir m\u00f6chten Divisionen durch einen Wert durchf\u00fchren xModulo y.  Um die Division durch x modulo gut definiert sein y, x und y muss relativ prim sein.  Dann k\u00f6nnen wir den erweiterten euklidischen Algorithmus f\u00fcr die gr\u00f6\u00dften gemeinsamen Teiler verwenden ein und b so dasseinx+by=1,{ displaystyle  displaystyle axe + by = 1,}woraus folgt daseinx\u22611(mody),{ displaystyle  displaystyle axe  equiv 1 { pmod {y}},}oder gleichwertigein\u22611x(mody).{ displaystyle a  equiv { frac {1} {x}} { pmod {y}}.}Also durch zu teilen x (Modulo y) wir m\u00fcssen nur stattdessen mit multiplizieren ein.Endliche Summen von Einheitsbr\u00fcchen[edit]Jede positive rationale Zahl kann auf verschiedene Arten als Summe von Einheitsbr\u00fcchen geschrieben werden.  Zum Beispiel,45=12+14+120=13+15+16+110.{ displaystyle { frac {4} {5}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} {20}} = { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {10}}.}Die alten \u00e4gyptischen Zivilisationen verwendeten in ihrer Notation Summen unterschiedlicher Einheitsfraktionen f\u00fcr allgemeinere rationale Zahlen, weshalb solche Summen oft als \u00e4gyptische Br\u00fcche bezeichnet werden.  Es besteht heute noch Interesse daran, die von den Alten verwendeten Methoden zu analysieren, um unter den m\u00f6glichen Darstellungen f\u00fcr eine Bruchzahl zu w\u00e4hlen und mit solchen Darstellungen zu berechnen.[1]  Das Thema der \u00e4gyptischen Br\u00fcche hat auch Interesse an der modernen Zahlentheorie gesehen;  Beispielsweise betreffen die Erd\u0151s-Graham-Vermutung und die Erd\u0151s-Straus-Vermutung Summen von Einheitsbr\u00fcchen, ebenso wie die Definition der harmonischen Zahlen von Ore.In der geometrischen Gruppentheorie werden Dreiecksgruppen in euklidische, sph\u00e4rische und hyperbolische F\u00e4lle eingeteilt, je nachdem, ob eine zugeh\u00f6rige Summe von Einheitsbr\u00fcchen gleich eins, gr\u00f6\u00dfer als eins oder kleiner als eins ist.Reihe von Einheitsfraktionen[edit]Viele bekannte unendliche Reihen haben Begriffe, die Einheitsbr\u00fcche sind.  Diese schlie\u00dfen ein:Die harmonische Reihe, die Summe aller positiven Einheitsfraktionen.  Diese Summe divergiert und ihre Teilsummen11+12+13+\u22ef+1n{ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} +  cdots + { frac {1} {n}}}eng ann\u00e4hernd ln n + \u03b3 as n erh\u00f6ht sich.Matrizen von Einheitsfraktionen[edit]Die Hilbert-Matrix ist die Matrix mit ElementenB.ich,j=1ich+j– –1.{ displaystyle B_ {i, j} = { frac {1} {i + j-1}}.}Es hat die ungew\u00f6hnliche Eigenschaft, dass alle Elemente in seiner inversen Matrix ganze Zahlen sind.[2]  In \u00e4hnlicher Weise definierte Richardson (2001) eine Matrix mit ElementenC.ich,j=1F.ich+j– –1,{ displaystyle C_ {i, j} = { frac {1} {F_ {i + j-1}}},}wo F.ich bezeichnet die ichth Fibonacci Nummer.  Er nennt diese Matrix die Filbert-Matrix und sie hat die gleiche Eigenschaft, eine ganzzahlige Inverse zu haben.[3]Benachbarte Fraktionen[edit]Es werden zwei Fraktionen genannt benachbart wenn ihre Differenz ein Einheitsbruch ist.[4][5]Einheitsfraktionen in Wahrscheinlichkeit und Statistik[edit]Bei einer gleichm\u00e4\u00dfigen Verteilung auf einem diskreten Raum sind alle Wahrscheinlichkeiten gleiche Einheitsbr\u00fcche.  Aufgrund des Gleichg\u00fcltigkeitsprinzips treten bei statistischen Berechnungen h\u00e4ufig Wahrscheinlichkeiten dieser Form auf.[6]  Dar\u00fcber hinaus besagt das Zipf-Gesetz, dass f\u00fcr viele beobachtete Ph\u00e4nomene, bei denen Elemente aus einer geordneten Sequenz ausgew\u00e4hlt werden, die Wahrscheinlichkeit, dass die nDas ausgew\u00e4hlte Element ist proportional zum Einheitsbruchteil 1 \/n.[7]Einheitsfraktionen in der Physik[edit]Die Energieniveaus von Photonen, die von einem Wasserstoffatom absorbiert oder emittiert werden k\u00f6nnen, sind nach der Rydberg-Formel proportional zu den Differenzen zweier Einheitsfraktionen.  Eine Erkl\u00e4rung f\u00fcr dieses Ph\u00e4nomen liefert das Bohr-Modell, nach dem die Energieniveaus von Elektronenorbitalen in einem Wasserstoffatom umgekehrt proportional zu quadratischen Einheitsanteilen sind und die Energie eines Photons auf die Differenz zwischen zwei Niveaus quantisiert wird.[8]Arthur Eddington argumentierte, dass die Feinstrukturkonstante eine Einheitsfraktion sei, zuerst 1\/136, dann 1\/137.  Diese Behauptung wurde verf\u00e4lscht, da die aktuellen Sch\u00e4tzungen der Feinstrukturkonstante (auf 6 signifikante Stellen) 1 \/ 137.036 betragen.[9]Siehe auch[edit]Verweise[edit]^ Guy, Richard K. (2004), “D11. Egyptian Fractions”, Ungel\u00f6ste Probleme in der Zahlentheorie (3. Aufl.), Springer-Verlag, S. 252\u2013262, ISBN 978-0-387-20860-2.^ Choi, Man Duen (1983), “Tricks oder Leckereien mit der Hilbert-Matrix”, The American Mathematical Monthly, 90 (5): 301\u2013312, doi:10.2307 \/ 2975779, HERR 0701570.^ Richardson, Thomas M. (2001), “Die Filbert-Matrix” (PDF), Fibonacci Quarterly, 39 (3): 268\u2013275, arXiv:math.RA \/ 9905079, Bibcode:1999math …… 5079R^  Benachbarte Fraktion bei PlanetMath.^ Weisstein, Eric W. “Benachbarte Fraktion”. MathWorld.^ Welsh, Alan H. (1996), Aspekte der statistischen Inferenz, Wiley-Reihe in Wahrscheinlichkeit und Statistik, 246John Wiley and Sons, p.  66, ISBN 978-0-471-11591-5.^ Saichev, Alexander;  Malevergne, Yannick;  Sornette, Didier (2009), Theorie des Zipfschen Gesetzes und dar\u00fcber hinaus, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.^ Yang, Fujia;  Hamilton, Joseph H. (2009), Moderne Atom- und Kernphysik, World Scientific, S. 81\u201386, ISBN 978-981-283-678-6.^ Kilmister, Clive William (1994), Eddingtons Suche nach einer fundamentalen Theorie: ein Schl\u00fcssel zum Universum, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.Externe Links[edit]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki12\/2020\/12\/12\/einheitsbruchteil-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Einheitsbruchteil – Wikipedia"}}]}]